專題24.6直線與圓的位置關(guān)系-【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.6直線與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d=r③直線l和⊙O相離?d＞r．【典例剖析】【例1】．（2020秋?崇川區(qū)月考）在△ABC中，AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm．（1）若以點(diǎn)C為圓心，2cm長為半徑畫⊙C，則直線AB與⊙C的位置關(guān)系如何？（2）若直線AB與半徑為r的⊙C相切，求r的值．（3）若線段AB與半徑為r的⊙C有唯一公共點(diǎn)，求r的取值范圍．【分析】（1）由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，由△ABC的面積得出CD＝＝＞2，即可得出結(jié)論；（2）由切線的性質(zhì)和三角形面積求出CD＝2.4cm即可；（3）分兩種情況：①圓與AB相切時(shí)，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；②點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，此時(shí)AC＜r≤BC，即3＜r≤4．即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，如圖所示：由△ABC的面積得：CD＝＝＞2，∴若以點(diǎn)C為圓心，2cm長為半徑畫⊙C，則直線AB與⊙C的位置關(guān)系是相離；（2）若直線AB與半徑為r的⊙C相切，設(shè)切點(diǎn)為D，則CD⊥AB，由△ABC的面積得：CD＝＝＝2.4，即r＝2.4cm；（3）∵BC＞AC，∴以C為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)．分兩種情況：①圓與AB相切時(shí)，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；②點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，此時(shí)AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴r的取值范圍時(shí)3＜r≤4或r＝2.4．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?六盤水）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系相交，故選：B．2．（2022?灌陽縣一模）圓的半徑是7cm，如果圓心與直線上某一點(diǎn)的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【分析】欲確定直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是把圓心距6.5cm與半徑7cm進(jìn)行比較．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵圓的半徑是7cm，圓心與直線上某一點(diǎn)的距離是6.5cm，∴d＜r，∴直線與圓相交，故選：C．3．（2022?東明縣一模）已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相離【分析】根據(jù)直線上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定得出直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：C．4．（2021秋?信都區(qū)期末）半徑為5的四個(gè)圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個(gè)圓的圓心到直線l的距離為4，則這個(gè)圓可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四個(gè)半徑為5的等圓，∴圓心到直線l的距離為4是⊙O3，故選：C．5．（2022春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果⊙O的半徑為6cm，線段OA＝10cm，線段OB＝6cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，線段OA＝10cm，線段OB＝6cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．6．（2022?金山區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，），圓P的半徑為2，下列說法正確的是（）A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn) B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn) C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn) D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．【解答】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．故選：B．7．（2021秋?韶關(guān)期末）已知⊙O的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為5，那么直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．直線l與⊙O相交 B．直線l與⊙O相切 C．直線l與⊙O相離 D．無法確定【分析】根據(jù)“若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離”即可得到結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為5，3＜5，∴直線l與⊙O相離．故選：C．8．（2022?余杭區(qū)一模）如圖，若⊙O的直徑為6，點(diǎn)O到某條直線的距離為6，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵若⊙O的直徑為6，∴圓O的半徑為3，∵點(diǎn)O到某條直線的距離為6，∴這條直線與圓相離，故選：A．9．（2021秋?無為市期中）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離d＝3．則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離或相切 D．相交或相切【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x1＝3，x2＝4，∵⊙O的半徑為一元二次方程x2﹣7x+12＝0的根，∴r＝3或r＝4，∵d＝3，∴當(dāng)r＝3時(shí)，d＝r，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切，當(dāng)r＝4時(shí)，d＜r，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交，故選：D．10．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（）A．0≤r≤ B．≤r≤3 C．≤r≤4 D．3≤r≤4【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形得出另一種有一個(gè)交點(diǎn)的情況，即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AC＝3，BC＝4．如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴AB＝5，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d＝r，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點(diǎn)，∴≤r≤4．故選：C．二．填空題（共8小題）11．（2022?金平區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心坐標(biāo)為（3，5），半徑為方程x2﹣2x﹣15＝0的一個(gè)根，那么⊙A與x軸的位置關(guān)系是相切．【分析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半徑為5，于是得到⊙A的半徑＝圓心A到x軸的距離，即可得到結(jié)論．