2022年廣西高考數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性試卷（理科）（學(xué)生版+解析版）

2022年廣西高考數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合4={x|P<9},?={-1,1,2,3}.則AAB=()

A.{-1,1,2)B.{1,2}C.{1,2,3)D.{-I,1,2,3)

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=（z+1）3,則|z|=（)

A.2B.V5C.2V2D.2V5

已知sing—a)+cos(岑+a)=一條則sin2a=(

3.(5分))

2472324

A.—B.—C「-25D.

2525~25

4.(5分)（1-2x）4的展開(kāi)式中含小項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-24B.24C.-16D.16

5.（5分）在正方體ABC。-AiBiCiDi中，。為面441818的中心,01為面Ai81clz)1的中

心，若E為CO的中點(diǎn)，則異面直線AE與0。所成角的余弦值為（）

2V5710C,在V5

A.——B.——D.一

55105

6.（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x\，xi,■X2022的平均數(shù)為100.方差為10,則O.lxi+1,0.1x2+1,

…，0.1A2022+1的平均數(shù)和方差分別為（）

A.10,1B.10,0.1C.11,1D.lb0.1

7.(5分)已知直線/：("?+2)x-(m+1)y+m-1=0(wER)與圓C：(x-1)2+(y-2)

2=9交于A,8兩點(diǎn)，則|A8|的最小值為（）

A.V5B.2V3C.y[7D.2V7

（分）函數(shù)/（%）=（?皿"*）一弓）如（“與）的圖像可能是（

8.5

9.(5分)過(guò)拋物線C：夕=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線交拋物線C于A,

8兩點(diǎn)，則黑的值為()

3

A.3B.2C.-D.1

2

10.(5分)已知函數(shù)/(%)=2sin?x+0)(o)>O,|如<芻)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正

確的是()

71

A.將/(x)的圖象向左平移石個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新函數(shù)為奇函數(shù)

B.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱

C.f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+1)

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[一看，勺上的值域?yàn)?]

xy

11.（5分）設(shè)為，F(xiàn)2是雙曲線C：--77=1（a＞0,人＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲

a2b2

線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|PF2|=2：1且/FIPF2=90°,則雙曲線C的漸近線方程是

（）

A.x±2y=0B.±y=0C.5x±4y=0D.4x±5y=0

12.（5分）已知/（x）是定義在（0,+8）上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)xi,也,

31

都有％2/（式1）一%"（＞2）V0記a/(3[32)^_/(3.2)/(/Og3.23.1)

23.13-23.23」，的3.231

X1-X2

A.a<b<cB.h<a<cC.c<a<hD.c<b<a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量熱=（2,2）,b=（-1,Tn）,若（2^+b）||b,則實(shí)數(shù)m=.

14.（5分）己知函數(shù)/。）=是尹在x=l處取得極值，則/（x）的極小值為.

15.（5分）2021年9月17日，搭載著3名英雄航天員的神舟十二號(hào)載人飛船返回艙成功著

陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十二號(hào)返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙。是垂直下落

于點(diǎn)C,某時(shí)刻地面上點(diǎn)A、B觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)。的仰角分別為45°、75°,若A、8

間距離為10千米（其中向量21與a同向），試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離|C￡?|約

為千米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：次”1.732）.

16.（5分）已知在三棱錐A-BCD中，面A3。_L面BCD,△BCD和△A3。均是邊長(zhǎng)為2次

的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為.

三、解答題：共7（）分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）已知數(shù)列｛“”｝的前“項(xiàng)和為S”滿足S”+〃2=〃（如+1）,他=3.

（1）求｛”"｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)尻=—，出"｝的前"項(xiàng)和為T".若刀巨看對(duì)于任意"6N*恒成立，求”的取

斯0n+15

值范圍.

