初中數(shù)與學(xué)高中數(shù)學(xué)銜接讀本

數(shù)學(xué)第一部分方法篇一、認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)（一）高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)熟知高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)主要有：抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性、知識(shí)的密度和獨(dú)立性等。1．嚴(yán)謹(jǐn)性指的是數(shù)學(xué)學(xué)科通常以公理化體系來(lái)體現(xiàn)，且邏輯性強(qiáng)，精通性高.在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，擴(kuò)充了數(shù)集，驗(yàn)證了數(shù)集運(yùn)算律的擴(kuò)充。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要具備高度的嚴(yán)謹(jǐn)性，保證數(shù)學(xué)內(nèi)容的科學(xué)性。2．抽象性是指在對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式這一問(wèn)題上的特性，它在具體的基礎(chǔ)上，拋開(kāi)較多事物的具體特性，把具體過(guò)程號(hào)化，表現(xiàn)為高度的概括性，具有抽象的形式。3．應(yīng)用性是眾所周知的，但是在以往的教學(xué)過(guò)程中，教師和學(xué)生往往過(guò)于注重概念和定理的抽象意義，忽略了它的廣泛應(yīng)用性，抽象的概念、定理如若比作骨骼，那么數(shù)學(xué)的廣泛性應(yīng)用就好比血肉，二者缺一不可.在高中數(shù)學(xué)的新教材中，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，研究性學(xué)習(xí)有了大幅度的增加，有助于培養(yǎng)同學(xué)們將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的能力。4．知識(shí)的密度和獨(dú)立性大。學(xué)生從初中升入高中，不僅年齡上有了增長(zhǎng)，接受和理解能力也有較大程度的提高。高中數(shù)學(xué)教材相較于初中數(shù)學(xué)教材而言，內(nèi)容多且雜.因此教師的教學(xué)方法也有所變化.初中階段，數(shù)學(xué)教師通常都是把知識(shí)掰開(kāi)揉碎，講解非常仔細(xì)，與此同時(shí)，還會(huì)選擇數(shù)量相當(dāng)?shù)南嚓P(guān)習(xí)題進(jìn)行鞏固。但是，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)往往在新知識(shí)的開(kāi)始階段的例題有具有一定的坡度，強(qiáng)調(diào)以舊知識(shí)引入帶新知識(shí)，注重知識(shí)橫向與縱向之間的聯(lián)系.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，往往似乎聽(tīng)懂了，但卻不能熟練運(yùn)用，在解題過(guò)程中思路不通暢.在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，除了立體幾何與解析幾何有個(gè)相對(duì)明確的系統(tǒng)之外，代數(shù)、三角的內(nèi)容都是相對(duì)的獨(dú)立的系統(tǒng)性。因此，注意各知識(shí)點(diǎn)之間內(nèi)部的小系統(tǒng)各系統(tǒng)之間的聯(lián)系是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。（二）高中數(shù)學(xué)課程的主要脈絡(luò)從數(shù)學(xué)內(nèi)容上來(lái)分析，高中數(shù)學(xué)課程的主要脈絡(luò)有兩個(gè)方面：一個(gè)是顯性的；一個(gè)是隱性的。1．顯性脈絡(luò)：函數(shù)、運(yùn)算、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率。函數(shù)的內(nèi)容充斥了高中數(shù)學(xué)課程的方方面面，是一個(gè)基本的脈絡(luò)。運(yùn)算又是一個(gè)重要的基本脈絡(luò)，充斥著高中數(shù)學(xué)課程的每一個(gè)組成部分。千萬(wàn)不要就內(nèi)容論內(nèi)容，而是應(yīng)該像華羅庚先生告訴我們的那樣：要將書(shū)讀厚了，也要將書(shū)讀薄了。華羅庚先生在指導(dǎo)我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)候反復(fù)強(qiáng)調(diào)這樣兩件事情。我們學(xué)每一個(gè)概念，學(xué)每一個(gè)具體的知識(shí)，運(yùn)算的知識(shí)的時(shí)候，一定要考慮這個(gè)知識(shí)和我們其他的知識(shí)有什么內(nèi)在的聯(lián)系。在其他的知識(shí)中，在其他的學(xué)科中，有什么用處。只有這樣一個(gè)考慮，才能把我們的書(shū)念厚，才能找到知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而不是孤立地認(rèn)識(shí)某些知識(shí)。所以運(yùn)算也是一個(gè)基本的脈絡(luò)。第三個(gè)主要的脈絡(luò)就是通常說(shuō)的幾何，幾何是高中數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)基本脈絡(luò)，也是主要脈絡(luò)，也滲透在高中數(shù)學(xué)的方方面面，學(xué)習(xí)幾何一方面是認(rèn)識(shí)它本身，一方面要思考圖形給我們帶來(lái)的好處。一會(huì)我們會(huì)結(jié)合模塊的內(nèi)容再來(lái)分析。第四個(gè)顯性的脈絡(luò)是統(tǒng)計(jì)和概率，統(tǒng)計(jì)和概率也是高中教學(xué)中非常重要的內(nèi)容，雖然它們?cè)谡麄€(gè)高中課程中的作用相對(duì)來(lái)說(shuō)窄了一點(diǎn)，但它也是高考的主要內(nèi)容之一，要能從整體上來(lái)理解和認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)和概率。2．隱性脈絡(luò)：一個(gè)是應(yīng)用，一個(gè)是算法。一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容在其他數(shù)學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，都是我們需要關(guān)注的主要內(nèi)容。我個(gè)人覺(jué)得，老師對(duì)于應(yīng)用我們帶來(lái)的好處，還有待于我們不斷加深對(duì)這件事情的理解。一定要分析應(yīng)用給數(shù)學(xué)帶來(lái)的好處，給教育帶來(lái)的好處，給學(xué)生帶來(lái)的好處。只有了解了每一個(gè)概念和其他概念以及其他知識(shí)、內(nèi)容的聯(lián)系，才能更好地理解。比如說(shuō)函數(shù)的概念，我們知道，函數(shù)在高中的定義是這樣給出的。給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集合a和b和一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于集合a中的任何一個(gè)元素，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，可以在b中得到唯一的元素f（x）與之對(duì)應(yīng)，就把這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為建立在集合a和b上的一個(gè)函數(shù)，這樣一個(gè)概念，我們知道其中有一個(gè)非常重要的核心詞：唯一的y與x對(duì)應(yīng)，為什么要“唯一”呢？怎么幫助孩子們能夠重視這個(gè)“唯一”？當(dāng)然我們有很多角度來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題，從圖形的角度，從概念的角度，我也可以從應(yīng)用的角度來(lái)看。在馬路上跑的汽車(chē)，每一個(gè)時(shí)刻，它和我們的距離是唯一的一個(gè)數(shù)，不可能是兩個(gè)數(shù)，速度也是唯一的數(shù)，加速度也是唯一的數(shù)，我們?cè)谌粘Ｉ钪写罅颗龅降默F(xiàn)實(shí)都是唯一的東西與我們對(duì)應(yīng)，因此數(shù)學(xué)又是這一類(lèi)事物的抽象，一個(gè)抽象，一個(gè)概況，一個(gè)一般化，我們就要體現(xiàn)這樣一個(gè)東西。當(dāng)然，從另外一個(gè)角度，從運(yùn)算的角度，也可以體會(huì)為什么要唯一。給一個(gè)數(shù)5，給一個(gè)數(shù)6，按照加法，有唯一的數(shù)11與之對(duì)應(yīng)，這是唯一的，所以唯一的東西無(wú)論在數(shù)學(xué)中還是實(shí)際中都是非常重要的。因此只有把這些東西和學(xué)生一起討論，才有可能認(rèn)清這樣一個(gè)數(shù)字的本質(zhì)是什么，為什么要給出這樣一個(gè)明確的說(shuō)法。所以在應(yīng)用的時(shí)候，一定要知道它對(duì)于數(shù)學(xué)的理解是重要的。教育的理解也是一樣的。另外，應(yīng)用還可以幫助我們提高學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)動(dòng)力。第二個(gè)隱性的脈絡(luò)是算法，算法不僅僅是一個(gè)知識(shí)，而且能夠幫助我們更好地把握高中課程的一個(gè)基本的思維，或者說(shuō)是一個(gè)基本的脈絡(luò)。算法能夠幫助我們準(zhǔn)確、清晰、直觀地把一個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程表達(dá)清楚，提供了一個(gè)程序化的思想去認(rèn)識(shí)問(wèn)題解決過(guò)程的思路。因此算法絕不僅僅是學(xué)習(xí)知識(shí)，而是作為一種思想，貫穿在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自始至終。正像我們?cè)谛W(xué)沒(méi)有學(xué)過(guò)函數(shù)，但是孩子都會(huì)分析路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，實(shí)際上他們所做的就是在用函數(shù)的思想分析具體的實(shí)際的問(wèn)題，這樣的一種認(rèn)識(shí)希望同學(xué)們有所了解。二、初高中數(shù)學(xué)的區(qū)別點(diǎn)1．知識(shí)點(diǎn)存在差異，語(yǔ)言表述及符號(hào)表示明顯不同初中知識(shí)點(diǎn)概念簡(jiǎn)單，學(xué)生可模仿運(yùn)用，語(yǔ)言描述形象、通俗易懂，符號(hào)少而且表示直觀、好記，而高中知識(shí)點(diǎn)概念深?yuàn)W，學(xué)生要深入理解，語(yǔ)言描述抽象、高深莫測(cè)，符號(hào)多而且表示到位、繁瑣；初中知識(shí)點(diǎn)涉及面小、運(yùn)算量不大、比較數(shù)字化，而高中知識(shí)點(diǎn)面面俱到、運(yùn)算量特大、比較字母化。如高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算語(yǔ)言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語(yǔ)言、空間立體幾何等都比較抽象。2．學(xué)習(xí)方法存在差異，思維方式截然不同初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)好比“滾雪球”，只要平時(shí)上課注意聽(tīng)講，作業(yè)認(rèn)真完成，不斷的重復(fù)練習(xí)，雪球就會(huì)越滾越大，普通同學(xué)也可滾成雪球。而高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)好比“穿珠子”，珠子即為章節(jié)內(nèi)容，章節(jié)間相對(duì)獨(dú)立，只要節(jié)節(jié)過(guò)關(guān)，尋找一條強(qiáng)有力的“繩子”將之串起來(lái)即可。初中思維比較單一、機(jī)械，相對(duì)固定的思維模式。而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求，高中課堂容量大，知識(shí)綜合性強(qiáng)，老師講課重復(fù)性少，學(xué)生要拓展思維能力，要懂得融會(huì)貫通、舉一反三，才能掌握所學(xué)內(nèi)容。高一新生一定要能從經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡，最后還需逐步形成辯證型思維。3．學(xué)生自學(xué)存在差異，學(xué)習(xí)習(xí)慣迥然不同

初中學(xué)生自學(xué)能力低，聽(tīng)課只需要熟記結(jié)論就可以做題(不全是)，題量少，思維比較單一，不需自學(xué)即可解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。但高中題量急劇增加，要通過(guò)自覺(jué)接觸題目來(lái)歸納總結(jié)形成自己的解題風(fēng)格，單靠教師課堂講解是完全不夠用，學(xué)生如果不自學(xué)、不靠大量的閱讀理解，將會(huì)失去一些題型好的解題方法。4．定量與變量存在差異，知識(shí)獨(dú)立性大不一樣初中題目、已知和結(jié)論用常數(shù)給出的較多，一般地，學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)，大多是按定量來(lái)分析問(wèn)題，只能片面地、局限地解決問(wèn)題。而高中的數(shù)學(xué)卻不同了，它是由幾塊相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)拼合而成，經(jīng)常是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)剛學(xué)得有點(diǎn)入門(mén)，有新的知識(shí)出現(xiàn)，必須大量地、廣泛地應(yīng)用代數(shù)的可變性去探索問(wèn)題的普遍性和特殊性，常常進(jìn)行分類(lèi)討論。這就要求：第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工作，記牢大量的知識(shí)；第二，要理解掌握好新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識(shí)順利地同化于原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中；第三，因知識(shí)教學(xué)多以零星積累的方式進(jìn)行的，當(dāng)知識(shí)信息量過(guò)大時(shí)，其記憶效果不會(huì)很好。因此要學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”。如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；類(lèi)別化，由一例到一類(lèi)，由一類(lèi)到多類(lèi)，由多類(lèi)再到統(tǒng)一，使幾類(lèi)問(wèn)題同構(gòu)于同一知識(shí)方法；第四，要多做總結(jié)、歸類(lèi)，初中生學(xué)數(shù)學(xué)靠的是:練!高中生學(xué)數(shù)學(xué)靠的是:悟!三、初高中數(shù)學(xué)知識(shí)脫節(jié)點(diǎn)初高中數(shù)學(xué)知識(shí)主要有以下幾個(gè)方面脫節(jié)：1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算仍然要求。2．因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“13．二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4．初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5．二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類(lèi)題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專(zhuān)門(mén)的講授。6．圖像的對(duì)稱(chēng)、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題必須掌握。7．含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8．幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。四、初高中數(shù)學(xué)緊密銜接的知識(shí)點(diǎn)1．絕對(duì)值：⑴在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。⑵正數(shù)的絕對(duì)值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?、葍蓚€(gè)絕對(duì)值不等式:；或2．乘法公式：⑴平方差公式：⑵立方差公式：⑶立方和公式：⑷完全平方公式：，⑸完全立方公式：3．分解因式：⑴把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。4．一元一次方程：⑴在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。⑶關(guān)于方程解的討論①當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；②當(dāng)，時(shí)，方程無(wú)解③當(dāng)，時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。5．二元一次方程組（1）兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。（3）二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。（4）解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。6．不等式與不等式組（1）不等式：①用符不等號(hào)（>、≠、<）連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

