常微分方程的基本概念課件

1.微分方程的基本概念2.一階常微分方程3.二階線性微分方程常微分方程的基本概念

十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系的問題。在這些問題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來，而要根據(jù)具體問題的條件和某些物理定律，首先得到一個(gè)或幾個(gè)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知條件把未知函數(shù)求出來。學(xué)科背景常微分方程的基本概念解A.求曲線方程問題的提出：常微分方程的基本概念一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下自由下落（不計(jì)空氣阻力），試求質(zhì)點(diǎn)下落距離S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。

解：將質(zhì)點(diǎn)的初始位置取為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向取正向。已知自由落體的加速度為g,即：B.質(zhì)點(diǎn)自由下落常微分方程的基本概念定義1:

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程.

未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為常微分方程.

未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如5.1微分方程的基本概念常微分方程的基本概念例如定義2:

(微分方程的階)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.一階二階二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程.常微分方程的基本概念定義3:

(微分方程的解)稱為微分方程的通解.通解中各任意常數(shù)取特定值時(shí)所得到的解稱為特解.

微分方程的通解：常微分方程的基本概念定義5:(積分曲線與積分曲線族)積分曲線族

常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念1.微分方程的通解和特解有何區(qū)別和聯(lián)系?2.判斷下列函數(shù)是否是微分方程的解，是通解還是特解?(1)(2)(3)(4)常微分方程的基本概念§5.2一階常微分方程1.變量可分離型3.一階線性方程2.可化為可分離變量主要類型常微分方程的基本概念5.2.1可分離變量的微分方程如果一階微分方程這類方程的解法，通常是先將變量分離，再兩邊積分即可.常微分方程的基本概念兩邊積分通解分離變量這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是變量可分離型常微分方程的基本概念(1)[解]兩邊積分分離變量即于是得到方程通解常微分方程的基本概念(2)[解]分離變量?jī)啥朔e分,得通解奇異解常微分方程的基本概念成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)例常微分方程的基本概念5.2.2可化為可分離變量的方程解齊次方程時(shí),通常用變量替換法,即將齊次方程化為可變量分離的方程.常微分方程的基本概念這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是什麼?可化為齊次型方程求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！常微分方程的基本概念分離變量?jī)啥朔e分由此又得到通解常微分方程的基本概念兩端積分得通解常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念例3解常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念可得OMA=OAM=

例在制造探照燈反射鏡面時(shí),解:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成.過曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而AO=OM要求點(diǎn)光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO于是得微分方程:常微分方程的基本概念利用曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)

常微分方程的基本概念頂?shù)降椎木嚯x為

h,說明:則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達(dá)式得常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念(1)如何解齊次方程？標(biāo)準(zhǔn)形式：5.3一階線性微分方程分離變量齊次通解解得非齊次齊次常微分方程的基本概念(2)用常數(shù)變易法解非齊次方程假定(1)的解具有形式將這個(gè)解代入(1),經(jīng)計(jì)算得到常微分方程的基本概念化簡(jiǎn)得到即積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊次通解常微分方程的基本概念非齊次通解齊次通解常微分方程的基本概念例1

求

的通解。原方程化為其中解常微分方程的基本概念例2.

解方程解：利用求解公式常微分方程的基本概念練習(xí)：求常微分方程的基本概念