5.5三角恒等變換（精講）（原卷版）

5.5三角恒等變換（精講）兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ“同名相乘，符號反”2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ“異名相乘，符號同”3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)“上同號，下1異號相乘”二．二倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα?12sin2α＝sinα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)三.輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符號確定，或者sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).一．給值求值(1)在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當?shù)剡\用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是：①當條件中有兩角時，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差；②當條件中只有一個已知角時，可利用誘導公式把所求角轉化為已知角.(2)此類問題中，角的范圍不容忽視，解題時往往需要根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.二．給值求角在選三角函數(shù)時，可按以下原則：一般地，已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都可；若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦函數(shù)比余弦函數(shù)好；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好.三．探究三角函數(shù)式化簡、證明(1)化簡的要求①能求出值的應求出值②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少③盡量使項數(shù)最少④盡量使分母不含三角函數(shù)⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).（2）化簡的思路①對于和式，基本思路是降次、消項和逆用公式②對于三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式③對于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，還可以用切化弦、變量代換、角度歸一等方法.四．證明三角恒等式的原則與步驟(1)觀察恒等式的兩端的結構形式，處理原則是從復雜到簡單，高次降低次，復角化單角，如果兩端都比較復雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明恒等式的一般步驟：①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結構等方面的差異；②本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結構”“變量集中”等原則，設法消除差異，達到證明的目的.考點一兩角和差公式的正用和逆用【例1】（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考期中）下列等式成立的為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川綿陽·高一三臺中學?？茧A段練習）的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期中）等于（

）A．B．C．D．3．（2023春·四川成都·高一石室中學?？计谥校┑闹禐?4．（2023秋·高一課時練習）.5．（20223·山西大同）計算：A． B． C． D．6．（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）（

）A．1 B． C．3 D．考點二兩角和差公式給值求值【例21】（2023春·海南·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【例22】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┮阎牵?，則（

）A． B． C． D．【例23】（2023春·陜西西安·高一長安一中校考期中）已知為銳角，，則（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？计谥校┮阎叶际堑诙笙藿?，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一單元測試）已知都是銳角，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·高一課時練習）若，，，則的值為（

）A． B．C． D．考點三兩角和差公式給值求角【例3】（2022春·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┮阎J角滿足，則等于（

）A． B．或 C． D．【一隅三反】1．（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省當涂第一中學?？计谥校┮阎?，，，則.2．（2023秋·高一課時練習）已知，其中，，則，.3．（2023春·高一單元測試）已知，且，，求的值．考點四二倍角公式的正用和逆用【例4】（2023春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）（多選）下列各式中，值為的是（

）A．B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學校?？茧A段練習）（多選）下列三角式中，值為的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·四川宜賓·高一?？计谥校ǘ噙x）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·廣東佛山·高一北滘中學?？茧A段練習）（多選）下列各式中，值為的是（

）A． B． C． D．考點五二倍角給值求值【例5】（2023湖南）已知，則.【一隅三反】1．（2023春·四川宜賓·高一校考階段練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山西忻州·高三校聯(lián)考開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．考點六三角函數(shù)式的化簡與證明【例61】（2022春·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考階段練習）.【例62】（2023春·江蘇徐州·高一?？计谥校┣笞C下列恒等式：(1)；(2)【一隅三反】1．（2023春·全國·高一專題練習）化簡．2．（2023春·江蘇·高一專題練習）.3．（2022·高一課時練習）求證：(1)；(2)．考點七輔助角公式研究三角函數(shù)性質【例7】（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學校考期末）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的值域．【一隅三反】1．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最