18.（12分）某市公安交管部門曾于2017年底公布了一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：一年來(lái)全市范圍內(nèi)共

發(fā)生涉及電動(dòng)自行車的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因顱腦損傷

導(dǎo)致死亡占81.2%）,死亡人數(shù)中有263人未佩戴頭盔（占80.7%）.駕乘電動(dòng)自行車必需

佩戴頭盔，既是守法的體現(xiàn)，也是對(duì)家庭和社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn).該市經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期開(kāi)展安全教

育，取得了一定的效果.表一是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕乘人員未

佩戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

表一

年度20172018201920202021

年度序號(hào)X12345

未佩戴頭盔125012001010920870

人數(shù)y

(1)請(qǐng)利用表--數(shù)據(jù)求未佩戴頭盔人數(shù)y與年度序號(hào)x之間的回歸直線方程y=bx+a,

并預(yù)測(cè)該路口2022年駕乘人員未佩戴頭盔的人數(shù)；

(2)交管部門從2017?2021年在該路口發(fā)生涉及電動(dòng)自行車的交通事故案例中隨機(jī)抽

取了50起作為樣本制作出表二：

表二

未佩戴頭盔佩戴頭盔合計(jì)

傷亡61016

無(wú)傷亡43034

合計(jì)104050

請(qǐng)問(wèn)能否有95%的把握認(rèn)為駕乘電動(dòng)自行車未佩戴頭盔的行為與事故傷亡有關(guān)？

附：參考公式及數(shù)據(jù)：b=

工,]xg.—呀=工1]臼:ggqf),a=-_b-tXiyi

珞ix?-nx2第i(%-幻2-

=14710.

心齊日第怒薪兩其中"="+6+c+d.

P（犬"0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

19.(12分)如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面底面ABCD

且AB=1,PA=AD=2,E為PQ中點(diǎn).

(1)求證：AELPC；

V6

(2)若PB與底面A8CZ)所成角的正切值為三，求二面角A-CE-8的正弦值.

p

20.(12分)已知橢圓C：苧+?=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且不垂直于x軸的直線交C于

A,8兩點(diǎn)，分別過(guò)A,B作平行于x軸的兩條直線/1,12,設(shè)人，/2分別與直線x=4交

于點(diǎn)M,N,點(diǎn)R是MN的中點(diǎn).

(1)求證：AR//FN；

(2)若AR與x軸交于點(diǎn)。(異于點(diǎn)R),求沁絲的取值范圍.

S&FDN

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=/nx—a%+§(a>0).

⑴當(dāng)a另時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并證明：(1+^)(1+^)(1+-(1+

3

<e4(nGN*,n>2)；

(2)若函數(shù))，=/(x)與y=-等+伍2的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做

的第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

\x=2+'-i-1,

22.(10分)在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為｛2(f為參數(shù)).以

卜=-2+三3

O為極點(diǎn)，龍軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4sin6.

(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2x+y的取值范圍；

(2)經(jīng)過(guò)變換公式”=*把曲線C變換到曲線。，設(shè)點(diǎn)P是曲線Ci上的一個(gè)動(dòng)

.y'=y-2,

點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線/的距離的最小值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)—\lx-m\,(ntGR).

(1)當(dāng)機(jī)>0時(shí)，解不等式f(x)>|x+l|；

(2)若對(duì)任意的xq-1,2J,不等式f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2022年廣西高考數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合4="|/<9},B={-1,1,2,3}.則AG8=()

A.{-1,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{-1,1,2,3}

【解答】解：???集合A={R/V9}={M-3VxV3},

B={-1,1,2,3),

：.AC\B={-1,1,2}.

故選：A.

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=（z+1）3,則|z|=（)

A.2B.V5c.2V2D.2V5

【解答】解：?."是虛數(shù)單位,

，復(fù)數(shù)z=(i+1)3=(I2+2/+12)(Z+1)=2i(z+1)=2尸+2i=-2+2i,

：.\z\=J(-2)2+22=272.

故選：C.

3.(5分)已知si幾g-a)+cos(當(dāng)+a)=—償，則sin2a=(

)

247_2324

A.—B.—Cc25D.

