第二十二章二次函數(shù)（知識(shí)清單）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（人教版）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1）掌握二次函數(shù)的概念，并能根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。2）掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。3)能夠利用二次函數(shù)解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。重點(diǎn)：

1）掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì)。2)掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。難點(diǎn)：

1)理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。2)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。二、學(xué)習(xí)過(guò)程章節(jié)介紹二次函數(shù)是初中階段函數(shù)中的重要函數(shù)，它在解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線拋的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)、確定二次函數(shù)的解析式為必須掌握內(nèi)容，理解二次函數(shù)與各系數(shù)之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。二次函數(shù)是體現(xiàn)綜合性的重點(diǎn)內(nèi)容，在期中期末試卷中即有相對(duì)穩(wěn)定的基礎(chǔ)題，也有新穎的試題來(lái)考查學(xué)生的分析，解決問(wèn)題能力，實(shí)踐和創(chuàng)新能力，因此經(jīng)常與一次函數(shù)，三角形，四邊形知識(shí)結(jié)合在一起，成為試卷的壓軸題。知識(shí)梳理1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中，x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。2.二次函數(shù)的特殊形式：1)當(dāng)b＝0時(shí)，y＝ax2＋c（a≠0）2)當(dāng)c＝0時(shí)，y＝ax2＋bx（a≠0）3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2（a≠0）3.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：一般方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系；2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個(gè)等量關(guān)系；3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式。4.二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)5.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征和性質(zhì)6.二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)7.二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)8.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征和性質(zhì)9.求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式.2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2（h,k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式.3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx1)(xx2).當(dāng)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0)時(shí)，可設(shè)y=a(xx1)(xx2)，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式.10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系：1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中1)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小2)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越大【總結(jié)】a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大小(|a|越大，拋物線的開(kāi)口小)．2）在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置。即對(duì)稱軸x=b2a在y軸左側(cè)則ab>0，在y軸的右側(cè)則ab<0，概括的說(shuō)就是“左同右異1）當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸；2）當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；3）當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸?！拘〗Y(jié)】c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的三種情況與一元二次方程根的關(guān)系：12.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：1.分析題意，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，畫(huà)出圖形.平面直角坐標(biāo)系.函數(shù)解析式求解.4.根據(jù)二次函數(shù)的解析式解決具體的實(shí)際問(wèn)題.13.利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：①找好自變量；②利用相關(guān)的圖象面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式；③利用函數(shù)的最值解決面積最值問(wèn)題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。14.用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.15.利用二次函數(shù)解決銷售利潤(rùn)最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤(rùn)公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤(rùn)最大問(wèn)題是否存在最大利潤(rùn)問(wèn)題。16.利用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題的方法：1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。2）根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)。3）求出拋物線解析式。4）直接利用圖象解決實(shí)際問(wèn)題。考點(diǎn)解讀考查題型一根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．一個(gè)二次函數(shù)．（1）求k的值．（2）求當(dāng)x=3時(shí)，y的值？【詳解】解：（1）依題意有，解得：k=2，∴k的值為2；（2）把k=2代入函數(shù)解析式中得：，當(dāng)x=3時(shí)，y=14，∴y的值為14．2．已知函數(shù)．（1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求的值（2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．【詳解】解：（1）由題意得，解得；（2）由題意得，，解得且．3．已知函數(shù)y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍．(2)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值．(3)這個(gè)函數(shù)可能是正比例函數(shù)嗎？為什么？【詳解】(1)∵這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，∴m≠0且m≠1.(2)∵這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，∴∴m＝0.(3)不可能．∵當(dāng)m＝0時(shí)，y＝－x＋2，∴不可能是正比例函數(shù)．考查題型二二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．求：(1)該函數(shù)解析式及對(duì)稱軸；(2)試判斷點(diǎn)是否在此函數(shù)的圖象上．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為y軸；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在此函數(shù)的圖象上．2．已知是關(guān)于x的二次函數(shù).(1)求滿足條件的k的值；(2)k為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn).當(dāng)x為何值時(shí)，y的值隨x值的增大而增大？(3)k為何值時(shí)，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。俊驹斀狻?1)根據(jù)二次函數(shù)的定義得

解得k=±2.∴當(dāng)k=±2時(shí)，原函數(shù)是二次函數(shù).(2)

根據(jù)拋物線有最低點(diǎn)，可得拋物線的開(kāi)口向上，∴k+1＞0，即k＞1，根據(jù)第(1)問(wèn)得：k=2.∴該拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大.(3)根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得拋物線的開(kāi)口向下，∴k+1＜0，即k＜1，根據(jù)第(1)問(wèn)得：k=2.∴該拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，∴當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)有最大值為0.

