2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期末壓軸題訓(xùn)練 (一)

2022-2023學(xué)年人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末壓軸題訓(xùn)練

1.閱讀下面材料：

彤彤遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

已知：如圖甲，AB//CD,E為AB,CD之間一點(diǎn)，連接BE,DE,得到/BED.

求證：ZBED=ZB+ZD.

彤彤是這樣做的：

過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,

則有NBEF=NB.

VAB//CD,

，EF//CD.

AZFED=ZD.

...NBEF+/FED=NB+/D.

即/BED=/B+/D.

請(qǐng)你參考彤彤思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖乙.

已知：直線a//b,點(diǎn)A,B在直線a上，點(diǎn)C,D在直線b上，連接AD,BC,BE平分

ZABC,DE平分/ADC,且BE,DE所在的直線交于點(diǎn)E.

圖甲圖乙

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若/ABC=60。，ZADC=70°,求/BED的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)NABC=a,/ADC=0,直接寫(xiě)出NBED的度數(shù)(用

含有a,。的式子表示).

2.如圖，已知AMBN,點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，BC,BD分別平分

和NPBN,分別交射線AM于點(diǎn)C,D.

(1)當(dāng)NA=52。時(shí)，NA6N的度數(shù)是,NC8O的度數(shù)是；

(2)當(dāng)NA=x。時(shí)、求NCBO的度數(shù)(用含x的式子表示)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使=NA=x。時(shí)，求NABP的度數(shù)(用含x的代子表示).

3.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)A(0,4)的直線a垂直于y軸，點(diǎn)M(9,4)為直線a上一點(diǎn)，若點(diǎn)

P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒2cm的速度沿直線a向左移動(dòng)，點(diǎn)Q從原點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿

x軸向右移動(dòng)，

(2)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若線段0Q=2AP,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.在三角形ABC中，點(diǎn)D在線段A5上，DEBC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在射線8C上，作直線

EF，過(guò)點(diǎn)D作直線AC交直線EE于點(diǎn)H.

圖1圖2-1圖2-2

(1)在如圖1所示的情況下，說(shuō)明：/HDE=NC；

(2)若三角形ABC不變，D,E兩點(diǎn)的位置也不變，點(diǎn)F在射線BC上運(yùn)動(dòng).

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)H在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，說(shuō)明/與ZFEC的數(shù)量關(guān)系；

②如圖2-1和圖2-2中的點(diǎn)F,會(huì)使點(diǎn)H在三角形ABC外部，請(qǐng)你畫(huà)圖探究ZDHF與NEEC的

數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論；

5.如圖，ZAOB=150°,射線0C從0A開(kāi)始，繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒6。；射線

OD從OB開(kāi)始，繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒14。，OC和0D同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為

t秒(0<t<25).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，射線0C與0D重合；

(2)當(dāng)t為何值時(shí),ZCOD=90°；

(3)試探索：在射線0C與0D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OC、0B與0D中

的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足題意的t的取值，若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖，已知AM〃BN,ZA=60°,點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，BC、BD分別平分

NABP和/PBN,分別交射線AM于點(diǎn)C,D。

APDM

(1)求NCBD的度數(shù)。

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，NAPB與/ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它

們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律。

7.問(wèn)題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB,CD和一塊含60。角的直角三角尺EFG

(ZEFG=90°,ZEGF=60°)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

操作發(fā)現(xiàn)

(1)如圖(1),小明把三角尺的60。角的頂點(diǎn)G放在CD上，若N2=2N1,求N1的度數(shù)；

(2)如圖(2),小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在AB和CD上，請(qǐng)你探索并說(shuō)明

NAEF與NFGC之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖(3),小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上，30。角的頂點(diǎn)E落在AB上.若NAEG=

a,則/CFG等于(用含a的式子表示).

8.已知，如圖，點(diǎn)M、N分別代表兩個(gè)村莊，直線I代表兩個(gè)村莊之間的一條燃?xì)夤艿溃?/p>

據(jù)村民燃?xì)庑枨?，?jì)劃在管道/上某處修建一座燃?xì)夤芾碚荆騼纱迩f接入管道.

