2022年廣西南寧二中高考數(shù)學(xué)診斷試卷（文科）（5月份）（附答案詳解）

2022年廣西南寧二中高考數(shù)學(xué)診斷試卷（文科）（5月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知全集〃={-101,2,3,4},集合4=8={1,2},則Cu（4uB）=（）

A.{4}B.{0}C.{0,4}D.

2.歐拉公式ei"=cosx+is譏x（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將

指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)

論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，節(jié)表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面

內(nèi)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.四川省現(xiàn)在的高考模式仍要分文理科，某中學(xué)在統(tǒng)計(jì)高一學(xué)生文理科選擇意愿時(shí)，

抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如圖兩個(gè)等高條形圖：

根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列結(jié)論中正確的是（）

A.樣本中的女生數(shù)量少于男生數(shù)量

B.樣本中有文科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有理科意愿的學(xué)生數(shù)量

C.樣本中的男生偏愛(ài)理科

D.樣本中的女生偏愛(ài)文科

4.2021年12月1日，國(guó)家發(fā)展改革委印發(fā)竹蘇浙城市結(jié)對(duì)合作幫扶皖北城市實(shí)施方

案》，滬蘇浙城市（城區(qū)）將與我省部分地市開(kāi)展“一對(duì)一”結(jié)對(duì)合作幫扶.現(xiàn)有上

海市4B,C三個(gè)區(qū)，若分別隨機(jī)結(jié)對(duì)幫扶皖北。，E,F三座城市，則力區(qū)恰好幫

扶。市的概率是（）

5.在等比數(shù)列｛an+1｝中，a2=8,a3=26,則Q5=()

A.80B.242C.彳D.244

o

6.是“方程工+>=1表示橢圓”的（）

m-15-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知sin(。一$=cos(0+9，則cos28=()

A.史B.-1C.；D.0

22

8.如圖所示，圓柱的軸截面是正方形48CD,母線BC=

4,若點(diǎn)E是母線BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是卷的中點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.EF//AC

B.點(diǎn)尸到平面ABCD的距離為2

C.BF1AC

D.BF與平面4BCD所成的角的大小為W

C.y=/（x）5（x）D.丫幸

10.甲、乙兩人解關(guān)于x的方程2,+b-2-x+c=0,甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b,得到的根為x=-2

或％乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為％=0或x=1,則原方程的根是（）

A.%=-2或％=log23B.%=-1或%=1

C.%=0或%=2D.%=-1或%=2

11.已知雙曲線C：捺一\=19>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為4M為C的一條

漸近線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FM交y軸于點(diǎn)M直線4M經(jīng)過(guò)ON（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)/,

且|0N|=2|BM|,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.V5C.~D.2>/3

第2頁(yè)，共18頁(yè)

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)曲線C：y=m》(0VxV1)上一點(diǎn)P作。的切線，交》軸于點(diǎn)

A,則△40P面積取最大值時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為()

A.B.C.-包D.-e

222

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量方=(2,1),3=(3,4)，若(23一3)13，則2=.

rx+2y4-1<0

14.已知實(shí)數(shù)％,y滿足不等式組2%—y+2N0,則％的最小值為_(kāi)___.

(%—2y—2<0

15.已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝前幾項(xiàng)和為Sn,若。3++。13=9,貝!IS*=

16.關(guān)于函數(shù)/(%)=(cosx—|sin%|)?(cosx+sinx)的下列四個(gè)結(jié)論中：

①/(x)關(guān)于點(diǎn)4,0)對(duì)稱；

②/(x)在區(qū)間[一手，—國(guó)內(nèi)單調(diào)遞增；

③若f(%i)+/(x2)=-2,則+x2=n+2kn(k6Z)；

④/(x)的對(duì)稱軸是x=]+kn(kGZ).

則所有正確結(jié)論的編號(hào)是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知△47c中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊,S.2asinA=(2b+c)sinB+(2c+

b)sinC.

(1)求角4的大??；

(2)設(shè)點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，2D是AABC的角平分線，且4。=2,b=3,求△ABC的面

積.

