專題9.8 整式乘法與因式分解全章八類必考壓軸題（蘇科版）（原卷版）

專題9.8整式乘法與因式分解全章八類必考壓軸題【蘇科版】1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么A．2x+y=z B．xy=3z C．2x+y=3z D．2xy=z2．已知100a=20，1000b=50，則A．0 B．52 C．3 D．3．若x，y均為實數(shù)，43x=2021,47y4．我們知道下面的結論，若am=an(a>0，且a≠1)，則m=n，利用這個結論解決下列問題：設2m=3，2n=6，2p=24，現(xiàn)給出m，n，p三者之間的三個關系式：①5．比較下列各題中冪的大?。海?）已知a=8131,b=2741,c=961（2）比較255,344（3）已知P=999999,Q=11（4）(-2)234_______5100（填“>”“<”或“=”6．由冪的運算法則逆向思維可以得到am+n=am?(1)計算：52020(2)若3×9m×(3)比較大小：a=255，b=344，c=533，d=622，請確定7．閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J．Napier，1550年-1617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（Euler，1707年-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN．比如指數(shù)式24=16可以轉化為4=log216，對數(shù)式2=log525可以轉化為52=25（1）將指數(shù)53=125（2）仿照上面的材料，試證明：log（3）拓展運用：計算log321．關于x的三次三項式A=5x3-6x2+10=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d（其中a，b，①當A+B為關于x的三次三項式時，則f=-10；②當多項式A與B的乘積中不含x?項時，則e=6；③a+b+c=9；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．已知x2-ax3．若x2+px-13x(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式-2p4．（1）試說明代數(shù)式(s-2t)(s+2t+1)+4tt+12的值與s（2）已知多項式ax-b與2x2-x+2的乘積展開式中不含x的一次項，且常數(shù)項為-4（3）已知二次三項式2x2+3x-k有一個因式是(2x-5)5．給出如下定義：我們把有序實數(shù)對a，b，c叫做關于x的二次多項式ax2+bx+c(1)關于x的二次多項式3x2+2x-1(2)有序實數(shù)對2，a，1的附屬多項式與有序實數(shù)對1．若一個只含a字母的多項式的項數(shù)是偶數(shù)，用該多項式去乘(a+1)，若該多項式的項數(shù)是奇數(shù)，則用該多項式去乘(a-1)，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項式的項數(shù)是偶數(shù)，用該多項式去乘(a+1)，若該多項式的項數(shù)是奇數(shù)，則用該多項式去乘(a-1)稱這為第二此操作，以此類推．①將多項式(a2-1)以上述方式進行2②將多項式(a2+2a)以上述方式進行3③將多項式(a2+2a+1)以上述方式進行4次操作后，當a=2④將多項式(a-1)以上述方式進行n次操作后所得多項式為(a-1)(a+1)四個結論錯誤的有（

）A．0 B．1 C．2 D．32．我國宋代數(shù)學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項式的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請你利用楊輝三角，計算(a+b)6的展開式中，從左起第四項是____________(a+b)0=