（4）一元一次不等式組：①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。7．一元二次方程：①方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根②方程有兩根同號(hào)③方程有兩根異號(hào)④韋達(dá)定理及應(yīng)用：,8．函數(shù)（1）變量：因變量，自變量。在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。（2）一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱(chēng)是的一次函數(shù)。②當(dāng)=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數(shù)。（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。③在一次函數(shù)中，當(dāng)0，O，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。④當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數(shù)：①一般式：()，對(duì)稱(chēng)軸是頂點(diǎn)是；②頂點(diǎn)式：()，對(duì)稱(chēng)軸是頂點(diǎn)是；③交點(diǎn)式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點(diǎn)（5）二次函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。②時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸（）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對(duì)稱(chēng)軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當(dāng)時(shí)，取得最小值③時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸（）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當(dāng)時(shí)，取得最大值9．圖形的對(duì)稱(chēng)（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。②軸對(duì)稱(chēng)圖形上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)確定的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。（2）中心對(duì)稱(chēng)圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱(chēng)中心。②中心對(duì)稱(chēng)圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱(chēng)中心平分。10．平面直角坐標(biāo)系（1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：設(shè)，是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，①若和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則有。②若和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則有。③若和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則有。④若和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則有。⑤若和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則有或。11．統(tǒng)計(jì)與概率：（1）科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數(shù)。（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖：①用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。②扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。（3）各類(lèi)統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。（5）平均數(shù)：對(duì)于個(gè)數(shù)，我們把()叫做這個(gè)個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為。（6）加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。（7）中位數(shù)與眾數(shù)：①N個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這個(gè)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別的意義。（8）調(diào)查：①為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱(chēng)為普查，其中所要考察對(duì)象的全體稱(chēng)為總體，而組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體。②從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱(chēng)為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個(gè)體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本的代表性和廣泛性。（9）頻數(shù)與頻率：①每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。（10）數(shù)據(jù)的波動(dòng)：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。（11）事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無(wú)法肯定他會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為不確定事件。③一般來(lái)說(shuō)，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。

（12）概率：①人們通常用1（或100%）來(lái)表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來(lái)表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發(fā)生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么五、高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的易忽視點(diǎn)高一學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)難學(xué)，與初中相比落差較大，有的甚至滑坡很?chē)?yán)重。相比較而言，初中數(shù)學(xué)有固定模式和套路，高中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是思維性和邏輯性，內(nèi)容比較嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，概念性強(qiáng)，更抽象，要求具備分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。一些學(xué)生不適應(yīng)，得過(guò)且過(guò)，馬虎應(yīng)付，學(xué)習(xí)上存在很多忽視點(diǎn)，產(chǎn)生盲區(qū)。主要?dú)w納起來(lái)有以下幾點(diǎn)：（一）忽視初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異性高中數(shù)學(xué)一開(kāi)始就觸及集合、函數(shù)、映射等規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的內(nèi)容，難度大，要求高，學(xué)生難免不適應(yīng)，這與初中數(shù)學(xué)存在很大差異。初中數(shù)學(xué)內(nèi)容少，能刪減則刪減,難度不高,教學(xué)時(shí)間充足。老師對(duì)重難點(diǎn)及各類(lèi)題型了然于胸，通過(guò)放緩教學(xué)進(jìn)度反復(fù)講解，不斷練習(xí),幫助學(xué)生歸納總結(jié)，指導(dǎo)學(xué)生套用固有的模式掌握知識(shí)，學(xué)生缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，少思考，不總結(jié)。而高一階段要完成從必修一到必修四的學(xué)習(xí)，內(nèi)容多，時(shí)間緊，節(jié)奏快，知識(shí)涵蓋面廣，能力要求不斷提高,教師在課堂教學(xué)中通常以設(shè)導(dǎo)、設(shè)陷和設(shè)變,啟發(fā)學(xué)生開(kāi)拓思路,自主探究。習(xí)慣了機(jī)械、易操作的思維定勢(shì),對(duì)這種靈活性、拓展性和創(chuàng)造性的要求短時(shí)間內(nèi)很難達(dá)到。學(xué)生忽視了初高中數(shù)學(xué)的差異性,把成績(jī)下滑的原因全部歸到“難”上,產(chǎn)生盲區(qū)，無(wú)法破解。（二）忽視對(duì)公式概念的理解高中數(shù)學(xué)概念性強(qiáng)，公式繁多，比如“函數(shù)”“映射”、“三角函數(shù)公式”等。教材中對(duì)概念的陳述嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范、抽象，很難以具體的情境和實(shí)物作參照，乍看下來(lái)，不知所云，學(xué)生一知半解，囤圈吞棗，忽視對(duì)概念的理解掌握,導(dǎo)致函數(shù)的具體學(xué)習(xí)混亂不清，似懂非懂，很難合理正確靈活應(yīng)用。“函數(shù)思想”貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,學(xué)習(xí)難度可想而知。還有三角函數(shù)公式繁多，不能在理解的基礎(chǔ)上記憶掌握和應(yīng)用,就只能是一盤(pán)散沙，一團(tuán)亂麻，不記得、不會(huì)用、用錯(cuò)是常有之事,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)信心的打擊是致命的，從而導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣,成績(jī)自然提不上去。（三）忽視課本例題的掌握與再生成新課標(biāo)及課改要求提出“以本為本”實(shí)施有效教學(xué)。高考命題的原則之一:根植于教材，來(lái)源于課本，著眼于提高。教材中的例題具有典型性、示范性、啟發(fā)性。