2525~25

【解答】解：:sing-a)+cos(當(dāng)+a)=-曰=cosa+sina,

2

/.-=l+2sinacosa=:l+sin2a,

25

則sin2a=-11,

故選：C.

4.（5分）（1-2幻4的展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-24B.24C.-16D.16

【解答】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：TE=C；（-2x）r=(-2)yer=0,1,

2,3,4,

所以含W的項(xiàng)的系數(shù)為（-2）2盤=24,

故選：B.

5.（5分）在正方體ABCQ-AIBICIQI中，。為面441B18的中心，。1為面AiBiCi。的中

心，若E為CZ）的中點(diǎn)，則異面直線AE與001所成角的余弦值為（）

2>/5V10V5V5

A.---B.---C.—D.—

55105

【解答】解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),E(0,1,0),O(2,1,1),0\(1,1,2),

：.AE=(-2,1,0),。5=(-1,0,1),

AEOO.710

?:cos<AEfobr>=—~—=-5-^

IMQOil

.,.異面直線AE與OOi所成角的余弦值為厚,

故選：B.

6.（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X2022的平均數(shù)為100,方差為10,則O.lxi+1,0.1X2+1,

…，0.1X2022+1的平均數(shù)和方差分別為（）

A.10,1B.10,0.1C.11,1D.11,0.1

【解答】解：設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)XI,k,X2022的平均數(shù)為100,方差為10,

則0.1X1+1,0.1X2+1,…，0.1X2022+1的平均數(shù)為：

100X0.14-1=11,

方差為：0.12-10=0.1.

故選：D.

7.(5分)已知直線/：(/n+2)x-(機(jī)+1)y+tn-1=0(wGR)與圓C：(x-1)2+(y-2)

2=9交于A,3兩點(diǎn)，則|A8|的最小值為()

A.V5B.2V3C.V7D.277

【解答】解：因?yàn)橹本€/：(m+2)x-(7/7+1)y+m-1=0()%WR),

變形為(x-y+1)m+(2x-y-1)=0,

令解得x=2,y=3,

所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)P(2,3),

設(shè)圓心C(l,2)到直線/的距離為d,圓的半徑為r,

所以|AB|=2Vr2一=2V9-d2,

所以當(dāng)d取最大值時(shí)，|AB|取得最小值，

而當(dāng)CPL時(shí)，此時(shí)|CP|即為d的最大值，

所以d,nax^\CP\=J(1-2)2+(2—3)2=&，

所以|AB|“"R=2V^==2夕，

故選：D.

8.(5分)函數(shù)“乃=(》sm(x+*)-q)g(x+第的圖像可能是()

D.

[解答]解：■:f(-X)=q)sin(-x+*_(：)cos(-x+E)_(6sE%(x+制_(：)cosg-(x+》]

=;cos(x+*_(》sm(x+舟=V(x),

...函數(shù)/（無(wú)）為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C和。,

取x=0.01,Vsin（0.01+J）>cos（0.01+J）,：.f（0.01）<0,排除選項(xiàng)B.

故選：A.

9.（5分）過(guò)拋物線C：）2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸作傾斜角為60°的直線交拋物線。于A,

3兩點(diǎn)，則需的值為（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

【解答】解：拋物線尸=2X（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（|,0）,

???直線/傾斜角為60°,

，直線/的方程為：y-0=V3（x-2）.

設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（xi,yi）、B（X2,”）,

**?\AF]=x\+\BF]=X2~^~

聯(lián)立方程組，消去y并整理，得12?_2Opx+3p2=o,

解得Xl=￥，X2=

zo

二.|AJF|=XI+§=2p,\BF]=X2^~2=

A|AF|：\BF\=3：1,

?喘的值為3.

故選：A.

10.（5分）已知函數(shù)/（%）=2sin（3%+0）（3〉O,101V今的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正

確的是（)

2

lOl\nL\r./5nx

71

A.將f(x)的圖象向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新函數(shù)為奇函數(shù)

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(工，0)對(duì)稱

C.f(x)的解析式為/'(x)=2sin(2x+⑥

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[一?月上的值域?yàn)間,2]

【解答】解：根據(jù)函數(shù)/(x)=2sin(3_r+<p)(x6R,4>0,o)>0,|<p|<^)的部分圖象，

可得衿系-胡第?.?7』=今3=2.