當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小.3．如圖，在正方形中，已知：點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線上，點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸上．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)連接交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意可設(shè)，則，∵點(diǎn)A在拋物線上，∴，∴或（舍去），∴；（2）解：設(shè)直線的解析式，∵，，∴，解得，∴直線為，由解得或，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為．考查題型三二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)1．在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出y＝x2，y＝x2－1的圖象．(1)分別指出它們的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)拋物線y＝x2－1與拋物線y＝x2有什么關(guān)系？【詳解】解：如圖所示：(1)拋物線y＝x2開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)；拋物線y＝x2－1開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，－1)．(2)拋物線y＝x2－1可由拋物線y＝x2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．2．已知二次函數(shù)．

求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；求這個(gè)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）y=（x24x）=（x2）2+4，對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）（2）當(dāng)y=0時(shí)，x2+4x=0，解得x=0或4，∴圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）和（4，0）．3．已知二次函數(shù)y＝ax2與y＝﹣2x2+c．（1）隨著系數(shù)a和c的變化，分別說(shuō)出這兩個(gè)二次函數(shù)圖象的變與不變；（2）若這兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，則a＝；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個(gè)單位就能與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，則c＝；（3）二次函數(shù)y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對(duì)應(yīng)值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小關(guān)系為（用“＜”連接）．【詳解】解：（1）二次函數(shù)y＝ax2的圖象隨著a的變化，開(kāi)口大小和開(kāi)口方向都會(huì)變化，但是對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)不會(huì)改變；二次函數(shù)y＝﹣2x2+c的圖象隨著c的變化，開(kāi)口大小和開(kāi)口方向都沒(méi)有改變，對(duì)稱軸也沒(méi)有改變，但是，頂點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)發(fā)生改變；（2）∵函數(shù)y＝ax2與函數(shù)y＝﹣2x2+c的形狀相同，∴a＝±2，∵拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝ax2﹣2，與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，∴c＝﹣2，故答案為：±2，﹣2．（3）由函數(shù)y＝﹣2x2+c可知，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為y軸，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案為：p＜m＜n．考查題型四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．拋物線y=3(x－2)2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，求△AOB的面積和周長(zhǎng)．【詳解】∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令，，解得：，令，，，，，，由勾股定理得：，．的面積為12，周長(zhǎng)為．2．已知函數(shù)，和．(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象；(2)分別說(shuō)出各個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)試說(shuō)明：分別通過(guò)怎樣的平移，可以由函數(shù)的圖象得到函數(shù)和函數(shù)的圖象；(4)分別說(shuō)出各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）解：由拋物線向左平移1個(gè)單位，由拋物線向右平移1個(gè)單位；（4）解：當(dāng)時(shí)y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)y隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)y隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)y隨著x的增大而增大．3．已知平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線，其中．若拋物線的對(duì)稱軸為，①m的值為_(kāi)﹔②當(dāng)時(shí)，有（填“”，“”或“”）．當(dāng)時(shí)，若拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出的取值范圍．【詳解】解：（1）①由，則對(duì)稱軸，，②把分別代入與得，，，；（2）聯(lián)立、的解析式可得，，整理得，，則△，，，即就是沒(méi)有直線與拋物線相切的情況．當(dāng)時(shí)，代入方程，得，（負(fù)值舍去），，當(dāng)時(shí)，代入方程，得，，又，的取值為：．考查題型五二次函數(shù)+k的圖象和性質(zhì)1．已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；（2）如下圖，當(dāng)m＝2時(shí)，該拋物線與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，∴代入二次函數(shù)y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，y＝(x－2)2－1，∴D(2，－1)，又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C(0，3)2．已知函數(shù).（1）寫(xiě)出函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減??？（4）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)有最大值（或最小值）？并求出最大（或?。┲担俊驹斀狻拷猓海?）由函數(shù)，∵，，，∴拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,8）.（2）令，即，解得，.∴圖象與x軸交于（1,0），（3,0）.令，即，∴圖象與y軸交于（0,6）.（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.（4）由頂點(diǎn)坐標(biāo)，得：當(dāng)時(shí)，y有最小值，最小值是8.3．已知拋物線C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若拋物線C的頂點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍；（2）若m＝﹣2，求拋物線C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)圍成的三角形的面積．【詳解】解：（1）∵拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，令，即，解得或，令，，∴如圖所示，A（3，0），B（1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴拋物線C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)圍成的三角形的面積是3．考查題型六二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)1．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．詳解】（1）解：對(duì)于直線BC解析式y(tǒng)=x3，令x=0時(shí)，y=3，則C(0,3)，令y=0時(shí)，x=3，則B(3,0)，把B(3,0)，C(0,3)，分別代入，得，解得：，∴求拋物線的解析式為：y=x2+4x3；（2）解：對(duì)于拋物線y=x2+4x3，令y=0，則x2+4x3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，如圖，∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，∴OB=OC=3，AB=2，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴AN=，∵，∴PM=，過(guò)點(diǎn)P作PEBC，交y軸于E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EF=PM=，∴CE=1∴點(diǎn)P是將直線BC向上或向下平移1個(gè)單位，與拋物線的交點(diǎn)，如圖P1，P2，P3，P4，∵B(3,0)，C(0,3)，∴直線BC解析式為：y=x3，∴平移后的解析式為y=x2或y=x4,聯(lián)立直線與拋物線解析式，得或，解得：，，，，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(,)或（,）或(,)．（3）解：如圖，點(diǎn)Q在拋物線上，且∠ACQ=45°，過(guò)點(diǎn)Q作AD⊥CQ于D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于E，∵∠ADC=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴CD=AD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADF=90°∠CDE=∠DCE，∴△CDE≌△DAD（AAS），∴DE=AF，CE=DF，∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，∴四邊形OCEF是矩形，∴OF=CE，EF=OC=3，設(shè)DE=AF=n，∵OA=1，∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3n，∴n+1=3n解得：n=1，∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，∴D(2,2),設(shè)直線CQ解析式為y=px3，把D(2,2)代入，得p=,∴直線CQ解析式為y=x3，聯(lián)立直線與拋物線解析式，得解得：，（不符合題意，舍去），∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(,).2．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PB+PC的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由y＝0，得x2+x2＝0解得x＝2，x＝1，∴A（2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝2，∴C（0，2）．（2）連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．設(shè)直線AC為y＝kx+b，則﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．對(duì)稱軸為x＝，當(dāng)x＝時(shí)，y＝2＝，∴P（，）．3．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2－2mx＋5m的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，∴－2＝1－2m＋5m，解得；

