2022年度遼寧省沈陽市十九高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022年度遼寧省沈陽市十九高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末

試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

I.已知uy滿足［*_2L_24°，則色=工一尸的最大值為

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

C【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃E5

由線性規(guī)劃知識(shí)可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過可行域的(41)點(diǎn)時(shí)取得最大值，這時(shí)z=4-l=3,所

以c為正確選項(xiàng).

【思路點(diǎn)撥】由條件可求出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)求出最大值.

2.若實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,則“a>b”是“a+lna>b+lnb”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

C

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】據(jù)a,b的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定充分條件，還是必要條件即可.

【解答】解：設(shè)f(x)=x+lnx,顯然f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

,?,a>b,

.-.f(a)>f(b),

.??a+lna>b+lnb,

故充分性成立，

,,

,?,a+lna>b+lnb,

???f(a)>f(b),

[a>b,

故必要性成立，

故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要條件,

故選：C

y=-4-一-？---3--x-+-4-

3.函數(shù).x的定義域?yàn)?)

A.川】B,H>0)c,(0J]

D.M,O)U(O,1]

參考答案：

D

4.已知二次函數(shù)/(")=<?/+以+必滿足a+[>5且c<0,則含有零點(diǎn)的一個(gè)

區(qū)間是()

A.(-2,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,2)

參考答案：

A

5.對(duì)于集合如果定義了一種運(yùn)算"十"，使得集合上中的元素間滿足下列4個(gè)條件:

(i)中a，bwA,都有a碗”；

(ii)3eeA,使得對(duì)Vael,都有e?Sa=aS)g=a；

(iii)VoGA,m/eN,使得。十4'==e；

(iv)Pa.b.c",都有(a十=a十(b十c)

則稱集合為對(duì)于運(yùn)算"a"構(gòu)成"對(duì)稱集".下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算"十"：

①工=(整數(shù))，運(yùn)算"十"為普通加法；②工=｛復(fù)數(shù)J,運(yùn)算⑥"為普通減法；

③工"正實(shí)數(shù),，運(yùn)算"十"為普通乘法.其中可以構(gòu)成"對(duì)稱集"的有()

A①②B①③c②③D①②③

參考答案:

B

略

6.若直線AH'1■歹二4和圓0:3=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)（"M?）的直線與橢圓

94的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.至多有一

個(gè)C.1D.2

參考答案：

D

,.-rJ_>2

試題分析：因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，所以“一+產(chǎn),即

，普，_]

6岸<2,所以點(diǎn)（■或在圓o內(nèi)，即點(diǎn)（鼻或在橢圓至彳=內(nèi)部，所以過點(diǎn)

（格成的直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選D.

考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.點(diǎn)與圓、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系；3.直線與橢圓的位置關(guān)

系.

{-1113）a

7.設(shè)ae*2',則使函數(shù)>=>的定義域是R且為奇函數(shù)的所有。的值是（）

A.L3B,-1.1c.T3D.TL3

參考答案：

A

8.下列命題：

覆工（―）n-

①“a0是“存在n€N*,使得天二&成立”的充分條件；

②“a>0”是“存在n€N*,使得~2&成立,，的必要條件；

③“③石，是”不等式-2&對(duì)一切neN*恒成立”的充要條件.

其中所以真命題的序號(hào)是（)

A.③B.②③C.①②D.①③

參考答案:

考命題的真假判斷與應(yīng)用.

點(diǎn)：

專計(jì)算題.

題：

分0<a<1,（工）

選項(xiàng)①“歹應(yīng)是“存在neN*,使得20成立,，的充要條件；選項(xiàng)②當(dāng)存

析：

z_lxn<z_lx門

在nCN*,使得2&成立時(shí)，a只需大于當(dāng)nCN*,時(shí)的最小取值即

可，可得a>0；選項(xiàng)③由充要條件的證明方法可得.

解0<a<^.由』

解：選項(xiàng)①當(dāng)2時(shí)，必存在neN*,使得20成立，故前者是后者的

答：

充分條件，

n_z_l\n

但存在n€N*,使得2成立時(shí)，a即為2當(dāng)neN*,時(shí)的取值范圍，即

nV(X\n_

故"a方應(yīng)是“存在n€N*,使得2飛成立,，的充要條件，故①錯(cuò)誤；

z_lxn<(工)n

選項(xiàng)②當(dāng)存在n€N*,使得1&成立時(shí)，a只需大于工當(dāng)n€N*,時(shí)的

最小取值即可，

z_l)n<

故可得a>0,故“a>0”是“存在nCN*,使得~2成立”的必要條件，故②正

確；

(1)n0<a<-

選項(xiàng)③由①知，當(dāng)nCN*時(shí)2的取值范圍為2,

\_1/_1\

故當(dāng)&歹時(shí)，必有“不等式i對(duì)一切nCN*恒成立”，

(工)n<(―)n

而要使不等式1a對(duì)一切n€N*恒成立"，只需a大于工的最大值即

*

可，即a2

a〉工(A)y

故“7,是，，不等式、2對(duì)一切n€N*恒成立”的充要條件.

