專題1.2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）（六大題型）（解析版）

專題1.2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）（六大題型）重難點題型歸納【題型1二次函數(shù)的配方法】【題型2二次函數(shù)的五點繪圖法】【題型3二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)之間的關(guān)系】【題型4二次函數(shù)的平移變換】【題型5二次函數(shù)圖像的對稱變換】【題型6利用對稱軸、頂點坐標公式求值】滿分必練【題型1二次函數(shù)的配方法】【典例1】（2022秋?陽曲縣期末）用配方法將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣9化為y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x+4）2+7 C．y＝（x﹣4）2﹣25 D．y＝（x+4）2﹣25【答案】C【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故選：C．【變式1-1】（2022秋?石家莊期末）把二次函數(shù)y＝x2+2x﹣6配方成頂點式為（）A．y＝（x﹣1）2﹣7 B．y＝（x+1）2﹣7 C．y＝（x+2）2﹣10 D．y＝（x﹣3）2+3【答案】B【解答】解：y＝x2+2x﹣6＝（x2+2x+1）﹣6﹣1＝（x+1）2﹣7．故選：B．【變式1-2】（2023?青龍縣一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣4化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，正確的是（）A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2﹣8 C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2﹣8【答案】D【解答】解：y＝x2﹣4x﹣4，＝x2﹣4x+4﹣8，＝（x﹣2）2﹣8故選：D．【變式1-3】（2022秋?婁底期末）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3配方為y＝（x﹣h）2+k的形式為（）y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣1【答案】B【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，故選：B．【變式1-4】（2022秋?東湖區(qū)校級期末）把二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式時，應為（）A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2+4 C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x﹣）2+3【答案】C【解答】解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4．故選：C．【變式1-5】（2023?振興區(qū)校級模擬）將二次函數(shù)y＝3x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k形式為y＝3（x﹣1）2﹣1．【答案】y＝3（x﹣1）2﹣1．【解答】解：y＝3x2﹣6x+2＝3x2﹣6x+3﹣1＝3（x﹣1）2﹣1，所以，y＝3（x﹣1）2﹣1．故答案為：y＝3（x﹣1）2﹣1．【題型2二次函數(shù)的五點繪圖法】【典例2】（2022秋?新羅區(qū)校級月考）已知：在平面直角坐標系中A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5）；（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC；（2）畫出過A、B、C三點的拋物線的大致圖象．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖所示；△ABC即為所求；（2）過A、B、C三點的拋物線的大致圖象如圖所示．【變式2-1】（春?通州區(qū)校級期末）如表給出一個二次函數(shù)的一些取值情況：x…01234…y…30﹣103…（1）請在直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象說明：當x取何值時，y的值大于0？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）畫圖如圖所示，（3）根據(jù)圖象知，當x＜1或x＞3時，y＞0．【變式2-2】（秋?亭湖區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣4．（1）在給定的直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當y＜0時x的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）列表：x…01234…y…0﹣3﹣4﹣30…描點、連線如圖；（2）由圖象可知：當y＜0時x的取值范圍是0＜x＜4．【變式2-3】（秋?北京校級期中）對于拋物線y＝x2﹣4x+3．（1）將拋物線的解析式化為頂點式．（2）在坐標系中利用五點法畫出此拋物線．x……y……（3）結(jié)合圖象，當0＜x＜3時，y的取值范圍﹣1≤y＜3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．∴拋物線的頂點式為故答案為：y＝（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x…01234…y…30﹣103…函數(shù)圖象如圖所示：（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知：當0＜x＜3時，y的取值范圍﹣1≤y＜3．故答案為：﹣1≤y＜3．【變式2-4】（秋?張家港市校級期中）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+4，（1）用列表描點法，在所給的如圖坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象寫出當y為正數(shù)時x的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）填表如下：x…﹣10123…y…03430…（2）如圖所示：當y為正數(shù)時x的取值范圍為：﹣1＜x＜3．【題型3二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)之間的關(guān)系】【典例3】（2023?定西二模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)給出以下結(jié)論①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m為實數(shù)）；⑤4ac﹣b2＜0．其中錯誤結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解答】解：①由拋物線可知：a＞0，c＜0，對稱軸x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；②由對稱軸可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1時，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正確；③（1，0）關(guān)于x＝﹣1的對稱點為（﹣3，0），∴x＝﹣3時，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正確；④當x＝﹣1時，y的最小值為a﹣b+c，∴x＝m時，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④錯誤；⑤拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正確；故選：A．【變式3-1】（2023?