新高考數(shù)學二輪復習考點突破講義 第2部分 思想方法　第5講　客觀題的解法（含解析）

第5講客觀題的解法題型概述數(shù)學客觀題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，解答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷．其中選擇題要充分利用題干和選項兩方面提供的信息，盡量縮短解題時間，依據(jù)題目的具體特點，靈活、巧妙、快速地選擇解法，基本策略是要在“準”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結合法、等價轉化法等．方法一直接法直接法就是直接從題設條件出發(fā)，利用已知條件、相關概念、性質、公式、公理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，得出正確結論，此法是解選擇題和填空題最基本、最常用的方法．例1(1)(2022·邯鄲模擬)若向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝2eq\r(3)，且a·b＝3，則向量b與b－a夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(5),9)C.eq\f(7\r(2),16)D.eq\f(3\r(30),20)思路分析根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質，結合平面向量夾角公式進行求解即可.答案D解析因為|b|＝2eq\r(3)，且a·b＝3，所以b·(b－a)＝b2－b·a＝(2eq\r(3))2－3＝9，因為|b－a|＝eq\r(b－a2)＝eq\r(b2＋a2－2b·a)＝eq\r(12＋4－6)＝eq\r(10)，所以向量b與b－a夾角的余弦值為eq\f(b·b－a,|b|·|b－a|)＝eq\f(9,2\r(3)×\r(10))＝eq\f(3\r(30),20).(2)(2022·湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn＝n2＋n(n∈N*)，設bn＝eq\f(1,an·an＋1)，則數(shù)列{bn}的前2023項和T2023＝________.思路分析根據(jù)數(shù)列中前n項和與項的關系，即可求通項，再利用裂項相消法求和.答案eq\f(2023,2024)解析∵2Sn＝n2＋n，∴Sn＝eq\f(n2＋n,2)，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(n－1n,2)＝n，a1＝S1＝eq\f(1＋1,2)＝1也符合上式，∴an＝n，bn＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴T2023＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2023)－eq\f(1,2024)＝eq\f(2023,2024).規(guī)律方法直接法是解決計算型客觀題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解選擇題、填空題的關鍵．方法二特例法從題干出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數(shù)或特殊圖形或特殊位置，進行判斷．特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可以使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)等．例2(1)若a>b>c>1且ac<b2，則()A．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logacC．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac思路分析利用特值法或利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質即可得到結果.答案B解析取a＝5，b＝4，c＝3代入驗證可知選項B正確．(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，B是A和C的等差中項，則a＋c與2b的大小關系是()A．a＋c>2b B．a＋c<2bC．a＋c≥2b D．a＋c≤2b思路分析B是A，C的等差中項→賦值A，B，C→檢驗選項答案D解析①令A＝30°，B＝60°，C＝90°，令c＝2，則a＝1，b＝eq\r(3)，∴a＋c＝3<2b＝2eq\r(3)，②令A＝B＝C＝60°，則a＝b＝c，∴a＋c＝2b，故a＋c≤2b.規(guī)律方法特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點：第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；第二，若在取定的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解．方法三排除法排除法也叫篩選法、淘汰法，它是充分利用單選題有且只有一個正確的選項這一特征，通過分析、推理、計算、判斷，排除不符合要求的選項．例3(1)(2022·菏澤質檢)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)的圖象可能為()思路分析利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再由函數(shù)值的變化情況判斷答案C解析f(x)的定義域為{x|x≠±1}，因為f(－x)＝eq\f(e－x－ex,－x2＋|－x|－2)＝－eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除A，D，當x>0且x≠1時，f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋x－2)，當0<x<1時，x2＋x－2<0，ex－e－x＝eq\f(e2x－1,ex)>0，所以f(x)<0，故排除B.(2)(2022·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝ex(x＋1)，則下列說法正確的是()A．當x>0時，f(x)＝ex(1－x)B．f(x)>0的解集為(－1,0)C．函數(shù)f(x)有2個零點D．?x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2思路分析觀察選項，從易于判斷真假的選項出發(fā)答案D解析對于A，令x>0，則－x<0，∴f(－x)＝e－x(1－x)，又f(x)為奇函數(shù)，∴－f(x)＝e－x(1－x)，∴f(x)＝e－x(x－1)，故A錯誤；對于B，當x<0時，令f(x)＝ex(x＋1)>0，解得－1<x<0，當x>0時，令f(x)＝e－x(x－1)>0，解得x>1，綜上，f(x)>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)，故B錯誤；對于C，當x<0時，令f(x)＝0?x＝－1，當x>0時，令f(x)＝0?x＝1，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)＝0，∴f(x)有3個零點分別為－1,0,1，故C錯誤．規(guī)律方法排除法使用要點(1)從選項出發(fā)，先確定容易判斷對錯的選項，再研究其他選項．(2)當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，它與特值(例)法、驗證法等常結合使用．方法四構造法用構造法解客觀題的關鍵是利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數(shù)學模型，它需要對基礎知識和基本方法進行積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到的類似問題中尋找靈感，構造出相應的具體的數(shù)學模型，使問題簡化．例4(1)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD.eq\r(6)π思路分析求球O的體積→求球O的半徑→構造正方體補形答案D解析如圖所示，構造棱長為eq\r(2)的正方體，顯然滿足題設的一切條件，則球O就是該正方體的外接球，從而體積為eq\r(6)π.(2)(2022·廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足eq\f(1,2)

f(x)＋f′(x)>0，且有f(1)＝eq\f(1,2)，則2f(x)>SKIPIF1<0的解集為()A．(－∞，2) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(2，＋∞)思路分析構造函數(shù)Fx＝fx·SKIPIF1<0，利用導數(shù)，結合已知條件判斷Fx的單調性，由此化簡不等式2fx>SKIPIF1<0并求得其解集答案B解析設F(x)＝f(x)·SKIPIF1<0，則F′(x)＝f′(x)·SKIPIF1<0＋eq\f(1,2)

f(x)·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)

fx＋f′x))>0，所以函數(shù)F(x)在R上單調遞增，又f(1)＝eq\f(1,2)，所以F(1)＝f(1)·SKIPIF1<0又2f(x)>SKIPIF1<0等價于f(x)·SKIPIF1<0即F(x)>F(1)，所以x>1，即所求不等式的解集為(1，＋∞)．規(guī)律方法構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．方法五估算法因為單選題提供了唯一正確的答案，解答又不需提供過程，所以可以通過猜測、推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運算量，但同時加強了思維的層次，估算省去了很多推導過程和復雜的計算，節(jié)省了時間，從而顯得更加快捷．例5(1)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm思路分析估計身高→人體各部分長度大致范圍→題中長度關系估算答案B解析頭頂至脖子下端的長度為26cm，可得咽喉至肚臍的長度小于42cm，肚臍至足底的長度小于110cm，則該人的身高小于178cm，又由肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于65cm，則該人的身高大于170cm，所以該人的身高在170cm～178cm之間．(2)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)思路分析V三棱錐D－ABC最大值→三棱錐高的最大值→依據(jù)三棱錐和球的關系估算答案B解析等邊三角形ABC的面積為9eq\r(3)，顯然球心不是此三角形的中心，所