(a+b)1=

a+b································1(a+b)2=

a2+2ab+b(a+b)3=

a3+3a2b+3a(a+b)4=

a4+4a3b+6a23．觀察下列各式及其展開式：a+b2(a+b)3a+b4a+b5??請你猜想(2x-1)8的展開式中含x2項的系數(shù)是（A．224 B．180 C．112 D．484．閱讀下列材料，完成相應任務．楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年．楊輝三角是我國古代數(shù)學的杰出研究成果之一，他把二項式乘方展開式系數(shù)圖形化，如下圖所示：a+ba+ba+ba+b…完成下列任務：(1)寫出a+b5(2)計算：755．觀察下列各式：x-1x-1x-1(1)根據以上規(guī)律，則x-1x6(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律x-1xn(3)根據以上規(guī)律求320226．（1）計算并觀察下列各式：第1個：a-ba+b=第2個：a-ba2第3個：a-ba3……這些等式反映出多項式乘法的某種運算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則a-ban-1（3）利用（2）的猜想計算：2n-1+（4）拓廣與應用：3n-1+1．已知：x+y2=12，x-y2=4，則2．已知1b-1a=8-cab3．已知a，b，c滿足：a2+2b=7，b24．已知a-b=4時，多項式ab+c2的值為-4，則aba2A．-1 B．-12 C．-15．已知有理數(shù)a，b，c滿足a-b+c-3=0，a2+b2+A．-2019 B．-2020 C．-2021 D．-20226．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2A．1 B．3 C．6 D．10107．已知：x+y=5，求：①x2②x48．閱讀下列材料，完成后面的任務．完全平方公式的變形及其應用我們知道，完全平方公式有：a+b2=a在解題過程中，根據題意，若將公式進行變形，則可以達到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形：①a2+b2=a+b2④ab=1根據上述公式的變形，可以迅速地解決相關問題．例如：已知x+y=3，x-y=1，求x2解：x2任務：(1)已知x+y=5，x-y=3，則xy=______．(2)已知x+y=7，x2+y1．數(shù)學活動課上，老師準備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：_________；方法2：__________．(2)請你直接寫出三個代數(shù)式：a+b2，a2+(3)根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知m+n=5，m2+n2=20②已知x-20212+x-20232．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為S（1）用含a、b的代數(shù)式分別表示S1、S（2）若a-b=8，ab=13，求S1（3）用a、b的代數(shù)式表示S3；并當S1+S23．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數(shù)學公式．（1）例如，根據下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據圖②能得到的數(shù)學公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關系是__________（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據圖④，寫出一個等式：__________．（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數(shù)學公式．（6）根據圖⑥，寫出一個等式：___________．4．（1）【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．圖1中陰影部分面積為__________，圖2中陰影部分面積為__________，請寫出這個乘法公式__________．（2）【知識應用】應用（1）中的公式，完成下面任務：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=m2+2m+1m2-2m+1，（3）【知識遷移】事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據圖3中圖形的變化關系，寫出一個代數(shù)恒等式：____________________．5．若x滿足(7-x)(x-4)=2，求(x-7)2解：設7-x=a,?x-4=b所以(x-7)請仿照上面的方法求解下面的問題（1）若x滿足(8-x)(x-3)=3，求(8-x)2（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點，且AE=2，6．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，例如圖1可以得到(a+b)2（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式（2）根據整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；（3）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，則a2（4）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形z張邊長分別為a,b的長方形紙片拼出一個面積為(5a+7b)(9a+4b)長方形，則x+y+z=7．問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解決該問題時，采用了以下解法：解：設（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)請補全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，則（30﹣x）2+（x﹣20）2的值為．類比研究(3)若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CG＝3，長方形EFGD的面積是10，分別以DE、DG為邊長作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積為（結果必須是一個具體數(shù)值）．必考點6必考點6利用因式分解探究三角形形狀1．（2022秋·四川內江·八年級四川省隆昌市第一中學?？茧A段練習）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb-ac=0A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形2．（2018秋·江西·八年級?？茧A段練習）先閱讀下面的材料，再解決問題：要把多項式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項分成一組，并提出a；把它的后兩項分成一組，并提出b，從而得到am+n+bm+n.這時，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，從而得到a+bm+n.在三角形中，若任意兩條邊的差均為0，則這個三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0，則這個三角形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0，則這個三角形是直角三角形。請用上面材料中提供的方法解決問題：（1）將多項式ab-ac+b（2）若ΔABC的三邊a、b、c滿足條件：a4-b43．（2022秋·八年級課時練習）（1）若a、b、c是三角形的三條邊，求證：a2（2）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a+b+c=322，a（3）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a2b-c+4．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）求解下列問題：(1)若x2+2y(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b5．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┤簟鰽BC的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式3a26．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，要將多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，這時am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出(1)嘗試填空：ac-bc+ab-a2(2)解決問題：因式分解2x-18+xy-9y；(3)拓展應用：已知三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足a27．（2022春·山東青島·八年級校考期中）數(shù)形結合思想是根據數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．我們常利用數(shù)形結合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為a的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為b(b<a)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵BC=a，AB=a-b，CF=b，∴長方體①的體積為ab(a-b)．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______________．(5)問題應用：利用上面的結論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求a3(6)類比以上探究，嘗試因式分解：a3+b8．（2020秋·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習）閱讀材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0∵根據你的觀察，探究下面的問題：（1）已知一個不等邊三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c都是正整數(shù)，并滿足a2+b（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+c（3）試探究關于x、y的代數(shù)式5x2-4xy+y29．（2021春·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系，點A（a，0），點B（0，b），已知a，b滿足a2+b2+8a+8b+32=0．（1）求點A、B的坐標；（2）如圖1，點E為線段OB上一點，連接AE，過點A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交x軸于點D，若點F的坐標為（-2，c），求c的值及OE的長；（3）在（2）的條件下，如圖2，過點E作EG⊥AB于點G，過點B作BC//x軸交EG的延長線于點C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說明理由．必考點7必考點7利用拆項或添項進行因式分解1．閱讀材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)根據閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：a2-4a-5=(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2-4a+b(3)當x、y為何值時，多項式-x2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結果分解徹底．（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請你試一試在實數(shù)范圍內分解因式x4﹣5x2+6．3．我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：x③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個因式分別為(x+7)與(x-1)例如：x分析：解：原式=(x+7)(x-1)（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4②（拆項法）x③x2-5x+6=已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b4．閱讀下列分解因式的過程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過加減項配出完全平方式后再把二次三項式分解因式的方法，叫做配方法，請你用配方法將下面的多項式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．5．閱讀以下文字并解決問題：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但對于二次三項式x2+6x-27，就不能直接用公式法分解了。此時，我們可以在x2+6x-27中間先加上一項9，使它與x2（1）利用“配方法”因式分解：x2（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，（3）如果a2+2b26．閱讀理解：添項法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運算和因式分解中使用添項法往往會起到意想不到的作用，例如：例1：計算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據材料解決下列問題：(1)計算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個問題，計算(14+4)(54+4)(94+4)……(494①分解因式：x4+4；②計算：(17．我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項法：例如：x2仿照以上方法分解因式：(1)4xx28．閱讀下面的材料：分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的關鍵是“拆兩頭，湊中間”，例如，分解因式4x2+3