【解答】解：解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3，∴⊙A的半徑為5，∵⊙A的圓心坐標(biāo)為（3，5），∴點(diǎn)A到x軸的距離為5，∴⊙A的半徑＝圓心A到x軸的距離，∴⊙A與x軸的位置關(guān)系是相切，故答案為：相切．12．（2021秋?綿陽期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙D與y軸相交的弦長為6，圓心D（2，4），則過點(diǎn)B（2，3）的所有弦中最短的弦長為4．【分析】設(shè)圓D與y軸的交點(diǎn)為E，A，連接DE，過D作DC⊥y軸于C，根據(jù)勾股定理得到DE＝＝＝，根據(jù)D（2，4），B（2，3），得到DB∥y軸，推出過點(diǎn)B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，過B作MN⊥DB交⊙D于M，N，連接DN，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)圓D與y軸的交點(diǎn)為E，A，連接DE，過D作DC⊥y軸于C，∵⊙D與y軸相交的弦長為6，∴AE＝6，∴CE＝3，∵D（2，4），∴CD＝2，∴DE＝＝＝，∵D（2，4），B（2，3），∴DB∥y軸，∴過點(diǎn)B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，過B作MN⊥DB交⊙D于M，N，連接DN，在Rt△DBN中，∠DBN＝90°，DB＝1，DN＝，∴BN＝＝2，∴MN＝2BN＝4，故過點(diǎn)B（2，3）的所有弦中最短的弦長為4，故答案為：4．13．（2021秋?南沙區(qū)期末）已知⊙O的直徑為8cm，如果直線AB上的一點(diǎn)與圓心的距離為4cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交．【分析】分OM⊥AB、OM與AB不垂直兩種情況，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：設(shè)直線AB上與圓心的距離為4cm的點(diǎn)為M，當(dāng)OM⊥AB時(shí)，OM＝⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切，當(dāng)OM與AB不垂直時(shí)，圓心O到直線AB的距離小于OM，∴圓心O到直線AB的距離小于⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相交，綜上所述：直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交，故答案為：相切或相交．14．（2021秋?崆峒區(qū)期末）以平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為圓心，半徑為3的圓與直線x＝3的位置關(guān)系是相切．【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的判定方法判斷即可．【解答】解：原點(diǎn)O到直線x＝3的距離為3，∴以原點(diǎn)O為圓心，半徑為3的圓與直線x＝3的位置關(guān)系是相切，故答案為：相切．15．（2021秋?南開區(qū)期末）已知⊙O的半徑為10，直線AB與⊙O相交，則圓心O到直線AB距離d的取值范圍是0≤d＜10．【分析】根據(jù)直線AB和圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑即可得問題答案．【解答】解：∵⊙O的半徑為10，直線L與⊙O相交，∴圓心到直線AB的距離小于圓的半徑，即0≤d＜10；故答案為：0≤d＜10．16．（2022?鞍山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C為圓心，r為半徑作圓．若該圓與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，則r的取值范圍為r＝或2＜r≤2．．【分析】先根據(jù)題意畫出符合的兩種情況，根據(jù)勾股定理求出BC，即可得出答案．【解答】解：過C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝4，∴BC＝＝＝2，根據(jù)三角形的面積公式得：AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝，當(dāng)圓與時(shí)AB相切時(shí)，r＝，當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓外或圓上時(shí)，r的范圍是2＜r≤2，綜上所述：r的取值范圍是r＝或2＜r≤2，故答案為：r＝或2＜r≤2．17．（2021秋?涼山州期末）點(diǎn)A是半徑為2的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O到直線MN的距離為3．點(diǎn)P是MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過程中若∠POA＝90°，則線段PA的最小值是．【分析】根據(jù)勾股定理用OP表示出PA，根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA＝＝，當(dāng)OP最小時(shí)，PA取最小值，由題意得：當(dāng)OP⊥MN時(shí)，OP最小，最小值為3，∴PA的最小值為：＝，故答案為：．18．（2021秋?信都區(qū)校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，則r的取值范圍為r＜；若⊙C與AB邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍為6＜r≤8或r＝．【分析】如圖，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH即可判斷．【解答】解：如圖，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∵S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CH，∴CH＝，∵以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，∴r的取值范圍為r＜，∵⊙C與AB邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴r的取值范圍為6＜r≤8或r＝，故答案為：r＜，6＜r≤8或r＝．三．解答題（共4小題）19．在△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，以點(diǎn)C為圓心，下列r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系，為什么？（1）r＝2；（2）r＝2.4；（3）r＝2.8．【分析】①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．利用上述結(jié)論判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝3，b＝4，∴c＝＝＝5，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為d，∵ab＝cd，∴d＝，（1）∵r＝2，d＝，又∵＞2，∴直線與圓相離．（2）∵r＝2.4＝，d＝，又∵＝，∴直線與圓相切．（3）∵r＝2.8，d＝，又∵＜2.8，∴直線與圓相交．20．（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，則直線y＝﹣2x+與⊙O的位置關(guān)系怎樣？【分析】過O作OC⊥直線AB，垂足為C，作出直線y＝﹣2x+，令x＝0求出y的值，確定出B的坐標(biāo)，得到OB的長，令y＝0求出x的值，確定出A的坐標(biāo)，得到OA的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長，再利用面積法求出斜邊上的高OC，得到OC的長等于圓的半徑1，可得出直線與圓相切．【解答】解：如圖所示，過O作OC⊥直線AB，垂足為C，在直線y＝﹣2x+中，令x＝0，解得：y＝；令y＝0，解得：x＝，∴A（，0），B（0，），即OA＝，OB＝，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝＝，又S△AOB＝AB?OC＝OA?OB，∴OC＝＝＝1，又圓O的半徑為1，則直線y＝﹣2x+與圓O的位置關(guān)系是相切．21．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，若要以C為圓心，r為半徑畫⊙C，根據(jù)下列條件，求半徑r的值或取值范圍．（1）直線AB與⊙C相離．（2）直線AB與⊙C相切．（3）直線AB與⊙C相交．【分析】過C作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理得到AB＝10cm，再根據(jù)三角形的面積公式得到CD的長，然后