專(zhuān)題12直角三角形（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型）

專(zhuān)題12直角三角形（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)三種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.直角三角形全等的判定知識(shí)點(diǎn)2.直角三角形的性質(zhì)定理的推論知識(shí)點(diǎn)3.勾股定理知識(shí)點(diǎn)4.兩點(diǎn)的距離公式【方法二】實(shí)例探索法題型1.直角三角形全等的判定定理題型2.直角三角形的性質(zhì)定理題型3.直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用題型4.勾股定理題型5.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用題型6.兩點(diǎn)間距離【方法三】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)三種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.直角三角形全等的判定圖形定理符號(hào)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記：H.L）在中，，【例1】（22·23上·寶山·期中）五邊形中，，平分，，求證：．【分析】在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)A作，根據(jù)全等三角形的判定分別證明，，，然后再由其性質(zhì)即可證明．【詳解】解：如圖所示，在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)A作，∴，∵平分，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線(xiàn)，運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式】（22·23上·青浦·期末）如圖，在中，垂直平分邊，交于點(diǎn)E，平分的外角，，垂足為點(diǎn)G，，垂足為點(diǎn)H．求證：．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵平分的外角，，，∴，∵垂直平分邊，∴，在和中，，∴（HL），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，是熟練正確全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2.直角三角形的性質(zhì)定理的推論定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于.【例2】（23·24上·上?！るA段練習(xí)）在中，若，于，，，則．【答案】8【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余計(jì)算出，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖所示，在中，，，，，，又在中，，，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形兩銳角互余，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握含30度角的直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【變式1】．（23·24上·上海·階段練習(xí)）在中，，平分，交于，如果，那么．【答案】/30度【分析】先畫(huà)出圖形，作，于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得，再根據(jù)，得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作，于點(diǎn)E，∵平分，，∴．∵，∴，在中，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，含的直角三角形的性質(zhì)等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2022·上海市羅星中學(xué)八年級(jí)期末）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】或者【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖1，取的中點(diǎn)，連接，，，，，是的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，；如圖2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類(lèi)討論并畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3.勾股定理圖形名稱(chēng)定理符號(hào)表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.在中，，【例3】（21·22上·浦東新·期末）中，，點(diǎn)D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且，，聯(lián)結(jié)AE交CD與點(diǎn)F，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CM并延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)H．（1）點(diǎn)F是CD中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）求證：【分析】（1）聯(lián)結(jié)MD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得,根據(jù)點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，即可判斷是的垂直平分線(xiàn)；（2）證明是的垂直平分線(xiàn)，可得，進(jìn)而在中，，等量代換即可得【詳解】（1）證明：聯(lián)結(jié)MD．∵，∴∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，∴．同理可證：，∴．∵點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，∴．（2）證明：∵，∴．∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，∴．∵，∴點(diǎn)M，點(diǎn)C在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上．∴CM是線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)．∴，．∴．∴中，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，勾股定理，掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）某中學(xué)初二年級(jí)游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對(duì)《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長(zhǎng)三尺，BC的長(zhǎng)度為8尺，求：繩索AC的長(zhǎng)度．【答案】繩索長(zhǎng)是尺【分析】設(shè)，則，由勾股定理及即可求解．【詳解】設(shè)，則，在中，，∴，解得：，答：繩索長(zhǎng)是尺．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理得應(yīng)用，用題意列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4.兩點(diǎn)的距離公式①數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)m、n，則AB的距離為.②如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，那么兩點(diǎn)間的距離.【例4】（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)分別為A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B兩點(diǎn)間的距離等于_____．【答案】5．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算，即A（x，y）和B（a，b），則AB=【詳解】A.B兩點(diǎn)間的距離為：AB===5,故答案為5,故答案是：5.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式．【變式】．已知點(diǎn)、，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】10【分析】直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．【詳解】線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)==10．故答案為10．【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)和判斷線(xiàn)段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是記住兩點(diǎn)間的距離公式．【方法二】實(shí)例探索法題型1.直角三角形全等的判定定理1．（22·23上·青浦·期末）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如果，且，那么的度數(shù)是．【答案】/36度【分析】根據(jù)證明，可得，，根據(jù)求出，進(jìn)而可求出的度數(shù)．【詳解】解：，∴．在和中，∴，∴，．∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．2．（22·23上·青浦·期末）如圖，已知，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于點(diǎn)、；②分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③作射線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)按照上述方法所作的線(xiàn)段是的________；（在橫線(xiàn)上填上正確的序號(hào)）①中線(xiàn)；②角平分線(xiàn)；③高．(2)求作：點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離相等，且；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，但要寫(xiě)出結(jié)論）(3)過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．【答案】(1)②(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)作圖方法可得答案；（2）作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)M即可；（3）連接，，根據(jù)證明即可．【詳解】（1）由作圖方法可知線(xiàn)段是的角平分線(xiàn)．故答案為：②；（2）∵點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離相等，∴點(diǎn)在的平分線(xiàn)上．∵，∴點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上．如圖，點(diǎn)M即為所求；（3）如圖，連接，．∵點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，，，∴．∵點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的作圖及性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖及性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．3．（22·23上·靜安·期中）如圖，已知在中，，點(diǎn)是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)，且．求證：．【分析】連接，利用可證明，可得，利用可證明，進(jìn)而可證得結(jié)論．【詳解】證明：連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在Rt△ABD與Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)=．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于F，先根據(jù)AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再證Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后證明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；（2）先求出BC=4BE，CD=2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．(1)證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于F，∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴CE=CF，∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；(2)解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，∴S△ABC=，∴CD=CFFD=CEBE=3BEBE=2BE，∴S△ADC=，∴=．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，線(xiàn)段和差倍分，掌握角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，線(xiàn)段和差倍分是解題關(guān)鍵．題型2.直角三角形的性質(zhì)定理6．（22·23上·上?！て谥校┤鐖D，在四邊形中，，點(diǎn)分別是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示，連接，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得，根據(jù)“邊邊邊”可證，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，點(diǎn)分別是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，∴在中，是斜邊的中線(xiàn)，則，在中，是斜邊的中線(xiàn)，則，∴，∵點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴，且，∴，∴，故選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊的一半，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，則下底BC的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】7【分析】分別過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，分別利用解直角三角形的知識(shí)得出BE、CF的長(zhǎng)，繼而可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝60°，∴BE＝2，同理可得CF＝2，故BC的長(zhǎng)＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解答本題的關(guān)鍵是求出BE及CF的長(zhǎng)度，要求我們熟練記憶等腰梯形的幾個(gè)性質(zhì)．8．（23·24上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在和中，，是中點(diǎn)．求證：．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，找出相等的邊，再利用等邊對(duì)等角、三角形外角的性質(zhì)得出、，從而證明結(jié)論．【詳解】證明：在中，，是中點(diǎn)．∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．（22·23上·寶山·期末）如圖，在中，于點(diǎn)D，，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)且，求證：．【分析】利用證明，即可解決問(wèn)題．【詳解】證明：，．∵點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（22·23上·徐匯·期末）如圖，已知銳角中、分別是、邊上的高，M、N分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．求證：(1)．(2)若，求證：是等邊三角形【分析】（1）連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得到，然后由等腰三角形“三線(xiàn)合一”即可得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求出即可證明．【詳解】（1）如圖：連接、，、分別是、邊上的高，,，在與中，M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，,，，是等腰三角形，又因?yàn)镹是線(xiàn)段的中點(diǎn)，；（2）在中，，，由（1）可知：，，，，，，由（1）可知是等腰三角形，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等邊三角形的證明；掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（22·23上·青浦·期末）已知：如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，．求證：(1)；(2)．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，證明，可得，，從而得到垂直平分，進(jìn)而得到，即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得到，即可．【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∵，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∵，∴垂直平分，∴，∵，∴；（2）證明：∵，，∴，，∵，，∴，即，