其設(shè)置為學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)提供了探究空間、解題方向及規(guī)范條理的答題步驟,是學(xué)生感知數(shù)學(xué)思想與方法、形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材。而例題的縱橫解讀能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，拓展學(xué)生的思維空間,通過(guò)舉一反三和轉(zhuǎn)化遷移，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的掌握與應(yīng)用上會(huì)更寬廣、更有深度，達(dá)到一個(gè)理想的“發(fā)展區(qū)”。有的學(xué)生忽視了典例的重要性,在解題過(guò)程中比較草率，甚至沒(méi)有自己的思維，只是膚淺地看一遍,缺乏有效激活,更談不上變通和再生成。（四）忽視基礎(chǔ)訓(xùn)練,一味拔高,偏離學(xué)習(xí)方向?qū)W生中普遍存在一個(gè)觀點(diǎn)，認(rèn)為難度越高，越離奇的題目越有挑戰(zhàn)性，就是好題。攻克“高”“艱”“奇”,成就感也“高”“尖”“喜”,往往事與愿違，不是算錯(cuò)就是半途受阻廢棄。希望越大，失望越大，題解不出來(lái)，時(shí)間浪費(fèi)很多，而且挫敗感特別強(qiáng)，信心在不知不覺(jué)中被不斷打擊,興趣逐漸消失殆盡。一些學(xué)生忽視了基礎(chǔ)知識(shí)的重要性,認(rèn)為基礎(chǔ)知識(shí)簡(jiǎn)單明了,不用花時(shí)間鞏固,加以拓展和擴(kuò)散，沒(méi)有考慮到人記憶的短效性，知識(shí)沒(méi)有通過(guò)應(yīng)用和融合，就難以形成數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而被遺忘。特別是基礎(chǔ)知識(shí)是綜合應(yīng)用的有機(jī)元素,是能力提高的奠基石。學(xué)生往往知道但不加以實(shí)踐,很難有感悟、領(lǐng)會(huì)和認(rèn)知,成績(jī)不好也就不言而喻了。（五）忽視獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)進(jìn)入高一，一些學(xué)生沒(méi)有改掉依賴(lài)?yán)蠋煹牧?xí)慣，“課堂會(huì)，課后全不會(huì)”，完成練習(xí)與作業(yè),每每參考同學(xué)，不知其然生搬硬套，或者邊做邊翻書(shū)，一遇挫就放棄，忽視獨(dú)立思考能加勺培養(yǎng)。遇到問(wèn)題不會(huì)反思、總結(jié)、查找原因,尋找解決問(wèn)題的辦法，成為學(xué)習(xí)障礙。常言道:“志不強(qiáng)者智不達(dá)?！贝_實(shí)如此。高一學(xué)生因?yàn)椴贿m應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的跨越式發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)知的層次性躍遷，再遭遇成績(jī)的“滑鐵盧”，就會(huì)變得不愛(ài)思考，更不愛(ài)交流，學(xué)業(yè)成了負(fù)擔(dān)。（六）忽視課堂筆記和課外信息的采集有效的課堂學(xué)習(xí)要求學(xué)生做好“四到”，即“眼到”、“心到”、“口到”、“手到”?！把鄣健笔侵敢暰€要隨時(shí)追著老師引導(dǎo)的方向走；“心到”就是思維跟進(jìn)甚至突破拓展；“口到”是指課堂上的師生互動(dòng)、探究交流，要積極參與踴躍發(fā)言，做到勇于表達(dá)自己的觀點(diǎn)和敢于質(zhì)疑;“手到”即課堂筆記的落實(shí)和實(shí)踐操作。顯然高一學(xué)生不太注重做筆記，特別是針對(duì)數(shù)學(xué)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)只要理解就行，沒(méi)有必要記筆記,甚至不知道記什么,怎么記。事實(shí)上人的記憶是短效的,很容易在忽略中被遺忘。一節(jié)課需要備忘的東西很多,重點(diǎn)、難點(diǎn)，典例的通法和技巧性處理,期間老師在重點(diǎn)把握及難點(diǎn)突破上做了哪些鋪墊,應(yīng)用到了哪些知識(shí)點(diǎn)和方法，如何切入，有什么可變通的共性,等等,都需要在關(guān)鍵處合理記錄，以便適時(shí)回憶和總結(jié)。同時(shí)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又作用于生活,課外的閱讀與信息數(shù)學(xué)化的提煉大部分學(xué)生從未涉及,忽視“數(shù)學(xué)文化怕勺積累與沉淀，失去了獲取提升數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)的機(jī)會(huì),覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)寡淡無(wú)趣,熱情不高,成績(jī)自然就上不去。（七）忽視課后反思以及錯(cuò)題原因分析實(shí)踐產(chǎn)生感悟，對(duì)話促進(jìn)發(fā)展，反思利于思辨。初中升入高中,反思成了全新的能力要求。古人有一日三省，從反思中知得失，歸納得失的原因,`悟智、通情,猶如牛羊反當(dāng),可以提煉大腦的消化能力,實(shí)現(xiàn)吸收功能,從而完成提升自我。事實(shí)上反思的精髓在于找錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)和改錯(cuò)。學(xué)生的反思很簡(jiǎn)單,兩個(gè)字“不會(huì)”或“算錯(cuò)”,忽略了對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)性分析,沒(méi)有滲透到得失的本質(zhì),只是淺表的認(rèn)識(shí)。“錯(cuò)了嗎?”,“錯(cuò)在哪?”,“為什么錯(cuò)?”,“別人會(huì)嗎?”,“自己的差別在哪里?”,“通過(guò)分析以后自己會(huì)了嗎?”,“如何避免犯這樣的錯(cuò)誤?”,“有沒(méi)有有效的策略預(yù)防甚至杜絕類(lèi)似的問(wèn)題再出錯(cuò)?”,等等。這些有利于打破學(xué)生反思思維局限性的問(wèn)題常常被忽視,學(xué)生的反思就顯得蒼白無(wú)力,沒(méi)有多大的作用。六、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各環(huán)節(jié)操作點(diǎn)1．預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)很重要，通過(guò)預(yù)習(xí)，我們可以了解要學(xué)的基本內(nèi)容、基本知識(shí)，掌握本節(jié)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而發(fā)現(xiàn)不理解、不清楚的問(wèn)題，然后在聽(tīng)老師講課時(shí)，既有超前意識(shí)，又有所側(cè)重，對(duì)不理解不清楚的地方逐問(wèn)題、逐重點(diǎn)聽(tīng)講，再次尋找問(wèn)題，效果比不預(yù)習(xí)就直接聽(tīng)老師講課要好得多。另外，通過(guò)預(yù)習(xí)可以鍛煉自己的自學(xué)能力，又能掌握聽(tīng)課的主動(dòng)權(quán)。有些同學(xué)沒(méi)有預(yù)習(xí)，直接聽(tīng)老師講課，便會(huì)感到非常被動(dòng)，老師每講一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生都會(huì)在下面都積極地進(jìn)行反應(yīng)，當(dāng)你反應(yīng)比別人慢的時(shí)候，等你消化完這個(gè)問(wèn)題，老師往往又開(kāi)始講第二個(gè)問(wèn)題了，那么你第一個(gè)問(wèn)題不管反應(yīng)到什么程度，都要放下聽(tīng)第二個(gè)問(wèn)題，否則有些問(wèn)題你就會(huì)聽(tīng)不清楚或者根本就聽(tīng)不全面聽(tīng)不懂。如果提前預(yù)習(xí)，像這種問(wèn)題就可以避免了。所以說(shuō)，在預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的難點(diǎn)，就是聽(tīng)課的重點(diǎn)；對(duì)預(yù)習(xí)中遇到的沒(méi)有掌握好的有關(guān)的舊知識(shí)，可進(jìn)行補(bǔ)缺，以減少聽(tīng)課過(guò)程中的困難；有助于提高思維能力，預(yù)習(xí)后把自己理解了的東西與老師的講解進(jìn)行比較、分析即可提高自己思維水平；預(yù)習(xí)還可以培養(yǎng)自己的自學(xué)能力。課前預(yù)習(xí)，是一個(gè)很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，希望大家在以后的學(xué)習(xí)中多多注意。2．聽(tīng)課：在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，聽(tīng)好課是非常關(guān)鍵的。首先應(yīng)做好課前的物質(zhì)準(zhǔn)備和精神準(zhǔn)備，以使得上課時(shí)不至于出現(xiàn)書(shū)、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應(yīng)做過(guò)于激烈的體育運(yùn)動(dòng)或看小書(shū)、激烈爭(zhēng)論等。以免上課后還喘噓噓，或不能平靜下來(lái)。其次就是聽(tīng)課要全神貫注。全神貫注就是全身心地投入課堂學(xué)習(xí)，耳到、眼到、心到、口到、手到。

