新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解空間向量基本定理及其意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)3．掌握在簡(jiǎn)單問(wèn)題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01在平面內(nèi)，任意給定兩個(gè)不共線的向量a，b，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得p＝xa＋yb．特別地，當(dāng)a，b為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量時(shí)，向量p就與坐標(biāo)(x，y)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將向量運(yùn)算用坐標(biāo)表示，簡(jiǎn)化了向量運(yùn)算，為研究問(wèn)題帶來(lái)了極大的方便．那么，對(duì)于空間向量，有沒(méi)有類似平面向量基本定理的結(jié)論呢？如圖所示，設(shè)a，b，c是空間三個(gè)不共面的向量，p是空間任意一個(gè)向量，是否可以用向量a，b，c來(lái)表示向量p?知識(shí)點(diǎn)1空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________．其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)____，a，b，c都叫做基向量．xa＋yb＋zc基底思考

對(duì)于基底{a，b，c}，三個(gè)基向量a，b，c中能否有一個(gè)為0?提示：因?yàn)橄蛄?與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，因此三個(gè)基向量均不為0．提醒

空間中任意三個(gè)不共面向量都可作為一組基底．知識(shí)點(diǎn)2空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量__________，且長(zhǎng)度都為_(kāi)_，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)_________的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．兩兩垂直1兩兩垂直1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)空間向量的基底是唯一的． (

)提示：任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間的一個(gè)基底．(2)若a，b，c是空間向量的一個(gè)基底，則a，b，c均為非零向量． (

)提示：若a，b，c中有一個(gè)零向量，則a，b，c三向量共面不能構(gòu)成基底．×√

√√(5)空間的單位正交基底是唯一的． (

)提示：不唯一．(6)單位正交基底中每一個(gè)基向量是單位向量． (

)提示：由單位正交基底的定義可知正確．(7)對(duì)于單位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． (

)提示：由向量正交分解知正確．×√√

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1空間的基底類型2用基底表示空間向量類型3空間向量基本定理的應(yīng)用

反思領(lǐng)悟

基底判斷的基本思路和注意問(wèn)題(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)注意問(wèn)題：對(duì)于三個(gè)向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為空間的一個(gè)基底？[解]

假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．∵{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，∴a，b，c不共面．

反思領(lǐng)悟

用基底表示向量時(shí)：(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行；(2)若沒(méi)給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．

類型3空間向量基本定理的應(yīng)用考向1

證明空間直線、平面的位置關(guān)系【例3】如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點(diǎn)，請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．

反思領(lǐng)悟

(1)當(dāng)直接證明線線垂直但條件不易利用時(shí)，常常考慮證明兩線段所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零．利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算以及數(shù)量積和垂直條件來(lái)完成位置關(guān)系的判定．(2)證明直線與直線平行一般轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題，利用向量共線的充要條件證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°．求證：BD⊥平面ADC．

[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長(zhǎng)．

考向3

求兩直線的夾角【例5】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)031．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的一個(gè)基底的向量組有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)

D．0個(gè)1234B

[①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作為空間的一個(gè)基底；②中，z＝c＋a與向量b，c不共面，可作為空間的一個(gè)基底；③中，x，y與a＋b＋c不共面，故②③正確．故選B．]√1234

√1234

√1234

1234

1234

回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．若{a，b，c}是空間的基底，則a，b，c滿足什么條件？提示：a，b，c不共面．2．?dāng)⑹隹臻g向量基本定理的內(nèi)容．提示：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb