2022年甘肅省東鄉(xiāng)族自治縣高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱A6C=A用G中，。為8月的中點(diǎn)，尸在AG上，且。尸，A0,則下述結(jié)論：

①②AF=FG；③平面D4G，平面ACCA：④異面直線AC與CD所成角為60。其中正確命題的

2.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文

化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻

當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：

卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

—

坤0000

—

震0011

—

坎0102

—

兌0113

依此類推，貝！I六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“三”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）

A.18B.17C.16D.15

3.函數(shù)丁;5合二在［V6］的圖像大致為

4.已知不同直線/、，”與不同平面a、B,且/utz,mu0,則下列說法中正確的是（）

A.若?！?，則/〃而B.若a上月,貝

C.若I工0,則。D.若尸，則加_La

（3\

5.已知函數(shù)/（外=川一皿根〉0,且加工1）的圖象經(jīng)過第一、二四象限，則。=|/（五）|"=/48,cH/（O）|

\7

的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB?c<a<b

C.a<b<cD.h<a<c

.無；《2'?4),則AD8=()

6.已知集合A={xy=lg(2—x)},集合8=

A.{x|x>-2}B.{乂-2vxv2}C.1x|—2<x<21D.2}

1a

1-tan—

34

7.已知sina-2cosa=1,ae(兀,一),則

-,-------a()

21+tan—

2

11

A.一一B.-2C.-D.2

22

8.已知函數(shù)/(x)=lnx+l,g(x)=2e*W，若〃根)=g(〃)成立，則吁”的最小值是()

]_

A.-+ln2B.e-2C.In2—D.

222

X>1

9.已知實(shí)數(shù)%），滿足線性約束條件x+yNO，則2±1的取值范圍為（）

x

x-y+2>0

A.（-2,-1]B.（-1,4]C.[-2,4）D.[0,4]

10.根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析，設(shè)"=/町，v=（x-4）2,利用最小二乘法，得

到線性回歸方程為G=-0.5V+2,則變量y的最大值的估計(jì)值是（）

A.eB.e2C.IniD.2ln2

11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

問幾何日而長(zhǎng)倍？''意思是："今有蒲草第1天長(zhǎng)高3尺，蕪草第1天長(zhǎng)高1尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草

每天長(zhǎng)高前一天的2倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）

（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg380.4771,1g2Ho.3010）

A.2B.3C.4D.5

12.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，G為BE的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線所成角的余弦值

為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，已知B=2A,AC=6BC，則A的值是.

14.數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5,,，4=2總=（1一!1,出也=1082%,則數(shù)列金一的前〃項(xiàng)和7；=.

22

15.已知P為橢圓土+二=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（-2,l）,8（2,-1）,設(shè)直線AP和8P分別與直線x=4交于N

82

兩點(diǎn)，若AABP與AMNP的面積相等，則線段OP的長(zhǎng)為.

16.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家

實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為團(tuán)，中位數(shù)為%則機(jī)-〃=

000020......................

0.00015--------

000003-----------------------------丁

°200040006000800010000經(jīng)濟(jì)損失/元

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓：。：=+)7=1(。>匕>0)的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2而，原點(diǎn)到直線直+^=1的

abab

距離為我.

4

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知定點(diǎn)P(0,2),是否存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且以|48|為直徑的圓過橢圓C的左

頂點(diǎn)？若存在，求出/的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|-|x-2|.

(1)解不等式/(x)Wl；

(2)記函數(shù)/(X)的最大值為,，，若〃+&+c=s(a,b,c>0),證明：a2b2+b2c2+c2a2>3abc.

19.(12分)已知數(shù)列的通項(xiàng)%=2"T(〃GN*),數(shù)列出J為等比數(shù)列，且力，a?,。，1成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)；

(2)設(shè)%=Zvlog2a“+1,求數(shù)列｛c.｝的前〃項(xiàng)和S“.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+2].

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)W3的解集；

(2)3X0GR,f(x0)<3,求a的取值范圍.