M

(1)若計(jì)劃建一個(gè)離村莊M最近的燃?xì)夤芾碚?，?qǐng)畫(huà)出燃?xì)夤芾碚镜奈恢?用點(diǎn)P表示),

并寫(xiě)出這樣做的依據(jù).

(2)若考慮到管道鋪設(shè)費(fèi)用問(wèn)題，希望燃?xì)夤芾碚镜奈恢玫酱迩fM、村莊N距離之和最

小，畫(huà)出燃?xì)夤芾碚镜奈恢?用點(diǎn)。表示)，并寫(xiě)出這樣做的依據(jù).

9.如圖，AB〃CD,點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)

圖1圖2圖3W4

(1)如圖1,若/BAE=35。，/DCE=20。，則/AEC=；

(2)如圖2,試說(shuō)明,ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

(3)①如圖3,若NBAE的平分線與/DCE的平分線相交于點(diǎn)F,判斷/AEC與NAFC的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖4,若設(shè)NE=m,ZBAF=-ZFAE,ZDCF=-ZFCE,請(qǐng)直接用含m、n的代數(shù)式

nn

表示/F的度數(shù).

10.已知AB〃CD,點(diǎn)是AB,CD之間的一點(diǎn).

圖1圖2

(1)如圖1,試探索/AEC,ZBAE,/DCE之間的數(shù)量關(guān)系；

以下是小明同學(xué)的探索過(guò)程，請(qǐng)你結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空(理由或數(shù)學(xué)式)：

解：過(guò)點(diǎn)E作PE〃AB(過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行).

VAB/7CD(已知),

；.PE〃CD(),

.,./BAE=N1,/DCE=/2(),

/.NBAE+NDCE=+(等式的性質(zhì)).

即/AEC,ZBAE,/DCE之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,點(diǎn)F是AB,CD之間的一點(diǎn)，AF平分NBAE,CF平分/DCE.

①若NAEC=74。，求/AFC的大?。?/p>

②若CGLAF,垂足為點(diǎn)G,CE平分NDCG,ZAEC+ZAFC=126°,求/BAE的大小.

11.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題背景：

(1)已知A(1,2),B(3,2),C(1,-1),D(-3,-3).在平面直角坐標(biāo)系中描出這幾

個(gè)點(diǎn)，并分別找到線段AB和CD中點(diǎn)Pi、P2,然后寫(xiě)出它們的坐標(biāo)，則P,

P2.

(2)探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)合上述計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)若線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,yD,(X2,

y2),則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

(3)拓展應(yīng)用：利用上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：己知三點(diǎn)E(-1,2),F(3,1),G(1,4),第

四個(gè)點(diǎn)H(x,y)與點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)G中的一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)與另外兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的線段的

中點(diǎn)重合，求點(diǎn)H的坐標(biāo).

12.直線ABCD,點(diǎn)P在兩平行線之間，點(diǎn)E,F分別在AB、CD上，連接PE,PF.嘗試探究并

(1)若圖1中Nl=36。，Z2=60°,則/3=；

(2)探究圖1中Nl,N2與N3之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2所示，N1與N3的平分線交于點(diǎn)P,若N2=a,試求的度數(shù)(用含a的代

數(shù)式表示).

(1)求證：AB〃OC；

(2)如圖2,E、F在CB上，且滿足NFOB=NAOB,OE平分NCOF,

①當(dāng)NC=100。時(shí)，求NEOB的度數(shù).

②若平行移動(dòng)AB,那么NOBC：NOFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不

變，求出這個(gè)比值.

14.25.如圖，已知AB〃CD,CN是NBCE的平分線.

(1)若CM平分NBCD,求NMCN的度數(shù)；

(2)若CM在NBCD的內(nèi)部，且CM_LCN于C,求證：CM平分NBCD；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)BM,BN,且BMLBN,/MBN繞著B(niǎo)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，/BMC+/BNC是

否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍.

15.如圖，已知AM//BN,NA=60。.點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，BC、BD分別平分

/ABP和/PBN.

(1)求NABN的度數(shù)

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，NCBD的度數(shù)是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出它的度數(shù)。若變化，

請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律.