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋2x－5．（2）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線；故二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：直線；考查題型七二次函數(shù)與一元二次方程1．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)．(1)求m的值；(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)，∴4=4+2m+m2?3，即m2+2m?3=0，解得：m1=1，m2=?3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)為，且與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使與的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，∴，解得，即，；（2）存在，或或，理由如下，由，令，即，解得，，；（3）設(shè)，邊上的高為，與的面積相等，，是上的點(diǎn)，則，或，解得或.，或或．3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x?m=0．(1)設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，若滿足x1+x2=x1?x2，求m的值．(2)二次函數(shù)y=x2+x?m的部分圖象如圖所示，求m的值．【詳解】（1）解：由題意得：x1+x2=1，x1?x2=m，∴1=m．∴m=1．當(dāng)m=1時(shí)，x2+x1=0，此時(shí)Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合題意．∴m=1；（2）解：圖象可知：過(guò)點(diǎn)（1，0），當(dāng)x=1，y=0，代入y=x2+xm，得12+1m=0．∴m=2．4．已知：一次函數(shù)，二次函數(shù)為（b，c為常數(shù)）.(1)如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn).求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出當(dāng)時(shí)x的取值范圍.(2)請(qǐng)寫(xiě)出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由.【詳解】（1）將（3，m）代入得m=62=4，將（n,6）代入得6=2n2，解得n=2，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），（2，6），將（3，4），（2，6）代入得，解得，∴，由圖象可得2＜x＜3時(shí)，拋物線在直線上方，∴時(shí)x的取值范圍是2＜x＜3．（2）令，整理得，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴b=2，c=2，滿足題意．考查題型八二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題1．某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【詳解】（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)（25，50）和點(diǎn)（35，30）代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是元，則，解得：，，∴當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是40元或20元；（3）解：根據(jù)題意，則，整理得：；∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為800；∴當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元．2．某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣(mài)出360件；若每件按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣(mài)出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元）的一次函數(shù)．(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；(2)當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大？并求此最大利潤(rùn)．【詳解】（1）解：設(shè)，把，和，代入可得，解得，則；（2）解：每月獲得利潤(rùn)．∵，∴當(dāng)時(shí)，P有最大值，最大值為3630．答：當(dāng)價(jià)格為21元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3630元．3．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為，則，∴，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是．任務(wù)二：∵水位再上漲達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少，燈籠長(zhǎng)，∴懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值