∴，即：，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3.直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用12．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（G點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y(tǒng)．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；(2)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使△GEF成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出AG長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫(xiě)出S△GEF的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明由．【答案】(1)（）(2)或(3)能，【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥GE于點(diǎn)D．由題意易得△AFG，△BEG都是等邊三角形，則可得及FG、EG，可求得FD，則可得y與x的關(guān)系；（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使△GEF成為直角三角形；分兩種情況考慮：；，利用30度角直角三角形的性質(zhì)即可求得AG的值；（3）若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，則△CEF是等邊三角形，△FEG是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可求得△FEG的邊長(zhǎng)，則可求得其面積．(1)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥GE于點(diǎn)D．∵△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且GE∥AC，GF∥BC，∴△AFG是等邊三角形，△BEG是等邊三角形，∴，，，∴在中，∠DFG=30°，∴，由勾股定理得：，∴（）；(2)當(dāng)時(shí)，∵，∴，即，解得：；當(dāng)時(shí)，∵，∴，即，解得：；綜上所述：或；(3)若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，則△CEF是等邊三角形，△FEG是等邊三角形，∴，由（1）知，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．題型4.勾股定理13．（22·23上·青浦·期末）美國(guó)數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點(diǎn)，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意求得，根據(jù)的面積為梯形面積減去兩個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵的面積為1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用面積關(guān)系，完全平方公式的變形求解．14．（21·22上·上?！て谀┤鐖D，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知，，，，則．【答案】46【分析】利用勾股定理分別求出AB2，AC2，繼而再用勾股定理解題．【詳解】解：由圖可知，AB2=故答案為：46．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．（22·23上·上?！て谥校┦切边吷系母?，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)，設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理可求出的值，根據(jù)等面積法即可求解．【詳解】解：如圖所示，已知是直角三角形，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，，∴，，∵，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，運(yùn)用等面積法求高，掌握以上知識(shí)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（22·23上·徐匯·期末）如圖，點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折能與重合，若，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為【答案】【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)及中點(diǎn)性質(zhì)可得三角形為直角三角形，且G為中點(diǎn)，從而，由勾股定理可得的長(zhǎng)，再根據(jù)，即，從而可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)可得：，則為的中垂線(xiàn)，∴，∵D為中點(diǎn)，∴，∴，∵，即，∴，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，直角三角形的判定、勾股定理、線(xiàn)段中垂線(xiàn)的判定，解決本題的關(guān)鍵是利用面積相等求相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)．17．（22·23上·虹口·期中）已知：三角形紙片中，，，，是邊上一點(diǎn)．將三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)重合，折痕與、分別相交于E、F．(1)設(shè)，，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；(2)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求出x的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得，在中利用勾股定理得，整理后即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得，由折疊的性質(zhì)得到，然后討論：①當(dāng)時(shí)，則，易得，則，即，把y代入得到關(guān)于x的方程，解方程求出滿(mǎn)足條件的x的值；②當(dāng)時(shí)，則，即有，即，解方程即可．【詳解】（1）解：∵三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)重合，∴，∴，，在中，，即，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，∴，即，∴，解得，∵，∴；②當(dāng)時(shí)，則，∴即，解得，所以或時(shí)，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理．18．（22·23上·寶山·期末）如圖，直角三角形，直角頂點(diǎn)C在直線(xiàn)上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．(1)求證：；(2)如果，①求證：；②若設(shè)的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．【分析】（1）根據(jù)已知得到，，證得，，推出；（2）證明即可得到結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的面積即可推出．【詳解】（1）證明：∵三角形是直角三角形，直角頂點(diǎn)C在直線(xiàn)上，∴，∵過(guò)點(diǎn)A、B作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．