重慶市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023年重慶一中高2025屆高二上期周練7數(shù)學(xué)測試試題卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號，考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本卷或者草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回，滿分150分，考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程是橢圓方程，得，然后由關(guān)系得出值．【詳解】由題意，，，故選：A．2.等差數(shù)列中，已知，則A.48 B.49 C.50 D.51【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式的基本量求法求解即可【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，則，所以公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，，解得．故選：C3.圓：與直線：的位置關(guān)系為（）A.相切 B.相交 C.相離 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再將直線方程化為一般式，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A4.現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為升，最大的三只茶壺容積之和為升，則從小到大第5只茶壺的容積為（）A.升 B.升 C.1升 D.升【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為，由題意可得，所以，故選：B5.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)差法設(shè)、，作差即可得到，再根據(jù)斜率公式，從而得到，即可得解；【詳解】解：設(shè)、，則，，兩式相減可得，為線段的中點(diǎn)，，，，又，，，即，，故選：D.6.已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列.若，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得數(shù)列的遞推關(guān)系，再一一代入即可求解.【詳解】當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，則，由于，則，故選：D.7.已知拋物線，圓：，過圓心作直線與拋物線和圓交于四點(diǎn)，自上而下依次為，，，，若，，成等差數(shù)列，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得圓心C為拋物線的焦點(diǎn)，求出弦AB長，設(shè)出直線AB方程并與拋物線方程聯(lián)立，求解作答【詳解】圓：的圓心，半徑，顯然點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線為，設(shè)，則，而，由，，成等差數(shù)列得，，因此，即有，解得，設(shè)直線的方程為，顯然，由消去y得：，則有，解得，所以直線的斜率為.故選：B8.數(shù)列滿足，且，則（）A.4043 B.4044 C.2021 D.2022【答案】A【解析】【分析】由，可得，即為常數(shù)列，進(jìn)而可得，從而即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，即為常?shù)列，又，所以，所以，解得，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)或4時，取得最大值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定的前項(xiàng)和，求出，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時，，而滿足上式，所以，B正確；數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是單調(diào)遞減的，A不正確；當(dāng)時，，C正確；當(dāng)時，，即數(shù)列前3項(xiàng)均為正，第4項(xiàng)為0，從第5項(xiàng)起為負(fù)，因此當(dāng)或4時，取得最大值，D正確.故選：BCD10.已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為4C.以線段為直徑的圓與直線相切D.若，則直線的斜率為1【答案】AC【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及直線AB方程，再結(jié)合各選項(xiàng)的條件分別計(jì)算判斷作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，設(shè)點(diǎn)，對于A，顯然在拋物線上，則，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，有，因此當(dāng)時取得最小值5，B不正確；對于C，，線段AB的中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，則，顯然點(diǎn)M是以線段為直徑的圓的圓心，點(diǎn)M到直線的距離為，所以圓M與直線相切，C正確；對于D，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：，由消去y得：，有，由得：，于是得，解得，D不正確.故選：AC12.已知雙曲線：上、下焦點(diǎn)分別為，，虛軸長為，是雙曲線上支上任意一點(diǎn)，的最小值為.設(shè)，，是直線上的動點(diǎn)，直線，分別與E的上支交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，.下列說法中正確的是（）A.雙曲線的方程為 B.C.以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) D.當(dāng)時，平行于軸【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，得出，，即可求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程判斷A；設(shè)，表示出，，即可判斷B；利用直線與雙曲線相交得出坐標(biāo)，即可判斷C；利用，得出的值，即可判斷D.【詳解】由題知，，，，解得，所以雙曲線方程為，A正確；由A知，，，設(shè)，則，，所以，B錯；由上述知，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立，得，因點(diǎn)是異于的上支點(diǎn)，所以，代入直線方程得，即，聯(lián)立，得，因點(diǎn)是異于的上支點(diǎn)，所以，代入直線方程得，即，則，，所以，即，所以以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，C正確；當(dāng)時，即，，所以代入坐標(biāo)得，所以平行于軸，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若一數(shù)列為1，，，，…，則是這個數(shù)列的第________項(xiàng).【答案】15【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列指數(shù)的特點(diǎn)求出通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列的指數(shù)分別是0，7，14，21，…，則指數(shù)部分構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則對應(yīng)指數(shù)的通項(xiàng)公式為，由，所以是這個數(shù)列的第15項(xiàng).故答案為：1514.雙曲線：（，）的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為1，則雙曲線的漸近線方程為______．【答案】或【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線及雙曲線的漸近線，再聯(lián)立求出線段AB長，結(jié)合三角形面積，求出作答.