21.(12分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概

率均為〃(0<〃<1),并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)(單位：min),

得到下面的頻數(shù)表：

亮燈時(shí)長(zhǎng)/min[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)1020402010

以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).

(1)試估計(jì)〃的值；

(2)設(shè)X表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.

①求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)；

X-E(X)..

②若隨機(jī)變量Z滿足Z=、D(X)-'則認(rèn)為Z?N(0,l).假設(shè)當(dāng)4900<XW5000時(shí)，燈光展處于最佳燈光亮度.

試由此估計(jì)，在一場(chǎng)燈光展中，處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)(結(jié)果保留為整數(shù)).

附：

①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率P等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商;

②若Z?N(0,l),則P(〃—cr<X<〃+b)=0.6827,尸(〃-2cr<X?〃+2cr)=0.9545,

P(〃一3<r<XV〃+3CF)=0.9973.

22.(10分)為響應(yīng)“堅(jiān)定文化自信，建設(shè)文化強(qiáng)國(guó)”，提升全民文化修養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生“讀經(jīng)典用經(jīng)典“，某廣播電視臺(tái)

計(jì)劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學(xué)校隨機(jī)抽取了120名學(xué)生做調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果

顯示：樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)

和不喜歡的比例是5:3.

(1)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系？

男生女生總計(jì)

喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)

不喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)

總計(jì)

(2)為做好文化建設(shè)引領(lǐng)，實(shí)驗(yàn)組把該校作為試點(diǎn)，和該校的學(xué)生進(jìn)行中國(guó)古典文學(xué)閱讀交流.實(shí)驗(yàn)人員已經(jīng)從所調(diào)

查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個(gè)代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國(guó)古

典文學(xué).現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會(huì)，記自為參加會(huì)議的人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),

求5的分布列及數(shù)學(xué)期望后偌)

n(ad-be)2

附表及公式：K2=〃=a+/?+c+d.

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2z/）0.050.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷F是AG的中點(diǎn)推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線4G與co所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2,對(duì)于①連結(jié)A4,貝!)明=4?=20,，乙468尸90。即46與回。|不垂直，又BC/IBg,

■■①不正確；

對(duì)于②，連結(jié)DC1,在AAQG中，AD=DC,=^5,而。f，AG,.?.尸是的中點(diǎn)，所以AE=FG，，②

正確；

對(duì)于③由②可知，在中，。尸=6，連結(jié)。尸，易知C尸=血，而在RtACBD中，CO=石，DF2+CF2=CD2,

即。ELCV,又。尸，AG，.?.￡>/_1面4。64，二平面OA￡_L平面ACG4，?1③正確；

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面A4G上過4點(diǎn)垂直于4G的直線為X軸，AG所在的直線為)'軸，4A所在的直線為z軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；

4(0,0,0),B,(73,1,0),G(0,2,0),A(0,0,2),C(0,2,2),

4^=(0,2,-2),CD=(V3,-l,-l)；

異面直線AG與co所成角為e,cos0=?]=0,故。=90°.④不正確.

故選：B.

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力

以及邏輯推理能力.

2.B

【解析】

由題意可知“屯”卦符號(hào)“三”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.

【詳解】

由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)“表示二進(jìn)制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1x20+1x24=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識(shí)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

3.B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)＞=/⑴=-2a—.,則/(-x)=2(-、)'=一_在二=一/⑺，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,

2X+2T2-v+2X2A+2~x

33

排除選項(xiàng)C.又/(4)=品2X會(huì)4＞0,排除選項(xiàng)D；八6)=29Xm6a7,排除選項(xiàng)A,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基

本計(jì)算能力的考查.

4.C

【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,若。〃力，則/,機(jī)可能為平行或異面直線，A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若?尸，則/，“可能為平行、相交或異面直線，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若1且/ua,由面面垂直的判定定理可知。J?尸，C正確；

對(duì)于。，若a_L4，只有當(dāng)，“垂直于必小的交線時(shí)才有a,。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.