結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2x金+中=夕,9=不即f(X)=2sin⑵+"故C正確;

TT

將/(x)的圖象向左平移二7T;個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)y=2sin(2x+G=2cos2x,函數(shù)為偶函數(shù)，

故A錯(cuò)誤.

7TTTTTTT77T

令x=S代入函數(shù)解析式得了(目)=2sin(2Xg+@)=2sin—^0,故函數(shù)f(x)的圖

象不關(guān)于點(diǎn)0)對(duì)稱，故3錯(cuò)誤；

當(dāng)工€[—金，2x+,€[0,IT],2sin(2x+g)€[0.2]?故Q錯(cuò)誤.

故選：C.

x2y2

11.(5分)設(shè)為，F(xiàn)2是雙曲線C：---=1(?>01.>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲

線C上存在點(diǎn)P滿足IPP1I：|尸改|=2：1且/四尸放=90°,則雙曲線。的漸近線方程是

()

A.x±2y=0B.2x±y=0C.5x±4y=0D.4x±5y=0

flPFJ-\PF2\=2a

【解答】解：根據(jù)題意,得二91；

(JPa|：IPF2I=2：1

???|嗎=4a,\PF2\=2a；

又NAPb2=90°,

???[PF][2+|PF2|2=|F/2|2，

即(4。)2+(2。)2=(2c)2=4iz2+4fe2,

22

b=4af

b

，-=2；

a

???雙曲線C的漸近線方程是2x±y=0.

故選：B.

12.（5分）已知fG）是定義在（0,+8）上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù).，X2,

都有心口3,記Q四算,b=股察f(Io%”。)

<0=則（)

%1-％23.儼,3.2，」log323.1

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b〈a

【解答】解：f（x）是定義在（0,+8）上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)XI,X2,

不妨設(shè)O<X1<X2,都有紅色2二泣"2V0,

%1-12

所以-X\f（X2）>0,

所以出>9

%2

.?.函數(shù)）,=年在（0,+8）上是減函數(shù),

令g（X）=等，則g'（x）=與弊

當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(3.1)>g(3.2),

rZn3.1ln3.2

即---->-----,

3.13.2

所以Zn3.1X2>Zn3.231,

所以3.13-2>3.231>1>log3,23.1>0,

f(3I3,2)1[

所以Nk<r^r,/(3-23l)<甌用.“現(xiàn)323」)，

故a<b<c.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量2=（2,2）,b=（-1,m）,若畫+加立，則實(shí)數(shù)機(jī)=-1

【解答】解：,??向量Q=(2,2),b=(—l,m),

，2。+/?=(3,4+加，

V(2a+h)||b9

.-1m

??1=，

34+m

解得實(shí)數(shù)根=-1.

故答案為：-1.

14.（5分）己知函數(shù)/。）=三尹在x=l處取得極值，則/（x）的極小值為1

【解答】解：函數(shù)/（*）=芻

%—x2+l+a

可得/(x)=

函數(shù)f（X）=在尹在x=I處取得極值，f（1）=0,

令1-l+l+a=0,a--1,

所以/（x）=eX,

可得x=0或x=l,當(dāng)尤€（-8,0）和x6（1,+8）時(shí)，f（x）<0,函數(shù)是減函數(shù),

在（0,1）時(shí)，/（無(wú)）>0,函數(shù)是增函數(shù)，

所以x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為：f（0）=1.

故答案為：1.

15.（5分）2021年9月17日，搭載著3名英雄航天員的神舟十二號(hào)載人飛船返回艙成功著

陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十二號(hào)返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙力是垂直下落

于點(diǎn)C,某時(shí)刻地面上點(diǎn)A、B觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)O的仰角分別為45°、75°,若A、B

間距離為10千米（其中向量2與3同向），試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離|CO|約

為14千米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.732）.