梅州一模）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，有如下結(jié)論：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．其中正確的結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵拋物線開口向上，與y軸交于正半軸，∴a＞0，c＞0，∵拋物線對稱軸為x＝﹣＞0，∴b＜0，∴abc＜0，∴①錯誤；∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②正確；∵拋物線對稱軸為x＝﹣＜2，a＞0，∵b＞﹣4a，∴4a+b＞0，∴③錯誤；∵拋物線對稱軸為x＝﹣＜2，a＞0，∴b＞﹣4a，∵a+b+c＜0，∴a﹣4a+c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴3a＞c，∵a＞0，∴4a＞c，∴④正確．故選：B．【變式3-2】（2023?萊西市二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②若m為任意實數(shù)，則a+b＞am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，其中x1+x2＝2，正確的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正確；∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴函數(shù)的最大值為a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側(cè)，而對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側(cè)，∴當x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③錯誤；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正確；∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正確．綜上所述，正確的有①④⑤共3個．故選：B．【變式3-3】（2023?鄰水縣一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x＝1，∴，∴b＝﹣2a，∴b＞0，∵拋物線交于y軸正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；由圖象可知，拋物線與x軸正半軸交點的橫坐標在2和3之間，∴當x＝3時，y＜0，即9a+3b+c＜0，故②正確；∵根據(jù)圖象可知，當x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴2a﹣2b+2c＜0，∴結(jié)合b＝﹣2a，有﹣3b+2c＜0，∴2c＜3b，故③正確；∵x＝1時，有y＝a+b+c，且此時y值達到最大，又∵x＝m（m≠1）時，有y＝am2+bm+c，∴a+b+c＞am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正確．根據(jù)|ax2+bx+c|＝1有四個根，可得ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1各有兩個根，當ax2+bx+c＝1時，有ax2+bx+c﹣1＝0，此時有，當ax2+bx+c＝﹣1時，有ax2+bx+c+1＝0，此時有，則有，∵，∴，即：|ax2+bx+c|＝1的四個根和為4，故⑤錯誤．綜上：①②③④正確，故選：C．【變式3-4】（2023?雁塔區(qū)校級三模）如圖，直線x＝1是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸，則下列結(jié)論：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正確的是（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【答案】B【解答】解：①∵開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∴b＞0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故結(jié)論錯誤；②∵對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1．∴2a+b＝0．故結(jié)論正確；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故結(jié)論不正確；④當x＝2時，4a+2b+c＞0，故結(jié)論正確；綜上所述，正確的結(jié)論是②④．故選：B．【變式3-5】（2023?牡丹江一模）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)），其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當x＝1時，y取到值最小，此時，y＝a+b+c，而當x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故④正確，故選：B．【變式3-6】（2023?薛城區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列4個結(jié)論：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b≥m（am+b）；其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，①錯誤．∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②錯誤．∵b＝﹣2a，∴a＝﹣，由圖象可得x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＝﹣b+c＜0，∴2c＜3b，③正確．∵x＝1時，函數(shù)取最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b），④正確．故選：B．【題型4二次函數(shù)的平移變換】【典例4】（2023?徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖集向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【答案】B【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖集向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．【變式4-1】（2023春?金東區(qū)期末）將拋物線y＝x2+2向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度得到的拋物線解析式為（）y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2【答案】A【解答】解：將拋物線y＝x2+2向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度得到的拋物線解析式為：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．故選：A．【變式4-2】（2023?江夏區(qū)校級模擬）將二次函數(shù)y＝﹣x2的圖象平移或翻折后經(jīng)過點（1，0）有4種方法：①向右平移1個單位長度，②向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，③向上平移1個單位長度，④沿x軸翻折，再向下平移1個單位長度，你認為以上4種方法正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解答】解：①向右平移1個單位長度，則平移后的解析式為y＝﹣（x﹣1）2，當x＝1時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（1，0），故①符合題意；②向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，則平移后的解析式為y＝﹣（x+1）2+4，當x＝1時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（1，0），故②符合題意；③向上平移1個單位長度，則平移后的解析式為y＝﹣x2+1，當x＝1時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（1，0），故③符合題意；④沿x軸翻折，再向下平移1個單位長度，則平移后的解析式為y＝x2﹣1，當x＝1時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（1，0），故④符合題意；故選：D．