18.某高科技公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x(單位：百萬(wàn)元)與其年銷售量y(單位：千件)

的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表1和散點(diǎn)圖.

表1

X12345

y0.511.535.5

(1)求年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程；

(2)該公司科研團(tuán)隊(duì)通過(guò)進(jìn)一步分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)算得年銷售量y關(guān)于年投資

額X的非線性回歸方程j_eO-59xT27,根據(jù)e°69yl.8,。0.3及表2數(shù)據(jù)，請(qǐng)

用殘差平方和Q=2匕(%—%)2比較(1)和(2)中回歸方程的擬合效果哪個(gè)更好?

表2

n2345

1.871的近似值3.25.810.518.9

參考公式:L_工鼠(XLX)(%-y)_l^Xtyi-nxy~---

"一斃式所吞一漂后'a=y-bx-

19.如圖,在三棱柱4'B'C'-4BC中，側(cè)棱44'，底面ABC,

AB=AC,BC=曲尺,D、E分別是8C,BB'的中點(diǎn).

(I)證明：DC'1平面力DE；

(n)試探究三棱錐C—4C'E的體積與三棱錐C'一ADE^J

體積之比是否為定值，若是定值，再進(jìn)一步求出此定值;

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(l,0)的距離與它到定直線％=-1的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)

P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)已知點(diǎn)B(2,2&),過(guò)點(diǎn)B引圓M：(x-4)2+y2=r2(0<r<2)的兩條切線BP,

BQ,切線BP、BQ與曲線C的另一交點(diǎn)分別為P、Q,線段PQ中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)記為九

求4的取值范圍.

21.已知函數(shù)f(%)=Inx---ax(a6/?).

(1)若x/(x)+ax+1W0恒成立，求a；

(2)若f(%)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為%1，%2(%1<%2)，證明：工1%2>2/?

卜=￡+：

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為43「18上為參數(shù))，曲線。與直線

(V=一/---

V5St

%=3相交于時(shí)，N兩點(diǎn).

(1)求^OMN的面積；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求aOMN外接圓的

極坐標(biāo)方程.

第4頁(yè)，共18頁(yè)

已知函數(shù)f(%)=\x-m\.

(1)當(dāng)m=2時(shí),解不等式/(x)-|x-l|>3；

(2)若函數(shù)f(x)=1有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：???集合4=B=[1,2},

二AUB={-1,1,2,3},

又???全集U={—1,0,123,4},

???Cu(4UB)={0,4},

故選：C.

先利用并集的運(yùn)算求出AUB,再利用補(bǔ)集的運(yùn)算求解.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?cos]+isin],所以=嬴4荷潦=1一'?

所以該復(fù)數(shù)在平面第四象限.所以。選項(xiàng)正確.

故選：D.

直接通過(guò)定義可求出=COS2+is譏巴直接代入即可求解.

22

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

3.【答案】C

【解析】解：由等高條形圖得：

對(duì)于4,樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,樣本中有文科意愿的學(xué)生數(shù)量小于有理科意愿的學(xué)生數(shù)量，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,樣本中的男生偏愛(ài)理科，故C正確；

對(duì)于。，樣本中的女生偏愛(ài)理科，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

利用等高條形圖的性質(zhì)直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查等高條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

第6頁(yè)，共18頁(yè)

【解析】解：上海市4B,C三個(gè)區(qū)，分別隨機(jī)結(jié)對(duì)幫扶皖北D,E,F三座城市，其總

的方法共有心種，其中4區(qū)恰好幫扶。市的方法共有掰種.

二A區(qū)恰好幫扶。市的概率=暮=；,

故選：B.

利用排列的意義分別得出：上海市A,B,C三個(gè)區(qū)，分別隨機(jī)結(jié)對(duì)幫扶皖北D,E,F三

座城市的方法，A區(qū)恰好幫扶。市的方法，利用古典概率計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

本題考查了古典概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛斯+1｝的公比為q，

.a+l26+1

則miq=—3—=—=o3,

八J"a2+l8+1

所以as+1=(a3+1時(shí)=27x9=243,

所以=243-1=242.