5.C

【解析】

根據(jù)題意，得0<1,/(1)=0,則/(X)為減函數(shù)，從而得出函數(shù)|/(x)|的單調(diào)性，可比較。和而

c=|/(O)|=l—加，比較/(0),/(2),即可比較。，加c.

【詳解】

因?yàn)?(x)=,療—〃(機(jī)>0,且加中1)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

所以0(加<1,7(1)=0,

所以函數(shù)/(》)為減函數(shù)，函數(shù)l/(x)l在(F』)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

133

又因?yàn)?<0=2?<48=24<2'

所以

又C=1/(0)1=1—加，|/(2)1=/n2-m,

則I"⑵|-"(0)|=療_1<0,

即"(2)|<"(0)|,

所以a<Z?<c.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.

6.C

【解析】

求出集合的等價(jià)條件，利用交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：?.,A={xk<2},8={x|-24x〈2},

Ac8={x|-2Wx<2},

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

結(jié)合sit?e+cos2a=1求得sina,cos。的值，由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.

【詳解】

sina-2cosa=13乃34

由〈.22，以及一),解得sina=一-,cosa=一一.

sin-a+cos-a=1255

.a

sin—

1i2

aaa.a[ct.(2?aa

l-tan-cos—cos----sincos--sin-l-2cos-sin-

2.2,22122J=22

ia.aa.aa.aVa.a12a

1+tan—sin—cos—+sincos---------sin—cos—+sin—cos---sin--

2l+「2222A22)22

a

cos—

2

i+3

l-sina

5=-2.

cosa4

5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

8.A

【解析】

分析：設(shè)/(〃2)=g(")=，，貝”>0,把九〃用/表示，然后令4(/)=〃?一〃，由導(dǎo)數(shù)求得〃。)的最小值.

詳解：設(shè)/(〃?)=g(")=，，貝llf>0,m—e'}?〃=ln—i—=In—In2H—,

222

m-n=e'~'-ln/+ln2--,令h(t)=e'~'-ln/+In2--,

22

則〃(f)=e'T—1,3'a)=e'T+l>0,⑺是(0,+O上的增函數(shù)，

t

又"(1)=0,.?.當(dāng)rw(0,1)時(shí)，h\t)<Q,當(dāng)/e(l,+oo)時(shí),h\t)>0,

即力(。在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L”)上單調(diào)遞增，〃(D是極小值也是最小值，

〃(l)=g+ln2,'的最小值是|+ln2.

故選A.

點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求匕-。的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù),

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).

9.B

【解析】

作出可行域，包表示可行域內(nèi)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)Q(0,-1)連線斜率，觀察可行域可得最小值.

x

【詳解】

作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)，2里表示可行域內(nèi)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)Q(o,-1)連線斜率，A(l,3),

X

勺.==噂=4,過。與直線工+丁=0平行的直線斜率為一1,，-1<即244.

1-0

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題皿表示動(dòng)點(diǎn)口羽?。┡c定點(diǎn)

X

連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.

10.B

【解析】

將“=/町，v=（x-4）2代入線性回歸方程力=-0.592,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.

【詳解】

解：將“=/町，u=（x-4）2代入線性回歸方程力=-0.5葉2得：

\ny=-O.5（x-4）2+2,即y=/國(guó)…豚，

當(dāng)x=4時(shí)，-0.5（x—4y+2取到最大值2,

因?yàn)閥=e'在R上單調(diào)遞增，則y=/以1）*取到最大值^2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.

11.C

【解析】

31/

2"-1

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：2x-~解出即可得出.

2-1

【詳解】

由題意可得莞草與蒲草第"天的長(zhǎng)度分別為%=3x(g),bn=\x2"-'

I2ni2〃-1

據(jù)題意得：2x^—^=-—解得2〃=12,

1-12-1

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

12.C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，A三點(diǎn)重合，記作。，取DC中點(diǎn)H,連接EG,EH,GH,NEG”即

為EG與直線所成的角，表示出三角形EG”的三條邊長(zhǎng)，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中A廠三點(diǎn)重合，記作。：

則G為BD中點(diǎn)，取。。中點(diǎn)H,連接EG,EH,GH,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)均為明

由中位線定理可得G////BC且G〃=LBC=La,

22

所以ZEGH即為EG與直線8C所成的角,

EG2+GH2-EH2

由余弦定理可得cosNEG"

2EGGH

321232

-a+-aa

44~4_.V3

2x31~~6f

a--a

22

所以直線EG與直線BC所成角的余弦值為B,

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-

6

【解析】

根據(jù)正弦定理，由AC=J58c可得sin8=GsinA，由B=2A可得sinB=sin2A,將sinB=gsinA代入求解即

得.