【解答】解：根據(jù)題意，作出示意圖如圖所示，

由NCAD=45°,所以CD=AC,

在△BCD中,tanZCBD=f§=^=^,

店

P+,V。_+zo

OA、tan300+tan450百+12n+,y后

又tan75-tan（30+45）=1-tan30°tan45°==^'

1-yXl

CD

=2+V3,解得CO=5(1+V3)^5X2.732=13.66(千米).

CD-10

故答案為：14.

D

16.（5分）已知在三棱錐4-BCD中，面A8￡>_L面BCD,△BCD和△A2O均是邊長(zhǎng)為2次

的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為68m

3

【解答】解：在三棱錐A-BCD中，面ABOJ_面BCD,△BCD和△A3。均是邊長(zhǎng)為28

的正三角形，

故設(shè)點(diǎn)G為△ABQ的中心，F(xiàn)為△BOC的中心，。為三棱錐體的外接球的球心,

所以。下=襦=4；26=四］（2佝2_（遮）2=1,

故R=0D=V424-I2=V17,

故囁=?（何）3=等四

68VT77T

故答案為:

3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題:

共60分.

17.(12分)已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S“滿足S”+〃2=〃(art+1),a2=3.

(1)求｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)為=77]—,｛為｝的前〃項(xiàng)和為T”.若。屋對(duì)于任意〃6N*恒成立，求”的取

a九0n+15

值范圍.

【解答】解：(1)S〃+"2="(。〃+1),

??."22時(shí)，dn=Sn-Sn-T=n(。〃+1)一肩-(H-1)(a??-l+l)+(H-1)2,

化為：Un~Cln-\=2,

，數(shù)列｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列，

V4/2=3,，m+2=3.解得山=1.

??dn=1+2(〃-1)=2/2-1.

11111

(2)bn=------=75---7T7n-=n(-----------)，

anan+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

；.｛b｝的前〃項(xiàng)和為T"=±(T+AH…+會(huì)廠焉彳)=1(1-2^1),

9119

?；Tn>:對(duì)于任意1fc“WN恒成立，.(1-京y)>等

J/乙，」IJLKX

的取值范圍為"22,“6N*.

18.（12分）某市公安交管部門曾于2017年底公布了一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：一年來(lái)全市范圍內(nèi)共

發(fā)生涉及電動(dòng)自行車的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因顱腦損傷

導(dǎo)致死亡占81.2%）,死亡人數(shù)中有263人未佩戴頭盔（占80.7%）.駕乘電動(dòng)自行車必需

佩戴頭盔，既是守法的體現(xiàn)，也是對(duì)家庭和社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn).該市經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期開(kāi)展安全教

育，取得了一定的效果.表一是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕乘人員未

佩戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

表一

年度20172018201920202021

年度序號(hào)X12345

未佩戴頭盔125012001010920870

人數(shù)y

（1）請(qǐng)利用表一數(shù)據(jù)求未佩戴頭盔人數(shù)y與年度序號(hào)x之間的回歸直線方程y=bx+a,

并預(yù)測(cè)該路口2022年駕乘人員未佩戴頭盔的人數(shù)；

（2）交管部門從2017?2021年在該路口發(fā)生涉及電動(dòng)自行車的交通事故案例中隨機(jī)抽

取了50起作為樣本制作出表二：

表二

未佩戴頭盔佩戴頭盔合計(jì)

傷亡61016

無(wú)傷亡43034

合計(jì)104050

請(qǐng)問(wèn)能否有95%的把握認(rèn)為駕乘電動(dòng)自行車未佩戴頭盔的行為與事故傷亡有關(guān)？

附：參考公式及數(shù)據(jù)：匕=，之1%,「九乎=，:1?■■無(wú)）（%；?）,。=歹一6元，￡?xiyi

第1#一位第1?！富?/p>

=14710.