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使NACB=NABD時(shí)，求NABC的度數(shù)。

16.如圖所示，A(2,0),點(diǎn)B在y軸上，將三角形OAB沿x軸負(fù)方向平移，平移后的圖形為三

角形DEC,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,4).

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)在四邊形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿“BC—CD”移動(dòng).若點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問(wèn)題：

①求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，(用含t的式子表示，寫(xiě)出過(guò)程)；

②當(dāng)3秒<t<5秒時(shí)，設(shè)NCBP=x。，/PAD=y。，NBPA=z。，試問(wèn)x,y,z之間的數(shù)量關(guān)系

能否確定？若能，請(qǐng)用含x,y的式子表示z,寫(xiě)出過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由.

17.直線EF,GH之間有一個(gè)直角三角形ABC，其中ABAC=90°.

(I)如圖1,點(diǎn)A在直線EF上，點(diǎn)6、點(diǎn)C在直線GH上，若ZABC=60°，

ZE4c=30。.求證：EF//GH.

(2)將ABC如圖2放置，點(diǎn)C、點(diǎn)B分別在直線EF，GH上，直線EF//GH,

試探索/FCA,乙4，ZABH三者之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，若BC平分ZABH,CD平分ZFCA交直線GH于點(diǎn)

D.試探索在ZABC取不同數(shù)值時(shí)，NBCD的大小是否發(fā)生變化？若不變求其值，若變化指

出其變化范圍.

18.如圖1,已知兩條直線AB,CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E,F,EM平分/AEF交CD于點(diǎn)

M,且NFEM=/FME.

(1)直線AB與直線CD的位置關(guān)系是

（2）如圖2,點(diǎn)G是射線FD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)F重合），EH平分NFEG交CD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H

作HN_LEM于點(diǎn)N,設(shè)NEHN=a,ZEGF=p.

圖2

①當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若。=65。，求a的度數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，a和p之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明.

19.如圖，已知直線L,L,點(diǎn)P在直線b上且不與點(diǎn)A、B重合.記/AEP=/1,ZBFP=Z2,

ZEPF=Z3.

（1）如圖，若直線h//h,點(diǎn)P在線段AB（A、B兩點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫(xiě)出N1、/2、/3之

間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖，若（1）中/I、/2、/3之間的關(guān)系成立，你能不能反向推出直線1WL?若成立請(qǐng)

說(shuō)明理由.

（3）如圖，若直線h//h,若點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括線段AB）,請(qǐng)直接寫(xiě)出/I、

/2、N3之間的關(guān)系.

3x+2y=/77+1

20.已知關(guān)于x,y的方程滿足方程組.，.

2x+y=加一1

（1）若x-y=2,求加的值；

（2）若x,y,m均為非負(fù)數(shù)，求〃z的取值范圍，并化簡(jiǎn)式子|加-3|+|加-4|；

（3）在（2）的條件下求s=2x-3y+m的最小值及最大值.

21.（探索新知）

???

ACB

圖1

如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成AC和BC兩部分，若BC=TIAC,則稱點(diǎn)C是線段AB的圓周率

點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段.

（1）若AC=3,貝ijAB=；

（2）若點(diǎn)D也是圖1中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于C點(diǎn)），則ACDB；

（3）（深入研究）如圖2,現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1

的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置.

01234

圖2

若點(diǎn)M、N均為線段OC的圓周率點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.

(4)圖2中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與以O(shè)、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓

周率伴侶線段，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D所表示的數(shù).

22.已知直線PQMN,動(dòng)點(diǎn)C在尸。與之間.

(1)如圖1,若N1與N2都是銳角，求NC,Zl,N2三者之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,將一塊三角尺(其中NA=30°,ZC=90°)按圖中位置擺放，點(diǎn)D,E,F是三角

尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若NAEN=/A,求N3OF的度數(shù)；

(3)如圖3,將圖2中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段

上，且NCEG=NCEM,求NGEN與N8OR之間的數(shù)量關(guān)系.

23.如圖1,點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P為AB、CD之間的一點(diǎn)，且

(2)如圖2,點(diǎn)G在射線FC上，PG平分NEGF,NPFD=NPEG,探究NEPF與NPGF之

間的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,ZBEM^IAPEM,ACFN=2APFN.直線HQ分別交FN,EM于H、Q兩

點(diǎn)，若NEW=150。，求NFHQ-NHQE的度數(shù).

