2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題22 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（全國通用）（學(xué)生版）

專題22與圓有關(guān)的位置關(guān)系（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】 1【考點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系】 3【考點(diǎn)3圓與圓的位置關(guān)系】 4【考點(diǎn)4切線的判定的綜合運(yùn)用】 5【考點(diǎn)5切線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 6【考點(diǎn)6切線長定理】 8【考點(diǎn)7三角形的內(nèi)切圓】 10【考點(diǎn)8直線和圓的位置關(guān)系（一次函數(shù)）】 10【考點(diǎn)9圓的切線的運(yùn)用（尺規(guī)作圓）】 11【考點(diǎn)10動(dòng)圓問題】 13【要點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r.【考點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例1】（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時(shí)，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-1】（2022·廣西北?！そy(tǒng)考二模）已知⊙O的半徑為3，OA=5，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不確定【變式1-2】（2022·山東棗莊·校考一模）設(shè)P為⊙O外一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O的最短距離為2，最長距離為6，則⊙O的半徑為______．【變式1-3】（2022·北京平谷·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為r，對于平面上任一點(diǎn)P，我們定義：若在⊙O上存在一點(diǎn)A，使得點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)點(diǎn)B在⊙O內(nèi)，我們就稱點(diǎn)P為⊙O的友好點(diǎn)．(1)如圖1，若r為1．①已知點(diǎn)P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好點(diǎn)的是；②若點(diǎn)P（t，0）為⊙O的友好點(diǎn)，求t的取值范圍；(2)已知M（0，3），N（3，0），線段MN上所有的點(diǎn)都是⊙O的友好點(diǎn)，求r取值范圍．【要點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系】直線與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為則有：相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和相交相切：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)直線和相切相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和相離【考點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系】【例2】（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，3)，圓P的半徑為2，下列說法正確的是（

）A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)【變式2-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心到一條直線的距離為6，則這條直線可能是（

）A．l1 B．l2 C．l3【變式2-2】（2022·四川樂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣3x+1上運(yùn)動(dòng)，若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則符合上述條件的所有的點(diǎn)P共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2-3】（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34．D、E分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，DE∥AC，且BD=2CD．如果⊙E經(jīng)過點(diǎn)A，且與⊙D外切，那么⊙D與直線ACA．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【考點(diǎn)3圓與圓的位置關(guān)系】【例3】（2022·上海松江·?？既＃┮阎鰽BC，AB=10cm，BC=6cm，以點(diǎn)B為圓心，以BC為半徑畫圓⊙B，以點(diǎn)A為圓心，半徑為r，畫圓⊙A．已知⊙A與⊙BA．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．0≤r<4【變式3-1】（2022·四川綿陽·一模）如圖，⊙O1的直徑AB長度為12，⊙O2的直徑為8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直線O1O2平移，當(dāng)⊙O2平移到與⊙O1和AB所在直線都有公共點(diǎn)時(shí)，令圓心距O1O2＝x，則x的取值范圍是（）A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤43 D．2≤x≤8【變式3-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)C是OD的中點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作⊙O，以CD為直徑作⊙O'，AB與⊙O和⊙O'分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接BD，則cos∠BDC的值是（）A．33 B．55 C．12【變式3-3】（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定點(diǎn)，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個(gè)交點(diǎn)，則【要點(diǎn)3切線的判定】（1）切線判定：=1\*GB3①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線=2\*GB3②和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）=3\*GB3③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑．【考點(diǎn)4切線的判定的綜合運(yùn)用】【例4】（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是DC延長線上一點(diǎn)，連接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB(3)在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連接PC、PD，若AB=26，求AE?AP【變式4-1】（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BC為⊙O的直徑，點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥CE，交BC的延長線于點(diǎn)A，連接BD，交CE于點(diǎn)F．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的長．【變式4-2】（2022·寧夏·中考真題）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．連接BD并延長交AC于點(diǎn)M．(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)求證：AB=AM；(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的長．【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，EF∥AC交AB的延長線于點(diǎn)F，CE與AB交于點(diǎn)D，連接BE，若(1)求證：EF是⊙O的切線．(2)若BF=2，sin∠BEC=35【要點(diǎn)4切線的性質(zhì)】（1）切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（2）切線性質(zhì)的推論：=1\*GB3①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)=2\*GB3②經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心【考點(diǎn)5切線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例5】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)若BG=1，BF=3，求CF的長．【變式5-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝45，求OE【變式5-2】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，BE與⊙O相切，交CD的延長線于點(diǎn)E，且BE=DE．(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AC=4，sinC=①求⊙O的半徑；②求BD的長．【變式5-3】（2022·廣東東莞·石龍三中?？既＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑CE與⊙O相切于點(diǎn)D，與BA的延長線交于點(diǎn)E，EF⊥CO交CO延長線于點(diǎn)F，連接OD，CB，已知CB=3,EB=4,∠FEB=∠FCB．(1)求證：CB是⊙O的切線；(2)求⊙O的半徑；(3)連接BF，求sin∠FBE【要點(diǎn)5切線長定理】（1）切線長定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角【考點(diǎn)6切線長定理】【例6】（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34【變式6-1】（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數(shù)為（