爛-砂混）露（b+d），其中……

P(犬2)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

1+2+3+4+5

【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，x=5=3o,

-1250+1200+1010+920+870…八

y=-------------------F-------------------=1050,

b=詠1看%-5回=1250+2400+3030+3680+4350-5x3x1050

一歐=1々2-5元2-1+4+9+16+25-5x32

a=y—bx=\050+104X3=1362,

故回歸直線方程為y=-104x+1362,

2022年，即x=6,y=-104X6+1362=738.

(2)2X2列聯(lián)表如下：

未戴頭盔戴頭盔合計(jì)

傷亡61016

無(wú)傷亡43034

合計(jì)104050

9

._50x(6x30-4x10)

*K2~10x40x16x34=4.5037>3.841,

...有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān).

19.(12分)如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面外。，底面ABCD

且AB=1,PA=AD^2,E為PD中點(diǎn).

(1)求證：AEA.PC-

V6

(2)若P8與底面ABC。所成角的正切值為三，求二面角A-CE-B的正弦值.

【解答】解：(1)所以三角形以B是直角三角形，所以以，AB.

又ADCAB=A,所以以_L平面ABC。，

所以平面以￡>1.平面ABCD.

因?yàn)榈酌鍭BC。是矩形，所以CO_LA。，

所以CQ_L平面PAD,

因?yàn)锳Eu平面PAD,

所以CD1AE.

因?yàn)镋是PO的中點(diǎn)，三角形以。是等腰直角三角形，

所以AEJ_P￡).

又PDCCD=D,所以AE_L平面PCD

：PCu平面尸C￡>,：.AE±PC；

(2)如圖，作PO_L4O,垂足為0,連接0B,因?yàn)槠矫嬉浴?L平面ABCD,平面以。

A平面4BCC+AQ.

所以P0_LABQ9,所以PB與平面A8CQ所成角為NPB。，

所以tan/PB0=黑=歸"1=暮,解得A0=l,即。為的中點(diǎn)，

J1-A02

分別以0。，0P為x,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,

則A(-1,0,0),B(-1,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,V3),E

T3,^3TT3-^3T

所以AE=(一，0,—),AC=(2,1,0),BE=(—,-1,—),BC=(2,0,0),

2222

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為藍(lán)=(x,y,z),

貝老.磐=°,即聲+空z=0,令a,則產(chǎn)-2,z=_J5,

所以平面ACE的一個(gè)法向量為云=(1,-2,-V3),

同理可得平面BCE的一個(gè)法向量益=(0,V3,2),

設(shè)二面角A-CE-8的平面角為。，由圖可知。為銳角,

所以cos9=后=半'故sin8=g,

|乒m|-河|n|=,2君ax?用77

V7

所以二面角A-CE-B的正弦值為彳.

20.(12分)已知橢圓C：[+[=1的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且不垂直于x軸的直線交C于

4,B兩點(diǎn)，分別過(guò)4,B作平行于x軸的兩條直線/1,/2,設(shè)/I,/2分別與直線x=4交

于點(diǎn)M,N,點(diǎn)R是例N的中點(diǎn).

(1)求證：AR〃尸M

(2)若AR與x軸交于點(diǎn)O(異于點(diǎn)R),求沁”的取值范圍.

S&FDN

【解答】解：(1)由題意可得，設(shè)直線48的方程為y=Z(x-1),A(xi,yi),B(%2,

)2),

x2y2

因?yàn)?4--=1,則尸(1,0),M(4,y\),N(4,”)，

yi+y2

又R是MN的中點(diǎn)R(4,)

2

y=fc(x—1)

2

聯(lián)立卜2y2_,(3+4必)X-8必X+4F-12=0,

,T+T=1

8k24k2-12

期■以X\+X2=--------7，X\X2=------廠，

3+4《3+4/

yi+y2,上一°

所以kAR=~T-，

%]-4-kF后

KARyi-y233k(久if)3(久1-%2)3(X1-X)

所RR以I.1；-=----772

——2XX-2X-8X+8'

kFN2(%1-4)722(%1—4)-k(x21)2(%1—4)(x21)1212

4戶一12+12+16/?20k2

又可Q2+4=

3+4/c，3+4k23+4必'

所以5(xi+%2)=2(XIX2+4),

則七4R=3(第1T2)=3%1-3%2=1

kpN5(%1+%2)-2%]—8%23%]—3%2

所以AR〃FN,得證.

