新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題突破練習(xí)專題04 立體幾何（解析版）

專題04立體幾何立體幾何一般作為全國卷第20題21題.重點(diǎn)題型主要是1體積問題及表面積問題2線面距離及線面角問題3二面角問題4空間幾何綜合問題題型一：體積及表面積問題1．在如圖所示的多面體ABCDE中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面BDE；(2)求多面體ABCDE的體積．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：設(shè)AB，BE的中點(diǎn)分別為F，G，連接CF，F(xiàn)G，DG，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形CFGD為平行四邊形，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又AB，SKIPIF1<0平面ABE，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABE，又SKIPIF1<0平面BDE，所以平面SKIPIF1<0平面BDE．（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且AB，SKIPIF1<0平面ABE，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABE，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABE，SKIPIF1<0平面ABE，所以SKIPIF1<0平面ABE，所以點(diǎn)D到平面ABE的距離等于點(diǎn)C到平面ABE的距離SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABC，AC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又AC，SKIPIF1<0平面ABC，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABC，連接AD，多面體ABCDE的體積V等于三棱錐SKIPIF1<0的體積與三棱錐SKIPIF1<0的體積之和，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以多面體ABCDE的體積SKIPIF1<0．1．如圖①，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0折疊，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，且二面角SKIPIF1<0為直二面角，如圖②．已知SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求四棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0是直二面角，即平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的四等分點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.題型二：線面距離及線面角問題．如圖，在多面體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面ABC，平面SKIPIF1<0平面ABC，H為AB的中點(diǎn)．(1)判斷DE與平面ABC的位置關(guān)系，并加以證明；(2)求直線DH與平面ACE所成角的正弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明見解析；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，理由如下：分別取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0是全等的正三角形，所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，則易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．1如圖，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的大?。?3)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0正方向?yàn)镾KIPIF1<0軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0軸SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.（3）由（2）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.題型三：二面角問題1如圖，四棱錐P-ABCD中，已知SKIPIF1<0，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．(1)證明：PB⊥AB；(2)設(shè)E是PC的中點(diǎn)，直線AE與平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連結(jié)BD，在SKIPIF1<0中，因?yàn)锽C=2DC，∠BCD=60°，由余弦定理SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以CD⊥BD，又CD⊥PD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CD⊥平面PDB，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CD⊥PB．因?yàn)镻B⊥BD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以PB⊥平面ABCD，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此PB⊥AB．（2）解法1：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)閤軸正方向，SKIPIF1<0為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由（1）可知y軸在平面ABCD內(nèi)．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由AE與平面ABCD所成角等于45°，可知SKIPIF1<0，解得t=2．設(shè)平面DPC的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以可取SKIPIF1<0．因?yàn)槠矫鍮PC的法向量為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．因?yàn)槎娼荁-PC-D是銳二面角，所以其余弦值為SKIPIF1<0．解法2：取BC中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，AF，則SKIPIF1<0，且AF=DC．由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE與平面ABCD所成角，所以∠EAF=45°，所以EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)閤軸正方向，SKIPIF1<0為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，由（1）可知y軸在平面ABCD內(nèi)．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面DPC的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0所以可取SKIPIF1<0．因?yàn)槠矫鍮PC的法向量SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．因?yàn)槎娼荁-PC-D是銳二面角，所以其余弦值為SKIPIF1<0．解法3：取BC中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，AF，則SKIPIF1<0，且AF=DC．由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE與平面ABCD所成角，故∠EAF=45°，因此EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC=BC，可得SKIPIF1<0．連結(jié)BE，則BE⊥PC．過E在平面PDC內(nèi)作EG⊥PC，交PD于點(diǎn)G，則∠BEG是二面角B-PC-D的平面角．因?yàn)镻B⊥BC，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镃D⊥PD，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．由PC⊥平面BEG，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以PC⊥BG，而CD⊥BG，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故BG⊥平面PDC，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以BG⊥GE，所以由余弦定理得SKIPIF1<0．因此二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．1如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD為梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SBC；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）分別取BS，AS的中點(diǎn)O，E，連接OE，OC，ED，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形OCDE為平行四邊形，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SA，SKIPIF1<0平面SAB，所以SKIPIF1<0平面SAB.