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為：，拋物線的準(zhǔn)線為直線：，聯(lián)立與得：，因此有，而的面積，即，所以雙曲線的漸近線方程為或.故答案為：或15.已知橢圓是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，設(shè)以為對角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的對稱性，斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【詳解】因是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則，且，又是橢圓內(nèi)接平行四邊形，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，不妨設(shè)，則，且，直線斜率分別為：，因此，而，即，所以.故答案為：16.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率___________．【答案】【解析】【分析】由題意得，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，再利用，再代入值計(jì)算即可得答案.【詳解】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)?，所以，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，由韋達(dá)定理得：，又，即化簡可得，即，即時，有.故答案為：四、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，，且當(dāng)時，有，（1）求；（2）若數(shù)列中，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）由（1）可得：，利用累加法求通項(xiàng)公式.【小問1詳解】因?yàn)楫?dāng)時，有，可知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題意可得：，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得：，當(dāng)時，則，即，且也滿足上式，所以.18.四棱錐，底面為矩形，面，且，點(diǎn)在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中，求直線與面所成角的正弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，運(yùn)用夾角公式先求線面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值即可.【小問1詳解】面，在矩形中，易得：；【小問2詳解】如四建立空間直角坐標(biāo)系：則，，由題意可知：為平面的一個法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.19.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，，若以線段為直徑的圓剛好經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直關(guān)系的向量表示求解作答.【小問1詳解】依題意，設(shè)雙曲線的方程為：，而雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，則有，解得，即有，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，由消去得：，顯然，，設(shè)，則有，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓剛好經(jīng)過點(diǎn)，即有，而，于是得，即，有，整理得：，解得或，因此直線：或，所以直線的方程為或.20.已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足（，）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定值，使得對任意，都有成立.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合與前項(xiàng)和的關(guān)系，利用相減法確定的遞推關(guān)系式，判斷為等差數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性列不等式求解即可.【小問1詳解】解：由已知，得即，且.數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列..【小問2詳解】解：，，要使得對任意，恒成立，恒成立，恒成立，恒成立.（i）當(dāng)為奇數(shù)時，即恒成立，又是遞增數(shù)列則當(dāng)時，有最小值為1，.（ii）當(dāng)為偶數(shù)時，即恒成立，又是遞減數(shù)列則當(dāng)時，有最大值，.即，又為非零整數(shù)，則.綜上所述，存在，使得對任意，都有.21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為線段上異于的一動點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn)，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合橢圓定義可得軌跡方程；（2）連接，延長交橢圓于點(diǎn)，利用面積橋可知所求四邊形面積即為，設(shè)直線，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，代入弦長公式中可得，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得點(diǎn)，即點(diǎn)到直線的距離，由此可將所求面積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)求最值的方法可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，，點(diǎn)的軌跡的方程為：.【小問2詳解】連接，延長交橢圓于點(diǎn)，連接，由橢圓對稱性可知：，又，四邊形為平行四邊形，，，且三點(diǎn)共線四邊形的面積，設(shè)直線，，由得：，，，，又，點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，，設(shè)，則，，，又，當(dāng)，即時，四邊形面積取得最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形或四邊形面積最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線距離表示出所求三角形的面積；用面積橋結(jié)合三角形面積表示出四邊形面積；④將所求面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.22.已知點(diǎn)在拋物線上，過動點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為?，且直線與直線的斜率之積為.（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）過?分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為?，問：是否存在一點(diǎn)使得???四點(diǎn)共圓？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）法一：將代入拋物線方程得到，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理可得得到定點(diǎn)；法二：設(shè)，過的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)二次函數(shù)判別式為0得，得到，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得得到定點(diǎn)；（2）聯(lián)立直線和拋物線得出韋達(dá)定理，設(shè)，，再聯(lián)立，直線方程可得，可得在直線上運(yùn)動，再假設(shè)???四點(diǎn)共圓可得，代入求解判斷是否有解即可.【小問1詳解】法一：將代入拋物線方程得到，所以拋物線方程為，求導(dǎo)可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，即；設(shè)，，直線方程為，由題意得，所以，聯(lián)立直線和拋物線得得，所以得，所以的直線方程為，直