∴，∴，，∴；（2）在和中∴，∴；∵，∴，∵四邊形的面積∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的推導(dǎo)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理及勾股定理的公式是解題的關(guān)鍵．題型5.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用19．（21·22上·奉賢·期中）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，則∠BAC+∠CDE＝度．【答案】【分析】連接、，根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】解：連接、，如下圖：由勾股定理得，，，，，∵，，∴，，∴為等腰直角三角形，為直角三角形，∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．20．如圖，這是美國(guó)第20屆總統(tǒng)加菲爾德的構(gòu)圖，其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的，請(qǐng)你試用此圖形驗(yàn)證勾股定理的正確性．【分析】此梯形的面積有三部分組成，利用梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和列出方程并整理．【詳解】證明：∵S梯形，又∵S梯形，，∴，∴c2=a2+b2．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的證明，此類(lèi)證明要轉(zhuǎn)化成同一個(gè)圖形的兩種表示方法，從而得出等式達(dá)到證明的結(jié)果．21．如圖，筆直的公路上A、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，于點(diǎn)A，于點(diǎn)，已知，，現(xiàn)在要在公路的段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站，使得、兩村到收購(gòu)站的距離相等，則收購(gòu)站應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？【答案】收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處【分析】先根據(jù)“C，D兩村到E站的距離相等”得出DE=CE，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴，，∴，設(shè)AE=xkm，則BE=ABAE=（25x）km．∵DA=15km，CB=10km，∴，即解得：x=10，∴AE=10km，∴收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來(lái)．22．如圖，已知：大風(fēng)把一顆大樹(shù)刮斷，折斷的一端恰好落在地面上的A處，量得BC=3米，AC=4米，試計(jì)算這棵大樹(shù)的高度．【答案】這棵大樹(shù)高8米.【分析】該大樹(shù)折斷后，折斷部分與地面、原來(lái)的樹(shù)干恰好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)大樹(shù)折斷部分AB高為x米，由勾股定理可得出方程：32+42=x2，解該方程可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得大樹(shù)原來(lái)的高．【詳解】設(shè)大樹(shù)斷掉的部分AB長(zhǎng)為x米．∵∠BCA=90°，∴BC2+CA2=AB2，∴32+42=x2，解得：x=5（米），∴大樹(shù)原高為：3+5=8（米），答：大樹(shù)的高為8米．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解應(yīng)用題，關(guān)鍵在于把折斷部分、大樹(shù)原來(lái)部分和地面看作一個(gè)直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．題型6.兩點(diǎn)間距離23．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，且，那么m的值是________．【答案】【分析】由、，再根據(jù)長(zhǎng)度公式可得出AB的距離表達(dá)式，由即可求得的值．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用勾股定理求兩點(diǎn)距離，掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解決此題的關(guān)鍵．24．（22·23上·楊浦·期末）、、是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則是三角形．【答案】等腰直角【分析】求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的判定，勾股定理以及逆定理．解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式．25．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現(xiàn)在要在公路上建造一倉(cāng)庫(kù)P，使A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等，求倉(cāng)庫(kù)P的位置．【答案】倉(cāng)庫(kù)P在公路上，且在公路的右側(cè)，離公路的距離為6千米處.【分析】以直線(xiàn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題述可得A廠，B廠所在點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)倉(cāng)庫(kù)P所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)，根據(jù)“A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等”列出方程，求解，根據(jù)方程的解可得出倉(cāng)庫(kù)P的位置．【詳解】解：為兩條互相垂直的公路，以建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，根據(jù)題意可知,設(shè)P(x,0)，則整理得：，解得．故倉(cāng)庫(kù)P在公路上，且在公路的右側(cè)，離公路的距離為6千米處．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離公式．能建立合適的直角坐標(biāo)系，并根據(jù)“A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等”列出方程是解決此題的關(guān)鍵．【方法三】成果評(píng)定法一、單選題1．（22·23上·上海·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線(xiàn)DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝EC，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A錯(cuò)誤，符合題意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正確，不符合題意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正確，不符合題意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解題的關(guān)鍵．2．（22·23上·寶山·期末）機(jī)場(chǎng)入口處的銘牌上說(shuō)明，飛機(jī)行李架是一個(gè)的長(zhǎng)方體空間，有位旅客想購(gòu)買(mǎi)一件畫(huà)卷隨身攜帶，現(xiàn)有4種長(zhǎng)度的畫(huà)卷①；②；③；④，請(qǐng)問(wèn)這位旅客可以購(gòu)買(mǎi)的尺寸是（