耳到：就是專(zhuān)心聽(tīng)講，聽(tīng)老師如何講課，如何分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽(tīng)同學(xué)們的答問(wèn)，看是否對(duì)自己有所啟發(fā)。眼到：就是在聽(tīng)講的同時(shí)看課本和板書(shū)，看老師講課的表情，手勢(shì)和演示實(shí)驗(yàn)的動(dòng)作，生動(dòng)而深刻的接受老師所要表達(dá)的思想。心到：就是用心思考，跟上老師的數(shù)學(xué)思路，分析老師是如何抓住重點(diǎn)，解決疑難的。口到：就是在老師的指導(dǎo)下，主動(dòng)回答問(wèn)題或參加討論。手到：就是在聽(tīng)、看、想、說(shuō)的基礎(chǔ)上劃出所學(xué)的重點(diǎn)，記下講課的要點(diǎn)以及自己的感受或有創(chuàng)新思維的見(jiàn)解。若能做到上述“五到”，精力便會(huì)高度集中，課堂所學(xué)的一切重要內(nèi)容便會(huì)在自己頭腦中留下深刻的印象。預(yù)習(xí)時(shí)我們所接受的東西都是膚淺的、表面的，像定義、定理、公式等，都是一些具體的可記憶的東西，對(duì)要學(xué)的知識(shí)只是有了一些感性的認(rèn)識(shí)。只有再通過(guò)老師的進(jìn)一步講解，才能把初步的知識(shí)上升一個(gè)層次，成為理性的認(rèn)識(shí)，在所學(xué)知識(shí)的論證、推倒過(guò)程以及應(yīng)用上都更加清楚，從而加深認(rèn)識(shí)和記憶，提高分析和應(yīng)用的能力，（也就是說(shuō)，你看了一遍，可能會(huì)背定理、定義，會(huì)用公式，但是進(jìn)行論證分析，再應(yīng)用到習(xí)題中去，你就有了一定的困難）聽(tīng)課，重點(diǎn)就是解決這個(gè)問(wèn)題，從理論、分析、應(yīng)用上有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，因此，聽(tīng)課是很關(guān)鍵的，一定要帶著問(wèn)題、重點(diǎn)聽(tīng)，聽(tīng)課記錄重點(diǎn)記自己預(yù)習(xí)不清楚、不懂的地方，不要面面俱到，否則影響記錄效率和聽(tīng)課效果。有的同學(xué)聽(tīng)課好走思，那么，聽(tīng)課時(shí)不要隨便想課外的問(wèn)題，在老師講課時(shí)不要任意提出問(wèn)題，打斷老師的講課，而對(duì)老師提出的問(wèn)題要認(rèn)真思考，積極回答。還要特別注意老師講課的開(kāi)頭和結(jié)尾。老師講課開(kāi)頭，一般是概括前節(jié)課的要點(diǎn)指出本節(jié)課要講的內(nèi)容，是把舊知識(shí)和新知識(shí)聯(lián)系起來(lái)的環(huán)節(jié)，結(jié)尾常常是對(duì)一節(jié)課所講知識(shí)的歸納總結(jié)，具有高度的概括性，是在理解的基礎(chǔ)上掌握本節(jié)知識(shí)方法的綱要。要認(rèn)真把握好思維邏輯，分析問(wèn)題的思路和解決問(wèn)題的思想方法，堅(jiān)持下去，就一定能舉一反三，提高思維和解決問(wèn)題的能力。此外還要特別注意老師講課中的提示。老師講課中常常對(duì)一些重點(diǎn)難點(diǎn)會(huì)作出某些語(yǔ)言、語(yǔ)氣、甚至是某種動(dòng)作的提示。3．課后總結(jié)：對(duì)老師講的每一節(jié)課，必須利用當(dāng)天的自習(xí)進(jìn)行總結(jié)，整理在一個(gè)專(zhuān)門(mén)的筆記本上，從定義、定理、公式以及論證過(guò)程和典型例題等方面認(rèn)真回顧和總結(jié)，形成鎖鏈系統(tǒng)化，通過(guò)課后總結(jié)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，及時(shí)記錄下來(lái)，并利用當(dāng)天自習(xí)問(wèn)老師，盡量做到當(dāng)天的問(wèn)題當(dāng)天解決，否則問(wèn)題越積越多，你將逐步走到差生的行列，其實(shí)我們?cè)瓉?lái)的差生就是這樣形成的。其次，總結(jié)本身既是一個(gè)合理的思維過(guò)程，也是一種重復(fù)記憶，同時(shí)在理解程度上有了更高的境界，所以，我們總結(jié)的過(guò)程就是實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，總結(jié)做的好的同學(xué)，基礎(chǔ)知識(shí)一般都掌握的比較熟練，對(duì)考試中一些基本的、基礎(chǔ)的題目做得快而準(zhǔn)，在目前的高考數(shù)學(xué)中，像這種通過(guò)基礎(chǔ)、基本知識(shí)（就是利用定義、公理、定理、公式、圖像）直接解答的題目占60%多，也就是占100分左右，因此，做好課后總結(jié)，是牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)鍵。4．課后作業(yè)：課后作業(yè)是同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)鞏固、熟練、提高的一個(gè)鍛煉過(guò)程，沒(méi)有這個(gè)過(guò)程，不管你看的、聽(tīng)的多清楚、理解多深刻，往往也是紙上談兵。不通過(guò)足量的作業(yè)訓(xùn)練，你就達(dá)不到一定的熟練程度，更談不上巧了，所謂“熟能生巧”，就是說(shuō)，只有在熟練的基礎(chǔ)上，才能尋找一些簡(jiǎn)捷、巧妙的解題方法，才能解決好綜合性較強(qiáng)的題目，也就是所謂的能力的提高。有的同學(xué)對(duì)綜合題（也就是所謂的“難題”）不會(huì)做，甚至無(wú)從下手，這與不熟練（也就是做題少）有直接的關(guān)系。所以，多練才能熟，熟才能生巧?。}海是沒(méi)有界限的，不要認(rèn)為教你做點(diǎn)題就是題海戰(zhàn)術(shù)）另外，作業(yè)練習(xí)是提高運(yùn)算能力的根本途徑。像前面我說(shuō)的有的同學(xué)認(rèn)為自己腦子靈、反應(yīng)快，因而放松了作業(yè)訓(xùn)練，所以考試時(shí)總以為題不難，但考后分?jǐn)?shù)總不高，自己還非常生氣，為什么得不了高分？其原因有：①運(yùn)算錯(cuò)誤，數(shù)據(jù)不準(zhǔn)，運(yùn)算方法不簡(jiǎn)練，這與平時(shí)作業(yè)訓(xùn)練有直接關(guān)系；②運(yùn)算過(guò)程不準(zhǔn)確，不完整，沒(méi)有條理。這更與平時(shí)作業(yè)訓(xùn)練有關(guān)，高考中大的綜合性題目都是按解題步驟給分，你有哪一步就給哪一步的分，省去了哪一步就丟掉了哪一步的分，而這些步驟指的都是主要步驟，就是有的同學(xué)做題太少，搞不清哪是主要步驟，哪是輔助步驟（次要步驟），該有的步驟書(shū)寫(xiě)不詳細(xì)或者沒(méi)有，輔助步驟寫(xiě)了一大堆，這樣你是不會(huì)得高分的。所以課后作業(yè)訓(xùn)練也是鍛煉自己解題規(guī)范化的必要進(jìn)程，從而達(dá)到綜合能力的提高。做作業(yè)時(shí)，為了使自己得到鍛煉和提高，要做到：⑴獨(dú)立完成作業(yè)，實(shí)在不會(huì)的題目可以暫時(shí)放過(guò)去，然后問(wèn)老師和同學(xué)，但絕對(duì)不能抄襲；⑵不拖延時(shí)間，在一定時(shí)間內(nèi)按時(shí)完成定量作業(yè)；⑶主動(dòng)交作業(yè)，讓老師批改，并認(rèn)真改錯(cuò)，不改錯(cuò)的同學(xué)，知識(shí)得不到鞏固糾正，就很難取得好成績(jī)；⑷作業(yè)要清楚認(rèn)真，不潦草，要規(guī)范完整?？傊J(rèn)真對(duì)待、完成作業(yè)是提高成績(jī)的一個(gè)重要措施。有人說(shuō)，作業(yè)當(dāng)考試，考試當(dāng)作業(yè)。高考試卷不就是一次作業(yè)嗎？這是很有道理的。除此之外，自習(xí)課要主動(dòng)向老師提出問(wèn)題，每節(jié)自習(xí)老師們都要去輔導(dǎo)，在當(dāng)天的學(xué)習(xí)內(nèi)容中存在的問(wèn)題，利用自習(xí)直接向老師提問(wèn)，另外，在自己學(xué)習(xí)中及時(shí)發(fā)現(xiàn)、尋找問(wèn)題，向老師提問(wèn)。學(xué)問(wèn)學(xué)問(wèn)，就是要邊學(xué)邊問(wèn)，有學(xué)有問(wèn)，找不到問(wèn)題的同學(xué)就是最大的問(wèn)題，說(shuō)明對(duì)數(shù)學(xué)還沒(méi)學(xué)進(jìn)去，是不會(huì)取得好成績(jī)的……綜合起來(lái)一句話：要學(xué)好數(shù)學(xué)，具體方法是：預(yù)習(xí)在先，重點(diǎn)聽(tīng)課，總結(jié)追蹤，作業(yè)鞏固！七、學(xué)好高中數(shù)學(xué)的策略1．養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會(huì)使自己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動(dòng)手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要把教師所傳授的知識(shí)翻譯成為自己的特殊語(yǔ)言，并永久記憶在自己的腦海中。良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣包括課前自學(xué)、專(zhuān)心上課、及時(shí)復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。（1）記數(shù)學(xué)筆記，特別是對(duì)概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師在課堂中拓展的課外知識(shí)。記錄下來(lái)本章你覺(jué)得最有價(jià)值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問(wèn)題，以便今后將其補(bǔ)上。（2）建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來(lái)，以防再犯。爭(zhēng)取做到：找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。達(dá)到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯(cuò)誤原因弄個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥；解答問(wèn)題完整、推理嚴(yán)密。