24.問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線AB,CD和一塊含60°角的直角

三角尺￡：歹6(/瓦6=90,/石6尸=60)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

圖1圖2圖3

(1)操作發(fā)現(xiàn)：

如圖1,小明把三角尺的60角的頂點(diǎn)G放在CD上，若N2=2N1,求N1的度數(shù)；

(2)如圖2,小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在AB和CD上，請(qǐng)你探索并說(shuō)明

ZAEF與ZFGC之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)結(jié)論應(yīng)用：

如圖3,小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)F放在CD上，30角的頂點(diǎn)E落在AB上.若ZAEG=a,

求ZCFG的度數(shù)(用含a的式子表示).

備用圖

(1)問(wèn)題情境：

如圖1,AB//CD,NP4B=128。，NPC￡)=119°.求Z4PC度數(shù).小穎同學(xué)的解題思路是:

如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PE//AB,請(qǐng)你接著完成解答.

(2)問(wèn)題遷移:

如圖3,AD//BC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，

ZADP=Aa,NPCE=4.試判斷ZCPD、Na、S之間有何數(shù)量關(guān)系？(提示：過(guò)

點(diǎn)P作PF//AD),請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O

三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你猜想ZCPD、乙a、邛之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

答案解析部分

1.(1)解：如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,

圖】

有NBEF=/EBA.

：AB〃CD,

，EF〃CD.

.,.ZFED=ZEDC.

ZBEF+ZFED=ZEBA+ZEDC.

即ZBED=ZEBA+ZEDC,

：BE平分NABC,DE平分NADC,

ZEBA=-NABC=30。，ZEDC=-NADC=35。,

22

NBED=/EBA+NEDC=65。.

答:/BED的度數(shù)為65。；

(2)NBED=180。一；0+；〃

2.(1)128°；64°

(2)解：YAMBN,

：.ZABN+ZA=ISO°,

：.ZABN=lSO°-x°,

：.ZABP+ZPBN=180°—,

：BC平分/4BP,BP平分NPBN,

：.ZABP=2ZCBP,ZPBN=2ZDBP,

二2ZCBP+2NDBP=180°-x°,

...NCBD=ZCBP+NDBP=g(180°—x°)=90°-gx°；

(3)解：BN,

：.ZACB=ZCBN,

■:NACB=NABD,

：.ZABD=ZCBN,

：./ABD-4CBD=4CBN-ZCBD,

，ZCBA=ZDBN,

,.?8(：平分乙鉆。，BD平分NP8N,

...ZABP=2ZCBA,NPBN=2ZDBN,

二ZABP=NPBN,

：.NABP=L/ABN,

2

AMBN,

AZABN+ZA=180°,

ZAB/V=180o-x°,

/.ZABP=-ZABN2(180。-x。)=90。-L。.

22V72

3.⑴解:M(9,4),

.-.AM=9,

設(shè)f秒后PQ平行于y軸，

.?.OQ=紀(jì)m,AP=AM-PM^(9-2t)cm,

AM垂直于y軸，(M垂直于x軸，P。平行于y軸,

???四邊形OAPQ是矩形，

?1.AP=OQ,即9-2』，

解得r=3,

即3秒后尸。平行于y軸；

(2)解：由題意得：經(jīng)過(guò)b秒后，PM=2bcm,OQ=bcm,

AM垂直于丁軸，點(diǎn)P在直線AM上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,4),

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，AP=AM-PM=(9-2加cm,

由OQ=2A尸得：8=2(9—如)，

1Q

解得人=不，

189

AP=9-2x—=-(cm),

55

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為產(chǎn)《，4)；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，AP=PM-AM=(力—9)cm,

由OQ=2AP得：b=2(2b-9),

解得人=6,

AP=2x6-9=3(cm),

???此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸(-3,4)；

9

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1?4)或(-3,4).

4.(1)解：VDEBC,

.,.ZAED=ZC,

VDHAC,

.,.ZHDE=ZAED.