故選:B.

設(shè)等比數(shù)列｛an+1｝的公比為q,則q=署,進(jìn)一步根據(jù)+1=（。3+1）才即可求解.

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、不等式解法、充分、必要、充要條件的判斷，考查了推理

能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

熟悉方程表示橢圓的條件即可列出不等式組，得到m的范圍.

【解答】

22

解：，方程急+臺(tái)=1表示橢圓，

771-1>0

5-m>0,解得1<血<5,且？nH3.

m—15—m

22

?."1<m<5”是“方程上一=1表示橢圓”的必要不充分條件.

771-15-771

故答案選：B.

7.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閟in(。一》=cos(0+》，

所以在sind--cosd=-cosO-—sin。，即sin。=cosO，

2222

則cos2。=cos20-sin20=0.

故選：D.

由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式以及二倍角公式即可求解.

本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式以及二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的

應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)。是4B的中點(diǎn)，連接OE,OF,

在正方形/BCD中，BC=4,可得。8=2,

在AABC中，可得。E〃力C,貝帕尸與4c不平行，故A錯(cuò)誤；

：尸是卷的中點(diǎn)，???。尸1平面4BCD,.??點(diǎn)F至U平面？1BCD的距離

為2,故8正確；

假設(shè)BF14C,「BFIBC,ACQBC=C,

???BF1平面ABC,BFLAB,

與BF與28不垂直矛盾，.?.BF與AC不垂直，故C錯(cuò)誤；

N4BF是BF與平面4BCD所成角,

vOFLOB,OF=OB,=3故O錯(cuò)誤.

故選:B.

證明OE〃/1C,判斷4證明OFJ?平面4BCD,判斷B；由BF與4B不垂直，判斷C；證明

N4B尸是BF與平面4BCD所成角，判斷D.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?'(X)是非零常數(shù)函數(shù)的奇函數(shù)，g(x)為非零常數(shù)函數(shù)的偶函數(shù)，故

f(x)+g(x)-1，/(x)-g(久)+1是非奇非偶函數(shù)，故排除A,B；

分別?。?［片，由c得/(?)=4，g?)=3+1，啰)=L。6)=9+1，

第8頁(yè)，共18頁(yè)

易知唆>里，故不滿足圖象c的單調(diào)性性質(zhì)，。滿足.

4422叱)5(j)

故選：D.

結(jié)合函數(shù)的定義域、奇偶性判斷即可.

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)圖問(wèn)題，抓住函數(shù)的性質(zhì)、特殊值法求解，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：令t=2H則方程2、+八2一+。=0可化為t2+ct+b=0,甲寫(xiě)錯(cuò)了常

數(shù)b,

所以;和?是方程t2+ct+m=0的兩根，所以c=一(=+9=*，

乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c,所以1和2是方程t2+nt+b=0的兩根，所以b=1x2=2,

則可得方程t2—》+2=0,解得t]=|,t2=4,

所以原方程的根是x=—1或x=2.

故選：D.

令t=2,則方程2、+62-，+。=0可化為t2+ct+b=0,根據(jù)甲計(jì)算出常數(shù)c,根

據(jù)乙計(jì)算出常數(shù)b,再將b,c代入關(guān)于x的方程2x+b-2r+c=0解出x即可.

本題考查了韋達(dá)定理及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】解：記M為雙曲線C：搐一5=19>03>0)的漸近線雙一。'=0上的點(diǎn),

因?yàn)閨ON|=且|OB|=|BN|,所以4BOM=4BM。，4BMN=ABNM.

所以NF10M.因?yàn)橛医裹c(diǎn)F(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離|MF|=赤寒=b,

所以|0M|=\0A\=a.所以NBM。=/.BAO,所以NBOM=/.BAO,

所以Rt4AOB全等于RtAOMN,所以N4B0=40NM,

又因?yàn)閆MNB=乙NMB,乙48。=4NBM.

所以AMNB為等邊三角形，所以NFNO=60。，所以NMFO=30。，

即3=￡加60°=遮，所以e=Jl+)=2.