（3）熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論，使自己平時(shí)的運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。（4）經(jīng)常對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”，如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；經(jīng)常對(duì)習(xí)題進(jìn)行類(lèi)化，由一例到一類(lèi)，由一類(lèi)到多類(lèi)，由多類(lèi)到統(tǒng)一；使幾類(lèi)問(wèn)題歸納于同一知識(shí)方法。（5）閱讀數(shù)學(xué)課外書(shū)籍與報(bào)刊，參加數(shù)學(xué)學(xué)科課外活動(dòng)與講座，多做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度，拓展自己的知識(shí)面。（6）及時(shí)復(fù)習(xí)，強(qiáng)化對(duì)基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆磸?fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。（7）學(xué)會(huì)從多角度、多層次地進(jìn)行總結(jié)歸類(lèi)。如：①?gòu)臄?shù)學(xué)思想分類(lèi)②從解題方法歸類(lèi)③從知識(shí)應(yīng)用上分類(lèi)等，使所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、專(zhuān)題化、網(wǎng)絡(luò)化。（8）經(jīng)常在做題后進(jìn)行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問(wèn)題時(shí)，是否也用到過(guò)。（9）無(wú)論是作業(yè)還是測(cè)驗(yàn)，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問(wèn)題。2．循序漸進(jìn)，防止急躁。有的同學(xué)貪多求快，囫圇吞棗。有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就，有的取得一點(diǎn)成績(jī)便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期的鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過(guò)程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績(jī)，其中一個(gè)重要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算技能達(dá)到了熟練程度。3．注意研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對(duì)能力要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書(shū)不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對(duì)課本知識(shí)既要能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過(guò)程就是這個(gè)道理，方法因人而異，但學(xué)習(xí)的三個(gè)環(huán)節(jié)（上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個(gè)步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。4．逐步形成“以我為主”的學(xué)習(xí)模式數(shù)學(xué)不是靠老師教會(huì)的，而是在老師的引導(dǎo)下，靠自己主動(dòng)的思維活動(dòng)去獲取的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)過(guò)程，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，獨(dú)立思考、勇于探索的創(chuàng)新精神；正確對(duì)待學(xué)習(xí)中的困難和挫折，敗不餒，勝不驕，養(yǎng)成積極進(jìn)取，不屈不撓，耐挫折的優(yōu)良心理品質(zhì)；在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，善于開(kāi)動(dòng)腦筋，積極主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，注重新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，不滿足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，經(jīng)常進(jìn)行一題多解，一題多變，從多側(cè)面、多角度思考問(wèn)題，挖掘問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書(shū)不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對(duì)課本知識(shí)既要能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。八、進(jìn)入高一后分?jǐn)?shù)可能下降的原因及對(duì)策（一）高一數(shù)學(xué)成績(jī)可能下降的原因１．初、高中教材間梯度過(guò)大初中教材偏重于實(shí)數(shù)集內(nèi)的運(yùn)算，缺少對(duì)概念的嚴(yán)格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，如函數(shù)的定義，三角函數(shù)的定義就是如此；對(duì)不少數(shù)學(xué)定理沒(méi)有嚴(yán)格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的；教材坡度較緩，直觀性強(qiáng)，對(duì)每一個(gè)概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代數(shù)知識(shí)，緊接著就是冪函數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題（在冪函數(shù)中，由于指數(shù)不同，具有不同的性質(zhì)和圖象）。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個(gè)難點(diǎn)，立體幾何對(duì)空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號(hào)多、定義嚴(yán)格，論證要求又高，高一新生學(xué)起來(lái)相當(dāng)困難。此外，內(nèi)容也多，每節(jié)課容量遠(yuǎn)大于初中數(shù)學(xué)。這些都是高一數(shù)學(xué)成績(jī)大面積下降的客觀原因。２．高一新生普遍不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法高一學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)課能聽(tīng)懂但作業(yè)不會(huì)做。不少學(xué)生說(shuō)，平時(shí)自認(rèn)為學(xué)得不錯(cuò)，考試成績(jī)就是上不去，追究其原因是初中教師重視直觀、形象教學(xué)，老師每講完一道例題后，都要布置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生到黑板表演的機(jī)會(huì)相當(dāng)多。為了提高合格率，不少初中教師把題型分類(lèi)，讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三，重點(diǎn)題目反復(fù)做過(guò)多次。而高中教師在授課時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的難度來(lái)對(duì)待高一教學(xué)。因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間又缺乏過(guò)渡過(guò)程，至使高中新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。３．初中的學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高一學(xué)生在初中三年已形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們上課注意聽(tīng)講，盡力完成老師布置的作業(yè)。但課堂上滿足于聽(tīng)，沒(méi)有做筆記的習(xí)慣，缺乏積極思維；遇到難題不是動(dòng)腦子思考，而是希望老師講解整個(gè)解題過(guò)程；不會(huì)科學(xué)地安排時(shí)間，缺乏自學(xué)、看書(shū)的能力，還有些學(xué)生考上了高中后，認(rèn)為可以松口氣了，放松了對(duì)自己的要求。上述的學(xué)習(xí)方法，不適應(yīng)高中階段的正常學(xué)習(xí)。（二）科學(xué)地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高中學(xué)生僅想學(xué)好是不夠的，還必須會(huì)學(xué)。要根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況，尋找最佳學(xué)習(xí)方法，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，才能有效提高學(xué)習(xí)效率，事半功倍。1．培養(yǎng)獨(dú)立自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。