：.ZHDE=ZC

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)H在△ABC內(nèi)部時(shí)，ZDHF+ZFEC=180°,

理由如下：

VDHAC,

；./FEC=/DHE,

又：NDHE+NDHF=180°,

.,.ZDHF+ZFEC=180o；

②當(dāng)點(diǎn)H在△ABC外部時(shí)，①中結(jié)論不成立，

理由如下：i).如圖2-1,當(dāng)點(diǎn)H在直線DE上方時(shí)，

VDHAC,

/.ZDHF=ZFEC.

圖2-1

ii).如圖2-2,當(dāng)點(diǎn)H在直線DE下方時(shí),

VDHAC,

/.ZDHF=ZFEC.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)H在△ABC外部時(shí)，ZDHF=ZFEC.

5.(1)解：設(shè)ZAOC=6t,NBOD=T4t,

當(dāng)射線OC與OD重合時(shí)，ZAOC+ABOD=ZAOB,

即6°r+14°r=150°,解得t=7.5s,

...當(dāng)t=7.5s時(shí)，射線OC與OD重合

(2)解：①射線OC與0D重合前，

Z.COD=ZAOB-(ZAOC+ZBOD),

即90o=150°-(6°?+14or)，解得r=3s；

②射線OC與OD重合后，

ZAOC+ZBOD-ZCOD=ZAOB，

即6°f+14oZ-90o=150°,解得t=\2s，

，當(dāng)t=3s或/=12.y時(shí)，ZCOD=90°

(3)解：①如圖，OD平分NBOC,貝ijZBOD=ZCOD，

：.ZBOD=ZAOB-ZBOD-ZAOC,

75

即14°r=150o-14or-6°r,解得t=—s；

17

②如圖，OC平分NBOD,則ZBOC=-ZBOD,

2

/.ZAOB-ZAOC=-ZBOD,

2

即150°-6°/=-xl4°z,解得r=—.v；

213

③如圖，OB平分ZCOD,貝ijNCOB=NDOB,

4

?.里〉25,

4

，不成立，舍去;

解：：AM〃BN

.*.ZA+ZABN=180°

又：BC、BD分別平分NABP,ZPBN

/.ZCBP=-ZABP,ZPBD=-ZPBN

22

又,:ZABP+ZPBN=ZABN=180°-ZA=120°

.?.2ZCBP+2ZPBD=120°

/.ZCBP+ZPBD=60°

，ZCBD=ZCBP+ZPBD=60°

/.ZCBD的度數(shù)為60°

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，NAPB=2/ADB不變，理由:

AM〃BN

ZAPB=ZPBN

又?.，NADB=NDBN=-ZPBN

2

ZAPB=2ZDBN=2ZPDB,

，ZAPB=2ZADB

7.(1)解：如圖1.

；AB〃CD,AZ1=ZEGD.

又,；/2=2Nl,/.Z2=2ZEGD.

又,.?/FGE=60°,/.ZEGD=-(180°-60°)=40°,AZ1=40°

3

(2)解：如圖2.

￡B

o

re(2)

：AB〃CD,.*.ZAEG+ZCGE=180°,EPZAEF+ZFEG+ZEGF+ZFGC=180°.

又：ZFEG+ZEGF=90°,NAEF+NGFC=90。結(jié)論應(yīng)用

(3)600-a

8.(1)解：?.?計(jì)劃建一個(gè)離村莊M最近的燃?xì)夤芾碚荆?/p>

過(guò)點(diǎn)M作MP,直線I,

N

則MP為垂線段，

二點(diǎn)P為所求，

根據(jù)連結(jié)直線外一點(diǎn)M,與直線上個(gè)點(diǎn)的所有線中，垂線段最短，

故依據(jù)為：垂線段最短

(2)解：???燃?xì)夤芾碚镜奈恢玫酱迩fM、村莊N距離之和最小,

,連結(jié)MN,

???根據(jù)所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短，

，MQ+NQ=MN,

二點(diǎn)Q為所求.

故依據(jù)為：兩點(diǎn)之間，線段最短.

9.(1)55°

(2)證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB,

B

E冬1

G

D

圖2

?.?AB〃CD，AB〃CD〃EG,

.?.NA+N1=180°,NC+/2=180°,

ZA+Z1+Z2+ZC=36O°,

即ZBAE+ZAEC+ZECD=360°.

