2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題19 平行四邊形與多邊形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（全國通用）（學(xué)生版）

專題19平行四邊形與多邊形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1認(rèn)識(shí)多邊形】 1【考點(diǎn)2多邊形的對角線】 3【考點(diǎn)3多邊形的內(nèi)角和】 4【考點(diǎn)4多邊形的外角和】 4【考點(diǎn)5平面鑲嵌】 5【考點(diǎn)6平行四邊形的性質(zhì)】 7【考點(diǎn)7平行四邊形的判定】 9【考點(diǎn)8利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】 10【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】 11【考點(diǎn)10平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】 13【要點(diǎn)1多邊形的概念】平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.【要點(diǎn)2正多邊形的概念】各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.【考點(diǎn)1認(rèn)識(shí)多邊形】【例1】（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對稱圖形 B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形【變式1-1】（2022·河北·模擬預(yù)測）已知正n邊形的周長為60，邊長為a（1）當(dāng)n=3時(shí)，請直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長為67，邊長為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應(yīng)的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認(rèn)為這種說法對嗎？若不對，請求出不符合這一說法的n的值．【變式1-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．例如：圖中△ABC的與四邊形DEFG均為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)記為L，已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=N+aL+b（a，b為常數(shù)），若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=14，L=7，則S=（

）A．16.5 B．17 C．17.5 D．18【變式1-3】（2022·山西臨汾·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)．一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形．有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b任務(wù)：（1）如圖2，是6×6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點(diǎn)多邊形的面積是_______．（2）已知：一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積S為19，且邊界上的點(diǎn)數(shù)b是內(nèi)部點(diǎn)數(shù)a的3倍，則a+b=______．（3）請你在圖3中設(shè)計(jì)一個(gè)格點(diǎn)多邊形．要求：①格點(diǎn)多邊形的面積為8；②格點(diǎn)多邊形是一個(gè)軸對稱圖形．【要點(diǎn)3多邊形的對角線】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)n邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，共有12n（n﹣【考點(diǎn)2多邊形的對角線】【例2】（2022·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2022·陜西渭南·統(tǒng)考三模）如果過某多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對角線有5條，則該多邊形是______邊形．【變式2-2】（2022·陜西西安·二模）若一個(gè)正多邊形的半徑與它的邊長相等，則過該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對角線有______條．【變式2-3】（2022·江蘇南通·校考模擬預(yù)測）連接多邊形任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對角線．（1）對角線條數(shù)分別為、、、．（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由．（3）若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1800°，求它對角線的條數(shù)．【要點(diǎn)4多邊形的內(nèi)角和】n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．【考點(diǎn)3多邊形的內(nèi)角和】【例3】（2022·福建廈門·校考一模）一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為2010°，則這個(gè)內(nèi)角是（

）A．20° B．120° C．150° D．200°【變式3-1】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．【變式3-2】（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A處．兩枚跳棋跳動(dòng)規(guī)則是：紅跳棋按順時(shí)針方向1秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時(shí)針方向3秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，兩枚跳棋同時(shí)跳動(dòng)，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是(

)A．4 B．23 C．2 【變式3-3】（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）有一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)90°后與自身重合，則n為（

A．6 B．9 C．12 D．15【要點(diǎn)5多邊形的外角和】在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).【考點(diǎn)4多邊形的外角和】【例4】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，六邊形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點(diǎn)A．55° B．56° C．57° D．60°【變式4-1】（2022·云南昆明·統(tǒng)考一模）小麗利用學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，給同伴出了這樣一道題：假如從點(diǎn)A出發(fā)，如圖所示，沿直線走6米后向左轉(zhuǎn)θ，接著沿直線前進(jìn)6米后，再向左轉(zhuǎn)θ……如此走法，當(dāng)她第一次走到A點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己走了72米，θ的度數(shù)為（

）A．30° B．32° C．35° D．36°【變式4-2】（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α?β=0 B．α?β<0C．α?β>0 D．無法比較α與β的大小【變式4-3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)45°，得到正六邊形OAnBnCnDnEA．?3,?3 B．?3,?3 C．3,?【考點(diǎn)5平面鑲嵌】【例5】（2022·廣西貴港·統(tǒng)考一模）單獨(dú)使用下面形狀的五種地地磚：①等邊三角形②正方形③正五邊形④正六邊形⑤正八邊形.能鑲嵌（密鋪）地面的是（

）A．③④⑤ B．①②④ C．②④⑤ D．①③④【變式5-1】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）小芳家房屋裝修時(shí)，選中了一種漂亮的正八邊形地磚．建材店老板告訴她，只用一種八邊形地磚是不能密鋪地面的，便向她推薦了幾種形狀的地磚．你認(rèn)為要使地面密鋪，小芳應(yīng)選擇另一種形狀的地磚是(