故選B

八盧、、本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)和恒成立問題，屬基礎(chǔ)題.

評(píng)：

<>+>￡33

9.已知。>0,樂了滿足約束條件卜'之爪才一3),若z-2jf-y的最小值為5,則〃=

￡￡

A.4B.2C.1D.2

參考答案：

A

3.(

srna=_sina--

10.已知a為第二象限角，5,則161的值等于

4+川54-3』3-5-4T-地

A.10B.10C.10D.10

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

x2+x,x)0

t

11.已知f(x)J-x2+x,x<0,則不等式f(x'-x+l)<12解集是—.

參考答案：

(-1,2)

【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】由題意可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).令x，x=12,求

得x=3或x=-4(舍去).故由不等式f(x--x+1)V12,可得x~-x+l<3,由此求得x

的范圍.

x2+x,x)0

)

【解答】解：=f(x)=1-x2+x，x<0,

f(-x)=-f(x)恒成立，

...函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：

f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，f(0)=0,可得函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).

令x，x=12,求得x=3或x=-4(舍去).

，由不等式f(X"-x+1)<12,可得x2-x+l<3,

即(x+1)(x-2)<0,

解得-lVx<2,

故答案為：(-1,2).

12.已知a,beR,a2-2ab+5b2=4,則ab的最小值為

參考答案：

1-V5

2

考點(diǎn)：基本不等式.

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：a2-2ab+5b2=4,配方為(a-b)2+(2b)2=4,令a-b=2cos。，2b=2sin0,

1V5

ee[0,2it).可得ab=(sine+2cos0)sin6=2+Tsin(26-a),即可得出.

解答:解：￡-2ab+5b2=4,配方為(a-b)2+(2b)M,

令a-b=2cos0,2b=2sin0,0e[0,2n).

/.b=sin0,a=sin0+2cos0,

sinZe+U6.近

/.ab=(sin0+2cos0)sin0=sin~0+sin20=2=2+2sin(20-

_1

a),tana=2.

?二當(dāng)sin(20-a)=-l,

1-娓

ab取得最小值：~

1一事)

故答案為：2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法、三角函數(shù)代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

尸2

卜1,7

13.設(shè)KV滿足不等式1*一,=】，若22,則“一雙的最小值

為_____________

參考答案：

1

2

作出滿足不等式的平面區(qū)域，如圖所示，當(dāng)直線3工"=°經(jīng)過點(diǎn)％L2)時(shí)目標(biāo)函

川-工

數(shù)*=3工+＞取得最小值一1.又由平面區(qū)域知一1三三3,則函數(shù)一可'在

3](31

x=—l時(shí)，N取得最大值2,由此可知的最小值為‘2，2.

x+3y-3Vo

,x>0

14.若實(shí)數(shù)x、1y滿足1尸2°,則目標(biāo)函數(shù)z=X+3-2『的最大值是_____

參考答案：

13

15.已知直線6與直線幺虹3/1=0垂直，且與圓C:/+/+2事-3=0相切,則直線6

的一般方程為.

參考答案：

3、“尸+14-?；?、+勺-6-。

ba1+2/+%3+…+*.

16.數(shù)列9*)是正項(xiàng)等差數(shù)列，若"-1+2+3+…+力一,則數(shù)列SJ也為等差數(shù)歹IJ.

類比上述結(jié)論，寫出正項(xiàng)等比數(shù)列匕口，若

B,則數(shù)列｛d*｝也為等比數(shù)列.

參考答案：

I

答案：?姆d-。：嚴(yán)…

17.已知函數(shù)/@)=-一尸，實(shí)數(shù)x,y滿足

V若點(diǎn)M(l,2),N(x,y),則當(dāng)1SW4,OMON

的最大值為(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))

參考答案:

12

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知△ABC的外接圓半徑為1,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.向量

加二(a,4cosB),?z=(cos46)滿足的而

(1)求sin/+sin8的取值范圍；

(2)若(且實(shí)數(shù)X滿足出次=a-b,試確定X的取值范圍.

參考答案：

解：(1)因?yàn)椤?？||〃???,=,BfJab=4cosAcosB.

因?yàn)椤髁氐耐饨訄A半徑為1,由正弦定理，得a6=4sin/sin8........2分

于是cosAcosB—sinAsinB=0,即cos(A+8)=0.

因?yàn)?VA+5C加所以A+8=.故△ABC為直角三角形..........4分

sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+),因?yàn)閂A+V,

所以Vsin(A+)Wl,故1VsinA+sinBg...........6分

_a_-_b=_加__工__一_血__8_ssmA-cosA——

(2)x=ab2smAstnBISTHACQSA.........................7分

設(shè)r=sinA-cosA('"2),貝lj2sinAcosA=1-J,............9分

------22>口-----]<fV—

X=1-J,因?yàn)閂=(1T)，故x=1-/在(2)上是單調(diào)

遞增函數(shù).............12分

4-1

:3-布

所以匚尸＜、(爭(zhēng)

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(—8，3)…14分

19.已知4ABC的面積為S,且BA?BC=S.