(3)解：①2NAFC+NAEC=360。，理由如下：

由(1)可得，NAFC=NBAF+NDCF,

：AF平分NBAE,CF平分NDCE,

；./BAE=2/BAF,/DCE=2/DCF,

ZBAE+ZDCE=2ZAFC,

由(2)可知，ZBAE+ZAEC+ZDCE=360°,

2ZAFC+ZAEC=360°.

人/360°-m

②NF=-----------.

0+1

10.(1)平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；Zl；Z2；NAEC=

ZBAE+ZDCE

(2)解：①過(guò)F作FG〃AB,

由(1)得：/AEC=NBAE+NDCE,

：AB〃CD,FG〃AB,

，CD〃FG,

...NBAF=NAFG,NDCF=NGFC,

二ZAFC=ZAFG+ZGFC=ZBAF+ZDCF,

：AF平分NBAE,CF平分NDCE,

ZBAF=-ZBAE,ZDCF=-ZDCE,

22

/AFC=NBAF+NDCF,

=-ZBAE+-ZDCE,

22

=-(ZBAE+ZDCE),

2

=-ZAEC,

2

1

=-x74°,

2

=37°；

②由①得：ZAEC=2ZAFC,

VZAEC+ZAFC=126°,

???2NAFC+NAFC=126。

???3NAFC=126。，

，NAFC=42。，ZAEC=84°,

VCG1AF,

AZCGF=90°,

???ZGCF=90-ZAFC=48°,

〈CE平分NDCG,

/.ZGCE=ZECD,

TCF平分NDCE,

.??ZDCE=2ZDCF=2ZECF,

AZGCF=3ZDCF,

.\ZDCF=16°,

???NDCE=32。，

AZBAE=ZAEC-ZDCE=52°.

11.(1)(2,2)；(-1,-2)

⑵(學(xué)，胃)

(3)解：,(-1,2),F(3,1),G(1,4),

35

...EF、FG、EG的中點(diǎn)分別為：（1,—）、（2,)、(0,3)

22

3x+1y+4=3

.?.①HG過(guò)EF中點(diǎn)(1,二)時(shí)，——=1

222―2

解得：x=1,y=-1,故H(1,-1)；

5—14-r2+y_5_

②EH過(guò)FG中點(diǎn)(2,-)時(shí)，-----=2,

222―2

解得：x=5,y=3,故H（5,3）；

③FH過(guò)EG的中點(diǎn)（0,3）時(shí)，*匕=0,匕上=3

22

解得：x=-3,y=5,故H(-3,5).

???點(diǎn)H的坐標(biāo)為：(1,-1),(5,3),(-3,5).

12.(1)24°

(2)解：結(jié)論：N2=N1+N3.

理由：如圖1中，作PMAB.

VABCD,ABPM,

APMCD,

AZ1=ZMPE,Z3=ZMPF,

?\Z2=Z1+Z3.

(3)解：如圖2中，

VZBEP+ZDFP=Z2=a,

EPF=NBEP+NDFP=L(ZBEP+ZDFP)=-a

22

13.(1)解：VCB//OA,

AZC+ZCOA=180°.

VZC=ZOAB,

AZOAB+ZCOA=180o,

???AB〃OC

(2)解：①NCOA=1800-NC=70。.

VZFOB=ZAOB,OE平分NCOF,

JZFOB+ZEOF=(ZAOF+ZCOF)=ZCOA=35°；

②NOBC：NOFC的值不發(fā)生變化.

VCB/7OA,

AZOBC=ZBOA,ZOFC=ZFOA.

VZFOB=ZAOB,

AZFOA=2ZBOA,

AZOFC=2ZOBC,

AZOBC：N0FG1：2.

