理學(xué)高等代數(shù)

第一章 多項(xiàng)式1.8

有理系數(shù)多項(xiàng)式預(yù)備知識(shí)1.

有理系數(shù)多項(xiàng)式問題可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問題．例如，有理系數(shù)多項(xiàng)式則可選取適當(dāng)整數(shù)

使

為整系數(shù)多項(xiàng)式．所以有理系數(shù)多項(xiàng)式問題可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問題一般地，設(shè)2.整系數(shù)多項(xiàng)式可分解的定義設(shè)

若存在其中是不可分則稱

是可分解的，否則稱解的。一、本原多項(xiàng)式1.設(shè)為本原多項(xiàng)式．則沒有若異于

的公因子，即是互素的，本原多項(xiàng)式的性質(zhì)5.

引理1.8.1使其中為本原多項(xiàng)式．而且這種表示式是唯一的即，若，則有6．Gauss引理定理1.8.2

兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式證：

設(shè)是兩個(gè)本原多項(xiàng)式．反證法．若不是本原的，則存在素?cái)?shù)不能整除的又

是本原多項(xiàng)式，所以每一個(gè)系數(shù)．令

為中第一個(gè)不能被整除的數(shù)，即中第一個(gè)不能被同理，

本原，令

為整除的數(shù)，即又矛盾．在這里故是本原的．推論1

若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式，則它一定可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積．推論1說明整系數(shù)多項(xiàng)式證：設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式有分解式其中且令這里，皆為本原多項(xiàng)式，于是由定理1.8.2本原，從而有即得證．設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且是本原推論2的，若則必為整系數(shù)多項(xiàng)式．證：令本原，即為整系數(shù)多項(xiàng)式．于是有，二有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約與整系數(shù)多項(xiàng)式能否分解成次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積的關(guān)系.定理1.8.4

設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而

是它的一個(gè)有理根，其中

是互素的，則必有三、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法從而又

互素，比較兩端系數(shù)，得所以，證：是

的有理根，∴

在有理數(shù)域上，本原．由上推論，有定理只是判斷整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的一個(gè)必要條件而非充分條件．的有理根.例1

求方程解：可能有理根為用綜合除法可知，只有1為根．注意在

上不可約．至少有一個(gè)一次因式，所以不可約．例2

證明:證：

若

可約，則也即有一個(gè)有理根．但

的有理根只可能是而矛盾．定理1.8.5

艾森斯坦因Eisenstein判別法設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有一個(gè)素?cái)?shù)

使得則在有理數(shù)域上是不可約的．四、整系數(shù)多項(xiàng)式不可約的條件返回證：

若

在

上可約，由定理11，可分解為兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式積又不妨設(shè)但或不能同時(shí)整除另一方面，假設(shè)中第一個(gè)不能被整除的數(shù)為比較兩端的系數(shù)，得上式中皆能被

整除，矛盾．故不可約．例4

證明：證：（令在

上不可約．即可）．(可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式)例5

判斷（

為素?cái)?shù)）在上是否可約．解：令則為整系數(shù)多項(xiàng)式．但在

上不可約，

從而在

上不可約．即注意①

Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件，而非必要條件．也就是說，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式不滿足Eisenstein判別法條件，則它可能是可約的，也可能是不可約的．②

有些整系數(shù)多項(xiàng)式

不能直接用Eisenstein判別法來判斷是其是否可約，此時(shí)可考慮用適當(dāng)?shù)拇鷵Q

使?jié)M足Eisenstein判別法條件，從而來判定原多項(xiàng)式不可約．有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理系數(shù)上不可約命題多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約．在

上不可約．例6

證明：證：作變換取則在Ｑ上不可約，所以在Ｑ上不可約．由Eisenstein判別法知，對(duì)于許多

上的多項(xiàng)式來說，作適當(dāng)線性代換后說明：再用Eisenstein判別法判定它是否可約是一個(gè)較好的辦法，但未必總是湊效的．也就是說，存在上的多項(xiàng)式

無論作怎樣的代換

都不能使

滿足愛森斯坦因