【變式4-3】（2023?宛城區(qū)校級模擬）將拋物線y＝x2﹣2x+1向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到拋物線y＝x2+bx+c，則b，c的值為（）A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6【答案】D【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的圖象向上平移2個單位，再向左平移3個單位，∴平移后解析式為：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，則b＝4，c＝6．故選：D．【題型5二次函數(shù)圖像的對稱變換】【典例5】（2022秋?朔城區(qū)期中）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣4x+5與y軸交于點C，則該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的表達式為（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x+5【答案】D【解答】解：由拋物線y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1知，拋物線頂點坐標是（2，1）．由拋物線y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的頂點坐標是（﹣2，9）．∴該拋物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的表達式為：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5．故選：D．【變式5-1】（2021秋?新市區(qū)校級期末）將拋物線y＝﹣x2+2x+3沿y軸對稱后的函數(shù)解析式為（）A．y＝﹣x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x+3C．y＝x2﹣2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3【答案】D【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線開口向下，頂點坐標為（1，4），∵點（1，4）關(guān)于y軸對稱軸坐標為（﹣1，4），∴拋物線關(guān)于y軸對稱后解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故選：D．【變式5-2】（2022春?海曙區(qū)校級期中）將拋物線y＝x2﹣6x﹣3沿x軸對稱，得到的新的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2+12．【答案】y＝﹣（x﹣3）2+12．【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，∴拋物線y＝x2﹣6x﹣3的頂點坐標為（3，﹣12），∵點（3，﹣12）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（3，12），∴將拋物線y＝x2﹣6x﹣3沿x軸對稱，得到的新的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2+12，故答案為：y＝﹣（x﹣3）2+12．【變式5-3】（2023秋?嘉祥縣期末）拋物線y＝﹣（x+1）2+2關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣2．【答案】y＝（x﹣1）2﹣2．【解答】解：∵關(guān)于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數(shù)，∴拋物線y＝﹣（x+1）2+2關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式為：﹣y＝﹣（﹣x+1）2+2，即y＝（x﹣1）2﹣2．故答案為：y＝（x﹣1）2﹣2．【題型6利用對稱軸、頂點坐標公式求值】【典例6】（2023?鼓樓區(qū)校級一模）關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，說法正確的是（）A．最小值為﹣1 B．最小值為3 C．最大值為1 D．最大值為3【答案】D【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3中，∵a＝﹣1＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，∴函數(shù)有最大值，∵函數(shù)圖象的頂點坐標為（1，3），∴二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值為3．故選：D．【變式6-1】（2022秋?鹽山縣校級期末）當y＝x2﹣6x﹣3的值最小時，x的取值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9【答案】C【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，∴該拋物線的頂點坐標是（3，﹣12）且拋物線開口向上，∴當x＝3時，該函數(shù)取最小值．故選：C．【變式6-2】（2022秋?沈河區(qū)校級期末）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+c的最大值為0，則c的值等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16【答案】B【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，∵最大值為0，∴4+c＝0，解得c＝﹣4．故選：B．【變式6-3】（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】D【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是3，故選：D．【變式6-4】（2023?永嘉縣三模）已知二次函數(shù)的圖象（0≤x≤4）如圖，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，無最小值【答案】A【解答】解：觀察圖象可得，在0≤x≤4時，圖象有最高點和最低點，∴函數(shù)有最大值2和最小值﹣2.5，故選：A．【典例7】（2022秋?江門校級期末）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，則m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【答案】B【解答】解：∵二次函數(shù)解析式為y＝mx2﹣2mx+2（m≠0），∴二次函數(shù)對稱軸為直線，當m＞0時，∵在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，∴當x＝1時，y＝m﹣2m+2＝﹣2，∴m＝4；當m＜0時，∵在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，∴當x＝﹣2時，y＝4m+4m+2＝﹣2，∴m＝﹣；綜上所述，m＝4或m＝﹣，故選：B．【變式7-1】（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1時有最小值m，則整數(shù)m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2【答案】C【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，函數(shù)最小值為1，當m+1＜1，即m＜0時，x＝m+1時y取最小