14.(1)VCN,CM分別平分NBCE和NBCD,

ABCN=-ZBCE,ZBCM=-ZBCD,

22

VZBCE+ZBCD=180°,

，NMCN=NBCN+NBCM=-ZBCE+-NBCD=-(NBCE+NBCD)=90。；

222

(2)VCM1CN,???NMCN=90。，即NBCN+NBCM=90。，

Z.2ZBCN+2ZBCM=180°,

?「CN是NBCE的平分線，AZBCE=2ZBCN,

JZBCE+2ZBCM=180°,

又???NBCE+NBCD=180。，AZBCD=2ZBCM,

又「CM在NBCD的內(nèi)部，.'CM平分/BCD；

(3)如圖，ZBMC+ZBNC=180°,延長(zhǎng)AB至F,過(guò)N,M分另ij作NG〃AB,MH〃AB,則有

NG〃AB〃:MH〃CD,

.../BNG=NABN,NCNG=/ECN,NBMH=NFBM,NCMH=NDCM,

VBM±BN,CM1CN,AZMBN=ZMCN=90°,

：/ABN+/MBN+FBM=180°,ZECN+ZMCN+ZDCM=180°,

，ZABN+ZFBM+ZECN+ZDCM=180°,

/BMC+NBNC=ZBMH+ZCMH+ZBNG+/CNG=ZABN+ZFBM+ZECN+/DCM=

180°,

ZBMC+/BNC=180。不變.

15.(1)證明:VAM//BN

.?.ZA+ZABN=180°

,/ZA=60°

ZABN=1800-ZA=180°-60=120°

(2)解：如圖，

沒(méi)有變化。

：CB平分/ABP,BD平分/PBN

：.Zi=-ZABP.N2=-ZPBN

22

.,.ZCBD=Z1+Z2=-(ZABP+ZPBN)

2

=-xl20°=60°

2

(3)解:如圖,

".'AM//BN

；.NACB=NCBN

VZACB=ZABD

.,.ZCBN=ZABD

ZCBN-ZCBD=ZABD-ZCBD

即N1=N4

又：CB平分NABP,BD平分NPBN

：.Z\=Z2Z3=Z4

.".Zl=Z2=Z3=Z4=120°-4=30°

即/ABC=30°

16.(1)(-4,0)

(2)解：①；BC=6,CO=4

AD點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PB=t

PCM；

2)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，PD=4-(f-6)=10-/

P(WOT)；

②能確定

如圖，作P作PEHBC交于AB于E,則PEHAD

：.Zl=ZCBP=x。,Z2=ZDAP=y°

ZBPA=Z1+Z2=x°+y°=z°

z=x+y.

17.(1)解：VZBAC=90°,ZABC=60°,

/ACB=30°,

：NFAC=30。，

.,.ZFAC=ZACB,

AEF//GH；

(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AP//EF,

則NFCA+/CAP=180。，

.,.ZCAP=180°-ZFCA,

VEF//GH,

/.AP//GH,

.,.ZPAB+ZABH=180°,

.,.ZPAB=180°-ZABH,

ZBAC=ZCAP+ZPAB

=180°-ZFCA+180°-ZABH

=360°-ZFCA-ZABH,

即ZBAC+ZFCA+ZABH=360°

(3)解：不發(fā)生變化，

理由是：如圖3,過(guò)點(diǎn)A作AM//GH,

圖3

又；EF//GH,

AAM//EF//GH,

.,.ZFCA+ZCAM=180°,ZMAB+ZABH=180°,NCBH=/ECB,

又：ZCAM+ZMAB=ZBAC=90°,

.*.ZFCA+ZABH=270o,

又：BC平分NABH,CD平分NFCA,

/.ZFCD+ZCBH=135°,

又：NCBH=NECB,即NFCD+NECB=135。，

/.ZBCD=18O0-(ZFCD+ZECB)=45°.

18.(1)ABCD

(2)解：①如圖2中,

圖2

ABIICD,

:.ZAEG+AEGF=ISO°,

ZAEG^18Q0-ZEGF=180°-65°=115。.

；EH平分/FEG,

4HEF=/HEG.

ZAEM=ZFEM,

ZHEN=NFEM+ZHEF=-ZAEG=57.5°,

2

HN工EM,

:.ZHNE=90°,

a=NEHN=90°-ZHEN=32.5°.

②結(jié)論：a=g|3.

理由如下：

AB//CD,

ZAEG=180°-p,

ZAEM=ZFEM,NHEF=ZHEG,

ZHEN=ZMEF+ZHEF=1/AEG=90°—gP,

HNLEM,

:.ZHNE=90°,

a=ZEHN=900-ZHEN=.