故選：A.

由中點(diǎn)8,且|ON|=2|BM|得NF1OM,由點(diǎn)到直線距離公式得|FM|=從從而得|OM|=

\OA\=a,通過(guò)三角形全等證得△MNB為等邊三角形，然后得?從而計(jì)算出離心率.

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識(shí)，屬于中等題.

12.【答案】C

【解析】解：由y=hix,得y'=：，設(shè)切點(diǎn)為

則過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-)t=-t),取y=0,得x=t-tint,

則SMOP=j(t-tint)■(-Int)=tint+gt(/nt)2,0<t<1,

令9(t)=一》加t+3(①。2，0<t<1,

則g'(t)=-i(Znt)2+lnt=^(/nt)2+|Znt-3

令u=/nt(u<0),則/iQ)=g'(t)=|u2+|u-p

由九Q)=0,得比=亨>0(舍去)，或u=*|=i,

h(u)>0在(一8,彎二)上恒成立，h(u)<0在(當(dāng)二,0)上恒成立，

又“=，nt為定義域內(nèi)的增函數(shù)，.?.△40P面積取最大值時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3.

2

故選：C.

由y=lnx,得y'=3設(shè)切點(diǎn)為。仇t),得到過(guò)切點(diǎn)的切線方程，求出4點(diǎn)橫坐標(biāo)，寫(xiě)

出三角形40P的面積，令g(t)=-］仇t+：tgit)2,0<t<l,利用導(dǎo)數(shù)求最值，即

可得到△40P面積取最大值時(shí)的P的縱坐標(biāo).

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查運(yùn)算

求解能力，是中檔題.

第10頁(yè)，共18頁(yè)

13.【答案】|

【解析】解：?.響量方=(2,1),b=(3,4)，(Aa-b)1K，

(入五-b)?b=入五?b—b=10A-25=0，

則4=I,

故答案為：I.

由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算

法則，計(jì)算求得;I值.

本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算

法則，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-2

%+2y+1<0

【解析】解：畫(huà)出不等式組2%-y+2N0表

—2y—2<0

示的平面區(qū)域，如圖所示：

設(shè)目標(biāo)函數(shù)為Z=x,

平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，Z取得最

小值，

由隹K髭益得心3),

所以Z的最小值為Zmin=-2,即X的最小值為一2.

故答案為：-2.

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=x,平移目標(biāo)函數(shù)找出最優(yōu)解，從而

求出X的最小值.

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】51

【解析】解：數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)和為S”，若&3+an+a13=9,

dg-6d++2d+的+4d=9,

:.3a9=9,

CLg=3,

???S0—17a9=51.

故答案為：51.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式即可求出.

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】②③

【解析】解：因?yàn)?⑺=1,/(一,=1，

所以/Xx)不關(guān)于點(diǎn)C，。)對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)xE[2kn,2kn+n\(kGZ)時(shí)，

f(x)=(cosx—sinx)■(cosx+sinx)=cos2x,

當(dāng)xe\2kn+n,2kn+2n](kGZ)時(shí)，

=(cosx+sinx)?(cosx+sinx)=1+sin2x,

作出的圖像如圖所示，

由圖像可知/(x)在區(qū)間[一三，-捫內(nèi)單調(diào)遞增，故②正確；

因?yàn)?(/)+/(&)=—2,

所以/(%1)=—1，/。2)=-1，%1=1+2自兀，k]€Z,X2=1+2的兀，k26Z,

所以+必=TT+2kTT(k€Z),故③正確；

由圖像可知/Q)的圖像不關(guān)于x=-5對(duì)稱，故④錯(cuò)誤.

故答案為：@(3).

取特殊值判斷①，化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，作函數(shù)圖像判斷②，③，④.

本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，難點(diǎn)在于作出/(X)的圖象，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)在4ABC中，由正弦定理及2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得:

a2—b2—be=c2,

由余弦定理得cosA=〃-a__i

2bc2

又0<4<兀，所以a=g.