(2)因?yàn)锳H〃尸N,貝

設(shè)直線AR的方程為尸孕(x-4)+"&

令尸0,得尸當(dāng)口1,則力(包絲型，°),

422y2

11

則SAADM=mAM，IM=2(4-xi)?)“，

S^FDM=4|FD|*|y/v|=4x(———1-1)?(-*),

乙/2y2

g-,uS△4DM(4-％1)以(4TI)A(%「1)=(%「1)(4一第2)

所以7--------=7-------；—=

S&FDN3yL5y234(3]—1)—5k(第2-1)3(%1—1)—5(第2—1)

一%1%2+4%1+%2-4

3%]-5%2+2

聲1一知2=3—+必=3

8J1+A+18+向

則8+11.(8,9],

小黑H

所以沖”的取值范圍為g"

S&FDN38

21.(12分)已知函數(shù)f(%)=mX—QX+三(4>0).

⑴當(dāng)a4時(shí)，討論函數(shù)小)的單調(diào)性，并證明：(1+*)(1+/)(1+抄“(1++)

3

<e4(nEN*,n>2)；

(2)若函數(shù)y=/(x)與曠=一型+加2的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【解答】解：(1)當(dāng)a=/時(shí)，/(x)=—1+去.

2

所以廣⑺4一>a=-甯4。，

所以/(x)在(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).

又一⑴=0,

所以當(dāng)(1,+8)時(shí)，f(x)<0,即"xV*-吉.

令x=l+a(ne『n>2),則M1+2)G(1+6一小1r

1.11.^1_lz11、

2(?+而)<K=2(口-帝卜

從而ln(l+-^2)+仇(1+-^2)+Zn(l+十)+…+伍(1+5)V.(1一/+稱一/+/一春+,,

11、1^,111、J-，1、3

.+口一帝)=7(1+2_而一曰)<1(1+力=4，

所以(1+電(1+點(diǎn))(1+占…(1+今)Ve"(nGN*,n>2).

(2)令g(x)=(Znx-ax4--)—(——4-Zn2)=ln^-ax+—(%>0),

XX乙X

所以9,(x)=>。-0=一"2y-4%>0)

設(shè)k(x)=-d+x-4m貝I」△=1-16/?

①當(dāng)［△'0',即a2J時(shí)，g(x)WO,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

la>04

所以g(x)不可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)；

7^x、r,an1...1—Jl—1+jl-16Q2

②當(dāng)|〉0,即OVaV］時(shí)，k(x)有兩個(gè)零點(diǎn)%1=—------,%2=-2^----，

所以X2>Xl>0.

又因?yàn)?-/+x-4a開(kāi)口向下，

所以當(dāng)OVxVxi時(shí)，k(x)<0,即9(x)<0,所以g(x)在(0,xi)上單調(diào)遞減;

當(dāng)X1<X〈X2時(shí)，k(x)>0,即g，(x)>0,所以g(X)在(XI,X2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)X>JC2時(shí)，k(X)<0,即g'(X)<0,所以g(X)在(X2,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)間(2)=)1-2a+粵=0,且XIX2=4,所以xiV2VX2,

所以g(xi)Vg(2)=OVg(垃).

因?yàn)間(-^)=ITL2~7—a*~~2+~Y~=一"2-21?2a—(+4a,，

Q2

1c

所以令m(a)=-ln2-2Ina--+4a3,

9112Q4—2a+l—2a

則Tnf(a)=-行+滔+12a2=

所以加(a)在(0,3單調(diào)遞增，

所以?n(a)Vni(》=~ITL2—2"-4+4(/)3=