）A．①②； B．①②③； C．①②③④； D．①；【答案】B【分析】根據(jù)題意求出行李架的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度，然后與畫(huà)卷長(zhǎng)度進(jìn)行比較即可．【詳解】解：由題意可知，，，顧客能攜帶的長(zhǎng)度為：①②③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理求長(zhǎng)度．3．（22·23上·寶山·期末）下列四組數(shù)據(jù)為三角形的三邊，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（）【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：“如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形”判定即可．【詳解】解：A．，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而做出判斷．4．（22·23上·青浦·期末）在下列各原命題中，逆命題為假命題的是（）A．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等B．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半C．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等D．關(guān)于某一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形全等【答案】D【分析】分別寫(xiě)出四個(gè)命題的逆命題，然后分別根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)判定定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和軸對(duì)稱(chēng)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、逆命題為到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上，此逆命題為真命題；B、逆命題為如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形，此逆命題為真命題；C、逆命題為三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等，此逆命題為真命題；D、逆命題為兩個(gè)全等三角形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，此逆命題為假命題．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱(chēng)為定理．也考查了逆命題．5．（22·23上·青浦·期末）如圖，在中，，，平分，，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離為1 B．點(diǎn)D到直線(xiàn)的距離為1C．點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為 D．點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離為【答案】A【分析】根據(jù)，，易證，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，過(guò)點(diǎn)作于，點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離為，過(guò)作于，求得點(diǎn)到的距離為1，，點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離為，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，得到點(diǎn)到的距離為．【詳解】解：過(guò)作于，∵平分，∴，，∴，則，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)作于，∵，，∴，則，∴，則，∴點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離為，故A選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；過(guò)作于，∴，∴點(diǎn)到的距離為1，故選項(xiàng)B結(jié)論正確；，∴點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離為，故選項(xiàng)D結(jié)論正確；過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，∴，∴點(diǎn)到的距離為，故選項(xiàng)C結(jié)論正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是含的直角三角形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，多次利用含的直角三角形求邊的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（21·22上·靜安·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，BD平分∠ABC，BD=2，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)D在AB的垂直平分線(xiàn)上；B．點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為1；C．點(diǎn)A到直線(xiàn)BD的距離為2；D．點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離為.【答案】C【分析】如圖，取AB中點(diǎn)E，連接DE，證明△EBD≌△CBD，可得∠DEB＝∠C＝90°，∠BAD＝∠ABD＝∠CBD＝30°，則BC＝AB，DE＝，然后根據(jù)勾股定理可求出BC，過(guò)A作AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，求出AF＝AB＝BC＝，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：如圖，取AB中點(diǎn)E，連接DE，∵AB=2BC，∴BE＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，又∵BD＝BD，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴∠DEB＝∠C＝90°，∴DE⊥AB，即點(diǎn)D在AB的垂直平分線(xiàn)上，A正確；∴AD＝DB，∴∠BAD＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴BC＝AB，DE＝，即點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為1，B正確；∴DE＝DC＝1，∴BC＝，即點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離為，D正確，過(guò)A作AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，∴AF＝AB＝BC＝，∴點(diǎn)A到BD的距離為，C錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（22·23上·靜安·期末）已知平面直角坐標(biāo)內(nèi)的兩點(diǎn)、，那么，兩點(diǎn)的距離等于.【答案】【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵、，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求兩點(diǎn)距離，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（22·23下·虹口·期末）我們?nèi)缦露x：如果一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線(xiàn)的平方，那么稱(chēng)這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱(chēng)為這個(gè)四邊形的勾股邊．如圖，已知，，，如果格點(diǎn)四邊形（即四邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）是以為勾股邊且對(duì)角線(xiàn)相等的勾股四邊形，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)是．【答案】或/或【分析】根據(jù)勾股四邊形的定義進(jìn)行作圖，即可求解．【詳解】由題意得，格點(diǎn)四邊形如圖所示，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，能夠理解并運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵．9．（22·23下·嘉定·開(kāi)學(xué)考試）如圖，含30°的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到，連接，若，則的面積為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),垂足為,由及旋轉(zhuǎn)角可知為平角,在中,,則,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,由面積法:,求,則【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),垂足為,∵，∴,∵在中,,，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知.,由,即解得∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是圍繞三角形的面積需確定底和高的值.10．