有些學(xué)生學(xué)習(xí)像跟著導(dǎo)游的游客，總想聽(tīng)好老師講的每一句話，眉毛胡子一把抓，上課時(shí)筆記記得密密麻麻，力圖事事俱全，結(jié)果常常搞得手忙腳亂，撿了芝麻卻丟了西瓜。因此，高一新生應(yīng)該養(yǎng)成良好的獨(dú)立學(xué)習(xí)習(xí)慣，做好學(xué)習(xí)計(jì)劃，課前提前預(yù)習(xí)，從整體上了解當(dāng)天課程主要內(nèi)容，上課時(shí)才能更有重點(diǎn)地聽(tīng)，做筆記時(shí)知道哪些地方該記，哪些地方可以不記，要記則記重點(diǎn)精華和老師的補(bǔ)充要點(diǎn)。2．及時(shí)回顧反思能很大提高學(xué)習(xí)效率。通過(guò)回顧反思及時(shí)將所學(xué)的新知識(shí)與原有的知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，建構(gòu)新的知識(shí)體系，從而全面系統(tǒng)深刻地掌握知識(shí)和發(fā)展認(rèn)識(shí)能力。3．及時(shí)整理。掌握常用的數(shù)學(xué)思想和方法，高中常用數(shù)學(xué)思想有：方程與函數(shù)思想，分類(lèi)討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。常用的數(shù)學(xué)思方法有：配方法、待定系數(shù)、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、分析綜合法、反證法等等。要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，需要不斷總結(jié)，每個(gè)題都要從數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行分析。4．根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，轉(zhuǎn)變單一接受的學(xué)習(xí)方式，學(xué)會(huì)反思探究合作討論等多樣化的學(xué)習(xí)方式相結(jié)合，形成適合自己的學(xué)習(xí)方法，充分發(fā)揮在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的自主性探索性，使自己成為學(xué)習(xí)的主人。5．其他一些好的小辦法*建立錯(cuò)誤檔案，把考試和作業(yè)中出現(xiàn)錯(cuò)誤記錄下來(lái)，不斷復(fù)習(xí)強(qiáng)化，杜絕再犯。熟記一些數(shù)學(xué)中間結(jié)論，使自己獲得一些解題捷徑，從而減少運(yùn)算量，提高解題速度和準(zhǔn)確度*經(jīng)常對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、表格化、養(yǎng)成做題后進(jìn)行反思的好習(xí)慣，對(duì)題中用到的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行總結(jié)。九、怎樣做作業(yè)才能發(fā)揮最大效益（一）溫故知新，把握要領(lǐng)先把書(shū)看透，再動(dòng)手做作業(yè)。做作業(yè)前，首先溫故有關(guān)的知識(shí)，回顧概念，掌握要求，了解有關(guān)的注意事項(xiàng)，明確學(xué)習(xí)的目的，把握解題的規(guī)范化要求，然后再動(dòng)手做作業(yè)，就心中有數(shù)，練中學(xué)，學(xué)中練，達(dá)到鞏固目的，強(qiáng)化了知識(shí)，提高了能力。（二）明確題意，構(gòu)建思路審題是我們解題的前奏工作，不可忽視，在解題前必須審清題意，分析條件和結(jié)論，并且根據(jù)條件和結(jié)論進(jìn)行聯(lián)想：以前遇到過(guò)類(lèi)似或者部分類(lèi)似的問(wèn)題嗎？當(dāng)時(shí)是用什么方法解決的？在這里還有效嗎？等等。通過(guò)聯(lián)想構(gòu)建解題思路，設(shè)計(jì)解題程序，把握解題要點(diǎn)，為正確快速解題掃清障礙，奠定基礎(chǔ)。（三）限定時(shí)間，一氣呵成大部分同學(xué)拿到問(wèn)題，常常立即開(kāi)始練習(xí)，而不是去想今天有多少作業(yè)，需多少時(shí)間，難度是否太大，能不能完成得了等等。他們遇到難題是先能做多少就做多少，能解決到什么程度就解決到什么程度，當(dāng)解決了問(wèn)題的部分時(shí)，常常會(huì)閃出好念頭，悟出問(wèn)題的解決方案。實(shí)際上每解決一點(diǎn)就是向目標(biāo)靠近一步，這就是“吹盡黃沙始得金”的道理。四、做后反思，提高效益有人說(shuō)題海戰(zhàn)術(shù)是臭豆腐，聞的臭，吃的香。題海戰(zhàn)術(shù)既然被人普遍使用，肯定有它存在的道理，不能全盤(pán)否定。但是它的效益不高的弊端也是很明顯的。對(duì)它進(jìn)行改進(jìn)也是情理之中，實(shí)踐證明解題后反思是提高效益的有效途徑。第二部分知識(shí)篇(一)絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．解不等式：||解不等式：你自己能總結(jié)出一般性的結(jié)論嗎?例3、解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)?，?＞4，∴不存在滿足條件的x；③若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．1ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1解法二：如圖1．1－1，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x1ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)．x＜0，或x＞4．練習(xí)1．填空題：（1）若，則x=_________；若，則x=_________.（2）如果，且，則b＝______；若，則c＝______2．下列正確的是（）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則3．化簡(jiǎn)：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．(二)乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式．對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例1計(jì)算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．練習(xí)：1．填空題：（1）（）；（2）；(3)．2．選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值（）（A）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)（三）二次根式（1）一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱(chēng)為無(wú)理式.例如，等是無(wú)理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式．2．二次根式的意義將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2計(jì)算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例3試比較下列各組數(shù)的大小：（1）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2eq\r(2)，∴eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，∴＜.練習(xí)：將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）（2）計(jì)算：（四）二次根式（2）例4化簡(jiǎn)：．解：＝＝＝＝．例5化簡(jiǎn)：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．解：∵，，∴．練習(xí):1．填空題：（1）＝_____；（2）若，則的取值范圍是_____；2．若，求的值．（五）分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱(chēng)為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱(chēng)為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1．若，求常數(shù)的值．解：∵，∴解得．例2．（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；．（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)，∴eq\f(1,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2)．例3設(shè)，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝eq\f(1,2)＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．練習(xí)1.對(duì)任意的正整數(shù)n，()；2.若，則＝。3．計(jì)算．（六）分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．解：（1）如圖1．2－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx圖1．2－4－2611圖1．2－3－1－211圖1．2－2－1－2xx圖1．2－1說(shuō)明：今后在分解與本例類(lèi)似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1．2－1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖1．2－2所示）．