(I)求tan2B的值；

3一一

(II)若cosA=5,KICA-CB|=2,求BC邊中線AD的長(zhǎng).

參考答案：

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】(I)根據(jù)△ABC的面積，結(jié)合平面向量的數(shù)量積求出tanB的值，再求tan2B的

值；

(II)根據(jù)tanB的值，求出sinB、cosB,再由cosA的值求出sinA,從而求出

sinC=sinB,

判斷AABC是等腰三角形，求出底邊上的中線AD的長(zhǎng).

【解答】解：(I)AABC的面積為S,且就?FaS；

1

accosB=2acsinB,

解得tanB=2；

2tanB4

2—

Atan2B=1-tanB=-3；

(II)V|CA-CB=2,A|BA|=2,

sinB

又tanB=cosB=2,

sin2B+cos2B=l

AsinB=5,cosB二5；

3_

又cosA=5,

_4

.\sinA=5,

275

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=5；

'/sinB=sinC,/.B=C,

.\AB=AC=2,

???中線AD也是BC邊上的高，

訴W5

.\AD=ABsinB=2X5=5.

20.如圖，某小區(qū)有一邊長(zhǎng)為2(單位：百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個(gè)游

泳池，計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路1(寬度不計(jì))，切點(diǎn)為M,并

把該地塊分為兩部分.現(xiàn)以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段0C所在直線為x軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，若池邊AE滿足函數(shù)'2X的圖象，且點(diǎn)M到邊0A距離為t

(0<t<2).

_1

(I)當(dāng)t和時(shí)，求直路1所在的直線方程;

(口)當(dāng)t為何值時(shí)，地塊OABC在直路1不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多

少？

參考答案:

19

——V+2

解：(I)V2，..y=-x,

t——+^4.9

???過點(diǎn)M('')的切線的斜率為.t,

所以，過點(diǎn)M的切線方程為y-(一呆+2)=-t(x-t),即尸_tx+^+2

當(dāng)t=2時(shí)，切線1的方程為,2

t二行」

即當(dāng)2時(shí)，直路1所在的直線方程為"2

19

V=-tx+——t+9

(II)由(D知，切線1的方程為2

112

令y=2,得x=2,故切線1與線段AB交點(diǎn)為F(2'),

.1.2—9+4-99A+2—9++2

令x=2,得,故切線1與線段BC交點(diǎn)為G('2T).

地塊OABC在切線1右上部分為三角形FBG,如圖，

設(shè)其面積為f(t),

Ji?-t2+2t

:o(0<t<2).

2

f(t)=1t-2t+2=1(t-4)(3t-4)

OOf

4

...當(dāng)te(0,3)時(shí)，f(t)>0,f(t)為單調(diào)增函數(shù),

(A2)

當(dāng)te3'時(shí)，f(t)<0,f(t)為單調(diào)減函數(shù).

4

.?.當(dāng)1=已時(shí)，f(t)的極大值(最大值)為

f(1)=lx(1)3-(1)2+2X支絲

3833327.

400

...當(dāng)點(diǎn)M到邊OA距離為萬米時(shí)，地塊OABC在直路I不含游泳池那側(cè)的面積最大，最

320000

大值為27平方米.

略

21.(本小題滿一分12分)已知向量］?(代期彩8$做)，5-(cos<ar,cosar),其中e>0,

記函數(shù)/?)=~5,己知的一最小正周期為x.

(I)求公；

0cxM—“、

(II)當(dāng)3時(shí)，試求/G)的值域.

參考答案:

,、，，4c>里an2au+*+cc?加x)由2??+少

(I)/(1)sv3stnou-cosaix+cos<ux=22=62.

.T??■—

，.,o>0,2o,；.4u=i；

f(x)?Mn(2x+—)+-0<——<2i+—￡

(ID由(1),得八<52,???3,66

nq

???/（X）的值域2.

22.當(dāng)前全世界人民越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某地某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2018年8月起連續(xù)〃天

監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQD,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

空氣質(zhì)量指數(shù)[0，

(50,100](100,150](150,200](200,250]

（pg/m3）50]

空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染

天數(shù)2040m105

粕率

0.008r----—1

I

????一

0.007FT

?

0.006?

1

0.005F

1

0.004

0.003

1

???■■

0.002i

?

0.001，空'（質(zhì)明指數(shù)WX/m'）

〃50100150200250

（1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出〃，〃?的值，并完成頻率分布直方

圖；

（2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；

（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為［0,50］和（50,100］的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取6

天，從中任意選取2天，求事件4“兩天空氣質(zhì)量等級(jí)都為良”發(fā)生的概率。

參考答案：

（1）見解析（2）平均數(shù)為95,中位數(shù)為87_5（3）

【分析】

（1）由頻率分布表求出n,