)A． B． C． D．【變式5-2】（2022·河北·統(tǒng)考三模）用4個(gè)全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形，如圖1，用n個(gè)全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個(gè)正多邊形，則n的值為__________．【變式5-3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，是某廣場用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚，從里向外的第一層包括6個(gè)正方形和6個(gè)正三角形，第2層包括6個(gè)正方形和18個(gè)正三角形，以此類推，第9層中含有正三角形個(gè)數(shù)是_____．【要點(diǎn)6平行四邊形的性質(zhì)】（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【考點(diǎn)6平行四邊形的性質(zhì)】【例6】（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【變式6-1】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=10，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=22，則△BOC的周長為________【變式6-2】（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點(diǎn)P為射線CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合），連接AP，過點(diǎn)P作EP⊥AP交直線BD于點(diǎn)E．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出PA，PE的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，求證：DA+2DP＝DE；(3)點(diǎn)P在射線CD上運(yùn)動(dòng)，若AD＝32，AP＝5，請直接寫出線段BE的長．【變式6-3】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗(yàn)，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點(diǎn)M在AD邊上，且BA=BM，點(diǎn)E是線段AM上任意一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得(1)問題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD=60°，將△ABE沿BE翻折后，使點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則AMAN(2)問題探究：如圖②，當(dāng)∠BAD=45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時(shí)(3)拓展延伸：當(dāng)∠BAD=30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．【要點(diǎn)7平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【考點(diǎn)7平行四邊形的判定】【例7】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對角線BE上的兩點(diǎn)，添加下列條件中的一個(gè)：①BM=EN；②∠FAN=∠CDM；③AM=DN；④∠AMB=∠DNE．能使四邊形AMDN是平行四邊形的是__________（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）．【變式7-1】（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式7-2】（2022·寧夏·中考真題）如圖，是邊長為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為2,1和?1,3．(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系xOy；(2)畫出線段AB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的線段A1(3)畫出以點(diǎn)A、B、O為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形．（畫出一個(gè)即可）【變式7-3】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（?12，0），B（3，72）兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)8利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】【例8】（2022·寧夏銀川·?？既＃┮阎喝鐖D，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，過點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D．同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADPQ為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形ADPQ:S△PQB【變式8-1】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（45°<α≤90°）得到△ADE，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是D(1)用含α的代數(shù)式表示∠AGC的度數(shù)；(2)當(dāng)AE∥BD時(shí)，求【變式8-2】（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=2,AD=3，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，將△DCE沿DE翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE的平行線交AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H．若點(diǎn)G是邊AD的三等分點(diǎn)，則【變式8-3】（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，定直線MN∥PQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過程中始終有∠BCQ=60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=243，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．2413 B．2415 C．1213 D．1215【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】【例9】（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖在正六邊形ABCDEF中，P是AB邊上一點(diǎn)，PM∥AF交EF于M，PN∥BC交(1)求∠MPN的度數(shù)；(2)記AB=a，PM=m，PN=n．求證：m+n=3a；(3)連結(jié)FD，MN，若PNPM=5【變式9-1】（2022·重慶·校考二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線(1)基本尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，再在AC上截取CF=AE．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接DE、DF、BF，猜想四邊形BEDF的形狀，將下面的推理過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，______，∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，AB=DC∴△ABE≌△CDF（

），∴BE=DF，∠BEA=∠DFC．∴∴__________________．∴四邊形DEBF是______________．【變式9-2】（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AD，BC為邊向外構(gòu)造等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，BD．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形．(2)若AD與BE交于點(diǎn)G，且AD=BD，∠DFB=45°，BG=2，求△BDG【變式9-3】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠ACB的平分線分別交AB于點(diǎn)D．交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交CE的平行線AF于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形．(2)若tan∠CAB＝23，AF＝5，求四邊形ADEF【考點(diǎn)10平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】【例10】（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考模擬預(yù)測）鄭州的發(fā)展離不開火車技術(shù)的進(jìn)步，鄭州北站是全亞洲最大的貨運(yùn)鐵路編組站，最早的火車靠燃燒化學(xué)燃料推動(dòng)蒸汽機(jī)為火車提供前進(jìn)的動(dòng)力，這時(shí)火車被稱為蒸汽機(jī)車，下圖是為蒸汽機(jī)車提供動(dòng)力的車輪組，將其簡化后得到圖1，MN為活塞連桿，會(huì)從發(fā)動(dòng)機(jī)FGDE中伸出縮回做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，N