（2）由圖1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖1．2－4，得－11xy圖1．2－5－11xy圖1．2－5（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如圖1．2－5所示）．練習(xí)：把下列各式分解因式：（1）___________。（2）_____________。（3）_____________。（4）_____________。（5）________（6）。(七)分解因式（二）2．提取公因式法與分組分解法例2分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===或===．3．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，則解得，，∴==．（2）令=0，則解得，，∴=．練習(xí):1．分解因式：（1）x2＋6x＋8=______________（2）8a3－b3=________________（3）x2－2x－1=_____________（4）=________________2、3、若則，。(八)根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為．①因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表示．綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝；（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以， ①當(dāng)a＝2時(shí)，Δ＝0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1； ②當(dāng)a≠2時(shí)，Δ＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以：①當(dāng)Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，； ②當(dāng)Δ＝0，即a＝1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1； ③當(dāng)Δ＜0，即a＞1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類(lèi)討論．分類(lèi)討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題．練習(xí)：解下列方程：（1）（2）（3）(九)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（1） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則有 ；． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱(chēng)為韋達(dá)定理． 特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以?xún)蓚€(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個(gè)根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則2x1＝－，∴x1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．例3已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值．分析： 本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡(jiǎn)，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當(dāng)m＝－1時(shí)，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當(dāng)m＝17時(shí)，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根。練習(xí)：1.為何值時(shí)，的兩根均為正？2.已知是方程的兩根，且，求的值.(十)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（2）例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個(gè)數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)．也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，這兩個(gè)數(shù)是－2和6．解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個(gè)數(shù)是－2和6． 說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷． 例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． （1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，∴，． （1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則|x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)1.填空題：（1）方程的根的情況是。（2）若關(guān)于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。（3）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則＝．2．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．（十一）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)問(wèn)題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…188202818…yy＝x2y＝2x2圖xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．同學(xué)們也可以用類(lèi)似于上面的方法畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．圖x圖xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小．問(wèn)題2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)．類(lèi)似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最小值y＝． （2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最大值y＝．xyxyOx＝－A圖xyOx＝－A圖xxOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖－5例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減??；采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象（如圖2－5所示）．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：X/元130150165Y/件705035若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷(xiāo)售量y×(銷(xiāo)售價(jià)x－120)，日銷(xiāo)售量y又是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當(dāng)x＝160時(shí)，z取最大值1600．例3把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個(gè)函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例4已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論． 解：（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x＝－2；（2）當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由圖2．2－6①可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖2．2－6②可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當(dāng)a≥2時(shí)，由圖2．2－6③可知，當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說(shuō)明：在本例中，利用了分類(lèi)討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．練習(xí):1．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝，n＝．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開(kāi)口向，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最值y＝；當(dāng)x滿足時(shí)，y隨著x的增大而減?。?．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．（十二）二次函數(shù)的三種表示方式通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示．為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)