）A．28° B．50° C．56° D．62°【變式6-2】（2022·四川瀘州·?？寄M預(yù)測）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB=14，BC=13，A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【變式6-3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在直角邊BC、斜邊AB上，PQ⊥AB，且PQ與⊙O相切，若AC=2PQ，則sin∠B的值為（A．12 B．35 C．34【要點(diǎn)6三角形的內(nèi)切圓】三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【考點(diǎn)7三角形的內(nèi)切圓】【例7】（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為______．【變式7-1】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知一個(gè)等邊三角形的邊長是6，那么這個(gè)等邊三角形內(nèi)切圓半徑是________．【變式7-2】（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠ACB=90°，BO的延長線交AC于點(diǎn)D，若BC=4，CD=1，則⊙O的半徑長為______．【變式7-3】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，AB＝AC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，連接DE、CD交⊙O于G，連接EG并延長交BC于H．(1)求證：DE∥BC(2)連接AG，若EH⊥BC求sin∠DAG【考點(diǎn)8直線和圓的位置關(guān)系（一次函數(shù)）】【例8】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考三模）已知在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A0,3為圓心，以3為半徑作⊙A，則直線y=kx+2k≠0與⊙A的位置關(guān)系是（A．相切 B．相交 C．相離 D．與k值有關(guān)【變式8-1】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長度為半徑畫圓．若一次函數(shù)y=kx+5k（k為常數(shù)，k≠0）的圖像與⊙O有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_________．【變式8-2】（2022·福建龍巖·統(tǒng)考二模）直線y=?12x?2與x軸、y軸分別交于A和B點(diǎn)，圓心為（0，2）且與x軸相切的圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，則點(diǎn)【變式8-3】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，⊙O1過以O(shè)B為邊長的正方形OBCD的四個(gè)頂點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度沿A→B→A運(yùn)動(dòng)后停止；動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，AO1交y軸于E點(diǎn)，P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)和S△ABE的值；（2）試探究點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動(dòng)到停止，直線PQ與⊙O1有哪幾種位置關(guān)系，并求出對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍．【考點(diǎn)9圓的切線的運(yùn)用（尺規(guī)作圓）】【例9】（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°．（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為4，①用尺規(guī)作出點(diǎn)A到CD所在直線的距離；②求出該距離．【變式9-1】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．(1)請用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．【變式9-2】（2022春·湖南·九年級統(tǒng)考期中）如圖．△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖．并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡．不寫作法）．①作△ABC的外接圓O；②在AB的延長線上作一點(diǎn)D，使得CD與⊙O相切；(2)綜合與運(yùn)用：在你所作的圖中．若AC＝6，則由線段CD、BD及BC所圍成圖形的面積為______．【變式9-3】（2022秋·河南商丘·九年級?？茧A段練習(xí)）【已有經(jīng)驗(yàn)】我們通過尺規(guī)作圖，可以作⊙O1經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，如圖1所示；也可以作⊙O2（或⊙O3），使⊙O(1)【遷移經(jīng)驗(yàn)】用尺規(guī)按要求畫圖：如圖3，已知∠P，求作⊙O使其與∠P的兩邊都相切；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)【問題解決】如圖4，在?Rt?△ABC?中，∠C=90°，AB=5，AC=3．若⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且與直線AB相切，⊙O的半徑為r，當(dāng)圓心①求r的最小值；②直接寫出r的最大值．【考點(diǎn)10動(dòng)圓問題】【例10】（2022·上?！ざ＃┤鐖D，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30°，圓P的半徑為1cm，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上從點(diǎn)O左側(cè)且距離O點(diǎn)6cm處，以1cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓P與直線CD相切時(shí)，圓心P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_____s．【變式10-1】（2022·江蘇常州·校聯(lián)考一模）如圖，在平面