【詳解】

AC=6BC，：.b=6a,即sinB=6sinA，

■：B=2A,sin2A=^3sinA>則2sinAcosA=6sinA,

vsinA^O,cosA=—?Ae(0,4)，則A=C.

26

故答案為：

o

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基礎(chǔ)題.

n

14.——

幾十1

【解析】

兩式作差，得乎=2,(〃22),經(jīng)過檢驗(yàn)得出數(shù)列｛a,,｝的通

項(xiàng)公式，進(jìn)而求得2,％的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求和即可.

【詳解】

解用,〃22時(shí)，%I=(1-擊卜”,

兩式作差,得4=11一，,"+I-11-J■]"，(〃22)

化簡(jiǎn)得爭(zhēng)=2,(〃之2),

檢驗(yàn)：當(dāng)n=l時(shí)，5=4=3乂々=2,々=4,￡=2，所以數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；。“=2",

z,

b?=log2??=log22=n,

1111

4c=-----=-；-----=-------

"么仇+i〃(〃+1)nn+\

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題過程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論，側(cè)重

考查運(yùn)算能力.

【解析】

先設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積相等得出兩個(gè)三角形的邊之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系又可用線段上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出

來，從而可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)，然后可得

【詳解】

如圖，設(shè)P(x0,%),—2\/2WX。W2\/2，七*±2,

由SMliP=SAMNP,得JpA||P@sinZAPB=||MP||^P|sin/MPN,

|PA|\PN\k0+2||4-x0|5

由sinZAP8=sinZMPN‘°得麗=網(wǎng),，后"0'解得/=相

227

又p在橢圓上，，工r+v&=1,y；=77，

8216

???|。P|=&+火=杼F^/107

H----=--------

164

故答案為：巫Z

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓相交問題，解題時(shí)由三角形面積相等得出線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，解題是由把線段長(zhǎng)的比例關(guān)系用點(diǎn)

的橫坐標(biāo)表示.

16.360

【解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積E=0.3,第二塊小矩形的面積S2=0.4,,面積和超過0.5,所以中位數(shù)在第二塊求解，

然后再求得平均數(shù)作差即可.

【詳解】

第一塊小矩形的面積5,=0.3,第二塊小矩形的面積S2=0.4,

故〃=2000+05-0.3=3000；

0.0002

而m=1000x0.3+3000x0.4+5000x0.18+(7000+9000)x0.06=3360,

故m—n=360.

故答案為：360.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)—+^-=1；(2)存在，且方程為y=N5x+2或y=^x+2.

53

【解析】

（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到

（3+5公卜2+20依+5=0,要使以用為直徑的圓過橢圓C的左頂點(diǎn)“-石,0）,則力4.麗=0,結(jié)合韋達(dá)定理

可得到參數(shù)值.

【詳解】

（1）直線二+==1的一般方程為云+—一必=0.

ab

lab=2>/15

abV3053a=也X2y2

依題意-7,，--~—，解得L，故橢圓C的方程式為2+匕=1.

正+及4b=yJ353

a2^b2+c2

（2）假若存在這樣的直線/,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓。的左頂點(diǎn),

所以可設(shè)直線/的斜率為左，則直線/的方程為丁=履+2.

廠"產(chǎn)，得。+5公）f+2（）.+5=0.

由，

3x+5/=15'7

由△=400女2_20（3+5左2）>0,得后G，+8.

