四點(diǎn)共圓基本性質(zhì)及證明

四點(diǎn)共圓如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓〞。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等；〔2〕圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。1定理判定定理方法1：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，假設(shè)能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓?！部梢哉f(shuō)成：假設(shè)線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓〕方法2：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，假設(shè)能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓?！部梢哉f(shuō)成：假設(shè)平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓〕托勒密定理假設(shè)ABCD四點(diǎn)共圓〔ABCD按順序都在同一個(gè)圓上〕，那么ABDC+BCAD=ACBD。例題：證明對(duì)于任意正整數(shù)n都存在n個(gè)點(diǎn)使得所有點(diǎn)間兩兩距離為整數(shù)。解答：歸納法。我們用歸納法證明一個(gè)更強(qiáng)的定理：對(duì)于任意n都存在n個(gè)點(diǎn)使得所有點(diǎn)間兩兩距離為整數(shù)，且這n個(gè)點(diǎn)共圓，并且有兩點(diǎn)是一條直徑的兩端。n=1，n=2很輕松。當(dāng)n=3時(shí)，一個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的勾股三角形即可：比方說(shuō)邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形。我們發(fā)現(xiàn)這樣的三個(gè)點(diǎn)共圓，邊長(zhǎng)最長(zhǎng)的邊是一條直徑。假設(shè)對(duì)于n大于等于3成立，我們來(lái)證明n+1。假設(shè)直徑為r〔整數(shù)〕。找一個(gè)不跟已存在的以這個(gè)直徑為斜邊的三角形相似的一個(gè)整數(shù)勾股三角形ABC〔邊長(zhǎng)a<b<c〕。把原來(lái)的圓擴(kuò)大到原來(lái)的c倍，并把一個(gè)邊長(zhǎng)為ra<rb<rc的三角形放進(jìn)去，使得rc邊和放大后的直徑重合。這個(gè)三角形在圓上面對(duì)應(yīng)了第n+1個(gè)點(diǎn)，記為P。于是根據(jù)Ptolomy定理，P和已存在的所有點(diǎn)的距離都是一個(gè)有理數(shù)?！部紤]P，這個(gè)點(diǎn)Q和直徑兩端的四個(gè)點(diǎn)，這四點(diǎn)共圓，于是PQ是一個(gè)有理數(shù)因?yàn)镻tolomy定理里的其它數(shù)都是整數(shù)。〕引入一個(gè)新的點(diǎn)P增加了n個(gè)新的有理數(shù)距離，記這n個(gè)有理數(shù)的最大公分母為M。最后只需要把這個(gè)新的圖擴(kuò)大到原來(lái)的M倍即可。歸納法成立，故有這個(gè)命題。反證法證明現(xiàn)就“假設(shè)平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。那么這個(gè)四點(diǎn)共圓〞證明如下〔其它畫個(gè)證明圖如后〕：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓〔A，B，C，D四點(diǎn)共圓〕證明：用反證法過(guò)A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，點(diǎn)C在圓外或圓內(nèi)，假設(shè)點(diǎn)C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。2證明方法方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓周上，假設(shè)能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，假設(shè)能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等〕，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。幾何描述：四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC，那么ABCD四點(diǎn)共圓。證明：過(guò)ABC作一個(gè)圓，明顯D一定在圓上。假設(shè)不在圓上，可設(shè)射線BD與圓的交點(diǎn)為D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，與外角定理矛盾。方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，假設(shè)能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。證法見(jiàn)上方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，假設(shè)能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓〔相交弦定理的逆定理〕；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，假設(shè)能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．〔割線定理的逆定理〕上述兩個(gè)定理統(tǒng)稱為圓冪定理的逆定理，即ABCD四個(gè)點(diǎn)，分別連接AB和CD,它們〔或它們的延長(zhǎng)線〕交點(diǎn)為P，假設(shè)PAPB=PCPD，那么ABCD四點(diǎn)共圓。證明：連接AC,BD，∵PAPB=PCPD∴PA/PC=PD/PB∵∠APC=∠BPD∴△APC∽△DPB當(dāng)P在AB,CD上時(shí)，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同側(cè)。根據(jù)方法2可知ABCD四點(diǎn)共圓。當(dāng)P在AB,CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，由相似得∠PAC=∠D，根據(jù)方法3可知ABCD四點(diǎn)共圓。方法5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．即連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，可肯定這四點(diǎn)共圓．方法6四邊形ABCD中，假設(shè)有ABCD+ADBC=ACBD，即兩對(duì)邊乘積之和等于對(duì)角線乘積，那么ABCD四點(diǎn)共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。托勒密定理逆定理：對(duì)于任意一個(gè)凸四邊形ABCD，總有ABCD+ADBC≥ACBD,等號(hào)成立的條件是ABCD四點(diǎn)共圓。如圖，在四邊形內(nèi)作△APB∽△DCB〔只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可〕由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD即∠ABD=∠PBC又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD∴ABCD=BDAP，△ABD∽△PBC∴AD:BD=PC:BC，即ADBC=BDPC兩個(gè)等式相加，得ABCD+ADBC=BD(PA+PC)≥BDAC,等號(hào)成立的充要條件是APC三點(diǎn)共線而APC共線意味著∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC根據(jù)方法2，ABCD四點(diǎn)共圓方法7假設(shè)一點(diǎn)在一三角形三邊上的射影共線，那么該點(diǎn)在三角形外接圓上。設(shè)有一△ABC，P是平面內(nèi)與ABC不同的點(diǎn)，過(guò)P作三邊垂線，垂足分別為L(zhǎng),M,N，假設(shè)L,M,N共線，那么P在△ABC的外接圓上。如圖，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一條線上。連接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°∴PLBN四點(diǎn)共圓∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA根據(jù)方法2，P在△ABC外接圓上3判定與性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為180°,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角?！救鐖DA：四點(diǎn)共圓的圖片】圖A：四點(diǎn)共圓的圖片四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長(zhǎng)AB和DC交至E，過(guò)點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，那么有：〔1〕∠A+∠C=π，∠B+∠D=π〔即圖中∠DAB+∠DCB=π,∠ABC+∠ADC=π〕〔2〕∠DBC=∠DAC〔同弧所對(duì)的圓周角相等〕。〔3〕∠ADE=∠CBE〔外角等于內(nèi)對(duì)角，可通過(guò)〔1〕、〔2〕得到〕〔4〕△ABP∽△DCP〔兩三角形三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，可由〔2〕得到〕〔5