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SBC，所以平面SKIPIF1<0平面SBC.（2）連接AO，因?yàn)椤鱏KIPIF1<0為正三角形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SBC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SBC，OC、OS在面SBC內(nèi)，又SKIPIF1<0，故OA，OS，OC兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OS，OA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（難點(diǎn)：點(diǎn)D的坐標(biāo)不易直接看出，可先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用SKIPIF1<0求解點(diǎn)D的坐標(biāo)）所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)面SAD的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.設(shè)面SAC的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，顯然二面角SKIPIF1<0為銳二面角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.題型四：空間幾何綜合問題1．如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在線段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.若存在，求出的SKIPIF1<0值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)存在，SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，顯然，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.1如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O?M分別為線段AD?DE的中點(diǎn)，四邊形BCDO是邊長為1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.(1)求證：CMSKIPIF1<0平面ABE；(2)求直線CM與BD所成角的余弦值；(3)點(diǎn)N在直線AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求線段AN的長.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：取AE的中點(diǎn)P，連接BP?MP，如圖所示.∵M(jìn)?P分別為ED?AE的中點(diǎn)，∴PMSKIPIF1<0AD，且PM=SKIPIF1<0AD.又四邊形BCDO是邊長為1的正方形，∴BCSKIPIF1<0OD，且BC=OD，又O為AD的中點(diǎn)，∴BCSKIPIF1<0AD，且BC=SKIPIF1<0AD，即PMSKIPIF1<0BC，且PM=BC，∴四邊形BCMP為平行四邊形，∴CMSKIPIF1<0PB，又CM?平面ABE，PB?平面ABE，∴CMSKIPIF1<0平面ABE.（2）（2）連接EO，∵AE=DE，O為AD中點(diǎn)，∴EO⊥AD.∵EO?平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，∴EO⊥平面ABCD.又OB?平面ABCD，OD?平面ABCD，∴EO⊥OB，EO⊥OD，以O(shè)為原點(diǎn)，OB?OD?OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，MSKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=（-1，1，0）.設(shè)直線CM與BD所成角為θ，則cosθ=SKIPIF1<0，∴直線CM與BD所成角的余弦值為SKIPIF1<0.（3）設(shè)SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0，則N（0，λ，0），∴SKIPIF1<0=（1，-λ，0），SKIPIF1<0，設(shè)平面BMN的法向量為SKIPIF1<0(a，b，c)，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令a=λ，則b=1，c=2λ-1，∴SKIPIF1<0=（λ，1，2λ-1），設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0．∵平面BMN⊥平面ABE，∴SKIPIF1<0，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.一、解答題1．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樵诘冗吶切蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.2．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）在直三棱柱SKIPIF1<0中，設(shè)點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且相交，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，D為線段AB的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積為8．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

在三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.4．（2022·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的正弦值為SKIPIF1<0，求四棱錐SKIPIF1<0的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0；因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0兩兩垂直，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的正弦值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，所以四棱錐SKIPIF1<0的高等于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0.四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.5．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，證明：底面SKIPIF1<0是正方形(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直棱柱中SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平行四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，則直棱柱的側(cè)面SKIPIF1<0是正方形，因此側(cè)面SKIPIF1<0也是正方形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直棱柱中易知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此底面SKIPIF1<0是矩形，即四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以四邊形SKIPIF1<0是正方形；（2）由（1）知底面SKIPIF1<0是菱形，因此SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行的直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．6．（2022·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）直四棱柱SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0所截，所得的一部分如圖所示，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】（1）詳見解析；（2）SKIPIF1<0．【詳解】（1）依題：平面SKIPIF1<0與兩平行平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故有平行四邊形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，如圖建系．【法一求SKIPIF1<0】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得平行四邊形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，（連SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為所求二面角的平面角．易求SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【法二求SKIPIF1<0】面SKIPIF1<0的法向量顯然為SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依題：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可