7

記A,3的坐標(biāo)分別為（七,y）,（々，必），

20Z5

則內(nèi)+xZ-9X,Xj

23+5攵2123+5公

而=（依仇

+2）（+2）—icXyX^+2Z（X]+X2）+4.

要使以I為直徑的圓過橢圓C的左頂點(diǎn)D（-V5,0）,則方.詼=0,

即,%+（玉+石）[2+6）=（及2+（2%+6）（X]+工2）+9=0,

所以（心1）1-（2八6）高+9=0,

整理解得々=拽或%=殳叵，

55

所以存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓C的左頂點(diǎn)，直線/的方程為

2后…86c

y=$-%+2或y=—^―x+2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次

的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解

決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式

的作用.

18.(1)(-co,l]；(2)證明見解析

【解析】

—3,x4—1

(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得/(x)=,2x-l,-1<冗<2,進(jìn)而分類討論求解不等式即可；

3,x>2

(2)先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到/(x)的最大值為3,再利用均值定理證明即可.

【詳解】

(1)V/(%)=|x+l|-|%-2|

—3,x<—1

/(x)=<2x-l,-1<x<2

3,x>2

①當(dāng)x<—l時(shí)，一341恒成立，

*'-x<-1；

②當(dāng)-lvxv2時(shí)，2x—1<1,即

??—1<X1；

③當(dāng)x22時(shí)，3K1顯然不成立，不合題意;

綜上所述，不等式的解集為

(2)由(1)知/(尤)max=3=$,

于是a+Z?+c=3

由基本不等式可得a2b2+b2c2>2腳/=2ab2c(當(dāng)且僅當(dāng)?=C時(shí)取等號(hào))

b2c2+c2a2>2^bY^2abc2(當(dāng)且僅當(dāng)》=a時(shí)取等號(hào))

c2a2+a2b2>2y[aW^2a2bc(當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào))

上述三式相加可得

2(//+02c2+c2a2)>2abe(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))

a+b+c=3,

a2b2+b2c2+c2a2>3abc，故得證.

【點(diǎn)睛】

本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決

帶絕對(duì)值不等式的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.(1)ft?=—(neN*)；(2)=-x[(?-1)-2,,+|+2](HeN*).

33

【解析】

(1)根據(jù)"，?！埃?M成等差數(shù)列以及｛"｝為等比數(shù)列，通過直接對(duì)〃進(jìn)行賦值計(jì)算出｛〃｝的首項(xiàng)和公比，即可求

解出仍“｝的通項(xiàng)公式；

(2)｛g｝的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式，采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

【詳解】

(1)???數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且%4,%成等差數(shù)列.

■-bn+b?+i=2an=2"

設(shè)數(shù)列也｝的公比為心

立+"=2]4(1+4)=2

??I...9,*IJ(\\A9解得(3

也+4=4也q(l+q)=4

.\b=-x2n-l=—(nEN^

"33')

t

(2)vc?=/??-log2o?+1=-xn(n&N)

：.S?=2xlx2i+1x2x22+1x3x23+...+L(〃-Dx2"T+k〃x2”,

"3333V73

2S=-xlx22+-x2x23+-x3x24+---+-x(n-l)x2,,+-xnx2,,+,,

"3333')3

,-.-S=1x1x2'+-xlx22+-xlx23+---+-xlx2,,''+-xlx2,,--xnx2n+'

“333333

2x(1—2")

=-X--xnx2"+

3

【點(diǎn)睛】

本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用，難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法，可根據(jù)數(shù)列的

通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.

20.(1){x|-2<x<l}；(2)[-5,1],

【解析】

(1)當(dāng)a=l時(shí)，(x)=|x-1|+|x+2|,

①當(dāng)xW—2時(shí)，f(x)=-2x-\,

令/(x)W3,即一2x—lW3,解得x=-2,

②當(dāng)-2<x<l時(shí)，/(尤)=3,顯然/(x)W3成立，所以—2<x<l,

③當(dāng)時(shí)，f(x)=2x+\,

令/(x)<3,即2x+lW3,解得x=l,

綜上所述，不等式的解集為卜卜2。41}.

(2)