劉振龍培元中學(xué)一道中考數(shù)學(xué)題引起的探究活動

一道中考數(shù)學(xué)題引起的探究活動362000福建泉州培元中學(xué)劉振務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。2003年江蘇常州市中考試卷給我們提供了一個具有深刻背景與研究價值的中考數(shù)學(xué)題：如圖，正三角形ABC的邊長為1，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AP1，形成扇形D1；將線段BP1繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°至BP2，形成扇形D2；將線段CP2繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°至CP3，形成扇形D3；將線段AP3繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AP4，形成扇形D4…．設(shè)為扇形Dn的弧長（n=1，2，3…），回答下列問題：（1）按照要求填表：n123…n…（2）轉(zhuǎn)動n次之后，所得的弧長總和為多少？本題主要考查了弧長公式的實際應(yīng)用，通過圖形可以找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個扇形所對的圓心角都不變，為120°；變化的是半徑，第一個扇形D1半徑為1，第二個扇形D2半徑為2，第三個扇形D3半徑為3，以此類推，從而給出第n個扇形Dn的弧長：扇形D1：扇形D2：扇形D3：……扇形Dn：弧長總和為求解此問題后，學(xué)生被此優(yōu)美的圖案所吸引，這是一個由正三角形某一頂點有序的繞著其他頂點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)而成，于是自然想到，若改變基礎(chǔ)圖形，將正三角形改為正方形、正五邊形、正六邊形，甚至推廣為正m邊形，結(jié)論將如何變化？若將求弧長總和改為求扇形的面積總和，又將得到怎樣的結(jié)論？帶著這些問題，我們進入以下探究活動：探究一：將正三角形改為正方形，如圖所示，則扇形Dn的弧長為多少？弧長總和為多少？扇形D1：扇形D2：扇形Dn：弧長總和為探究二：改為正五邊形，如圖所示，則扇形Dn的弧長為多少？弧長總和為多少？扇形D1：扇形D2：扇形Dn：弧長總和為探究三：改為正m邊形，猜測扇形Dn弧長，弧長總和為，猜想是否正確？學(xué)生給出論證：正m邊形中每個外角為，即每次旋轉(zhuǎn)的角度都為不變，而半徑仍然按1、2、3…的規(guī)律進行變化，所以，此時弧長總和為猜想正確，證畢！探究四：若將求弧長總和改為求扇形的面積總和，又將得到怎樣的結(jié)論？我們將第n個扇形的面積記為，則，，…，，所以面積總和為問題拓展：若將上述圖形中的正多邊形改為普通多邊形，可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索（可以從普通三角形入手），讓學(xué)生在發(fā)散性思維的引導(dǎo)下，不斷去發(fā)現(xiàn)新知識，新天地，拓展新空間，養(yǎng)育新能力，這是數(shù)