19.(1)解：過(guò)P作PQ〃h〃12,

由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：N1=NQPE、N2=NQPF；

VZ3=ZQPE+ZQPF,

.*.Z3=Z1+Z2,

(2)解：可以反推直線L〃L.理由具體如下：

過(guò)點(diǎn)P作PQi平行h，如下圖(2)所示：

因?yàn)镻Qi平行h,所以Nl=NQiPE；又因?yàn)镹3=NQiPE+NQiPF,且N3=N1+N2,所以可得

/2=NQPF,則根據(jù)平行線的判定法則：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可知PQi平行12；又由于PQi平

行h,PQ1平行12,所以W/12.故反推成立.

(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ2〃h〃12,如下圖所示：

則：NI=/Q2PE、/2=/Q2PF；

VZ3=ZQ2PF-ZQ2PE,

AZ3=Z2-Z1.

當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ3〃h〃b,如下圖所示:

根據(jù)題意我們?cè)O(shè)N1=NPEA、N2=NPFB、Z3=ZEPF；則由圖可知:Z1=ZQ?PE.Z2=

NQ3PF；

VZ3=ZQ3PE-ZQ3PF,

AZ3=Z1-Z2.

3x+2y="+1①

20.(1)解:

2x+y=m-1(2)

①-(2)x2得：-x=-m+3,即x=m-3,

把x=m-3代入②得：2m-6+y=m-1,ERy=-m+5,

把x=m-3,y=-m+5代入x-y=2中，得：m-3+m-5=2,即m=5；

m-3>0

(2)解：由題意得:

-m+5..O

解得：3<m<5,

當(dāng)3<m<4時(shí)，

m-3>0,m-4<0,

則原式二m-3+4-m=l；

當(dāng)4<m<5

m-3>0,m-4>0,

則原式=01-3+m-4=2m-7；

(3)解：根據(jù)題意得：s=2m-6+3m-15+m=6m-21,

V3<m<5,

當(dāng)m=3時(shí)，s=-3；m=5時(shí)，s=9,

則s的最小值為-3,最大值為9.

21.(1)3兀+3

(2)=

(3)解：由題意可知，C點(diǎn)表示的數(shù)是兀+1,

M、N均為線段OC的圓周率點(diǎn)，不妨設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)近，且OM=x,

x+7tX=7l+1,解得X=1,

MN=7C+1-1-1=7C-1

(4)解：設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為x,

如圖3,若CD=7tOD,則兀+1-X=TIX，解得x=1；

0兀+1

11

0DC

圖3

如圖4,若ODFCD,則X=7l（兀+1-X）,解得X=7C；

0兀+1

1

0圖4DC

如圖5,若OC=7TCD,則兀+1=7C（X-7C-1）,解得X=7t+—+2;

71

0兀+1

?1

0CD

圖5

如圖6,若CD=7iOC,貝|JX?（n+l）=71（兀+1）,解得乂=兀2+2兀+1

0兀+1X

1_____A

圖6D

綜上，D點(diǎn)所表示的數(shù)是1、兀、兀+—+2、7T2+2K+1

兀

22.(1)解：ZACB=Z1+Z2,

理由：如圖，過(guò)C作CO〃PQ,

?；PQ//MN,

：.PQ//CD//MN,

：.Zl=ZACD,Z2=ZBCD,

：.ZACB=ZACD+ZBCD=N1+N2,

，ZACB=Zl+Z2；

（2）解：VZMEC=ZAEN,又NAEN=/A,

/.ZMEC=ZA=30°,

由（1）可知：NC=NPDC+NMEC,

又?.?NC=90。，

二NPDC=90°-30°=60°,

則/BDF=/PDC=60。；

（3）解：設(shè)NCEG=/CEM=x,則NGEN=180。-2x=2（90。一x）,

由（1）可得，ZC=ZCEM+ZCDP,

：.NCDP=90°—NCEM=9O°—x,

二ZBDF=90°-x,

，NGEN=2NBDF.

23.(1)證明：如圖1,過(guò)P作PKAB.

AEB

'：ABPK,

ZAEP+ZEPK=ISO°.

,/ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,

：.ZKPF+ZPFC=180°.

：.PKCD,

?：A