（22·23上·靜安·期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，那么這個(gè)三角形形狀是.【答案】直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：∵∴，∴這個(gè)三角形形狀是直角三角形，故答案為：直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．11．（22·23下·虹口·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)D與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連接，那么線(xiàn)段的長(zhǎng)是．【答案】【分析】如圖，過(guò)作于，求解，證明，由旋轉(zhuǎn)可得：，，證明，可得，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，∵，，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，，∵，∴，∴，，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．12．（22·23下·浦東新·期末）如圖，梯形中，，，且平分，則梯形的周長(zhǎng)是cm．【答案】15【分析】由推出，得到，由角平分線(xiàn)的定義得到因此，推出求出，得到梯形是等腰梯形，即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴梯形是等腰梯形，∴，∴，∴梯形的周長(zhǎng)，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查梯形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明．13．（22·23下·嘉定·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，平分，交邊點(diǎn)，，，則．【答案】/【分析】如圖：過(guò)點(diǎn)D作于E，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得，再證可得，再由勾股定理可得，進(jìn)而得到，設(shè)，則，運(yùn)用勾股定理列方程求得x,進(jìn)而完成解答．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)D作于E，∵平分，∴.，在和中，∴，∴，由勾股定理得：,∴，設(shè)，則，在中，，即,解得，∴．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理列出方程是解答本題的關(guān)鍵．14．（21·22上·上?！て谀┰赗t△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如圖所示.如果將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，其中點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)BD，那么BD的長(zhǎng)等于.【答案】；【分析】過(guò)D作DH⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，則可得BH，利用勾股定理即可求得BD．【詳解】解：如圖，過(guò)D作DH⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于H，依題可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE，∴∠ACE=∠ACB∠BCE=30°，∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE，∴∠ACD＝∠DCE∠ACE=60°，∴∠DCH＝∠ACH∠ACD=30°，∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CD=AC=，∴在Rt△DCH中，DH=CD=，則CH=DH=6，∴BH=BC+CH=3+6=9，∴BD=＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．15．（22·23上·青浦·期末）已知兩塊相同的三角板如圖所示擺放，點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如果在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中有一條邊與平行，那么此時(shí)的面積是．【答案】或【分析】先求解，，，，再分兩種情況討論；如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則，再求解中上的高即可得到答案．【詳解】解：∵，，，且兩個(gè)三角形一樣，∴，，，，如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則，∴，，，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．16．（22·23上·青浦·期末）在中，，于點(diǎn)，且，．則【答案】20【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖，在上找一點(diǎn)E，使得，連接，證明，得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，則，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，在上找一點(diǎn)E，使得，連接，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（22·23上·靜安·期末）如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，將沿著直線(xiàn)翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，連接．如果，那么的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，作出圖形，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而得出．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵中，，∴，∴，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．18．（22·23上·徐匯·期末）函數(shù)的最小值為【答案】5【分析】先把原式變形為，再構(gòu)建幾何圖形滿(mǎn)足，，，，，設(shè)，則故問(wèn)題等價(jià)于在線(xiàn)段上求一點(diǎn)O，使最小，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，再構(gòu)建直角三角形利用勾股定理可得答案．【詳解】解：∵如圖所示，，，，，，設(shè)，則，，．∴，如圖，設(shè)E為C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，∴，，∴，∴最小值等于．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用幾何圖形求解函數(shù)的最值問(wèn)題，同時(shí)考查的軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，熟練的構(gòu)建幾何圖形是解本題的關(guān)鍵．三、解答題19．（23·24上·上?！るA段練習(xí)）已知：，，，且為等腰三角形，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得，，，然后進(jìn)行分類(lèi)討論，即可列式作答．【詳解】解：∵，，，∴，，，∵為等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，即，則解得；或當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以此種情況不存在；或當(dāng)時(shí)，即，則，即，那么綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的距離公式以及等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．20．（23·24上·上?！るA段練習(xí)）已知：如圖，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】對(duì)于（1），連接，根據(jù)勾股定理求出及，再根據(jù)勾股定理逆定理說(shuō)明是直角三角形，即可求出答案；對(duì)于（2），根據(jù)兩個(gè)三角形的面積和求出答案即可．【詳解】（1）連接，如圖所示．∵，，∴，根據(jù)勾股定理得，在中，，∴是直角三角形，且，