第12頁(yè)，共18頁(yè)

(2)4。是AABC的角平分線，^BAD=ADAC=p

由SUBC=SAABD+SASD可得法sin年=[cxADxsin^+^bxADxsin以

因?yàn)閎=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

故SAABC=|bcsinA=1x3x6Xy=等.

【解析】(1)由已知，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a?=廿+?2+兒，由余弦定理可

求cosA=-i,由4G(O,TT),可得4的值.

(2)4。是4ABC的角平分線，4B4D=Z.DAC=進(jìn)而由SAMC=S^ABD+SASD可求b，

可求面積.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考

查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】⑴由題意工="2+；+4+5=3,y=。5+1+；5+3+5.5=⑶

h.-1X0.5+2X1+3X1.5+4X3+5X5.5-5X3X23—]./,

—12+22+32+42+52-5X32-'

a=2.3—1.2x3=-1.3，

所以線性回歸方程為;=1.2x-l.3：

(2)按y=1.2x-1.3可得：

Rl=l-。噌-。；)丫。滬:悶+產(chǎn)?0,8834

10.52+12+1.52+32+5.52-5X2.32

按y=6。69尸1.27可得：

R2=]_(-0.04)2+0.042+(-0.24)2+(-0.15)2+(-0.17)2

2?0.52+12+1.52+32+5.52-5X2.32?’‘

顯然放＞好，第二種非線性回歸方程擬合效果更好.

【解析】(1)求出3亍，根據(jù)公式計(jì)算出人，.得線性回歸方程；

(2)根據(jù)回歸方程分別求得%,然后計(jì)算R2比較可得.

本題主要考查線性回歸方程的計(jì)算，回歸方程的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題.

19.【答案】(/)證明：在三棱柱ABC—4BC中，AA=CC=BB,

“一CC_CC_2CC_nz

所以而一IcB-V2CC-7'

2

所以*=起=繆=魚(yú)，

BE±BBBB

2

所以△CCCSADBE,所以4CCD=ND8E,

因?yàn)椤癈D+NCDC=90。，ABDE+ACDC'=90°,

所以NCDE=90。即：CD1DE,

所以AB=4c且。為BC的中點(diǎn)，

所以4。1CB,

又已知得在直三棱柱4B'C-4BC中，平面BB'CC，平面ABC,且交于BC,

所以4。平面BBCC,所以4。1DC.

又因?yàn)镈E_LDC=D,所以DCJ■平面ADE.

解：(〃)結(jié)論：三棱錐C-ACE的體積與三棱錐C—4DE的體積比是定值.

設(shè)44'=a,則8C=應(yīng)a,

因?yàn)?。、E分別是BC,B8'的中點(diǎn)，

所以CD=-BC=—a,BE=-BB'=-a,

2222

所以。C=、CC，2+CD2=Ja2+(\a)2=Ra，

DE=y/BD2+BE2=J(ya)2+(ia)2=Ja，

由等體積法可知：^C-ACfE=^A-CCrE9

^Cf-ADE~^Ci-DCE^

?C-4C，E_匕4-CC，E_平面BBUC.CC/XC/B

V

O-ADEVA-DOE扣4一平面BBC，C.”"DE

_CCfxCB

DCfXDE

a-\f2a

4

=-

3,

【解析】(/)由已知可得益=累，則△CCDQDBE,所以有“CD=4DBE,結(jié)合已知

可得CD1DE,AD_L平面BBCC,貝何。1DC,再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，

(〃)設(shè)出各邊長(zhǎng)，再利用等體積法即LC-ACE=^A-CC'E'^C'-ADE~^C'-DCE,可求得結(jié)論.

本題考查棱錐的體積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)P(x,y),

根據(jù)題意可得—1)2+y2=|x+1|,

化簡(jiǎn)得(X-l)2+y2=(x+l)2,

第14頁(yè)，共18頁(yè)

所以y2-4x,

所以曲線C的方程為y24x.

(2)由已知8(2,2夜)，所以切線BP,BQ的斜率存在，

設(shè)切線BP的方程為ykix-2+2\/2,

,12kl+2回

則圓心M(4,0)到切線4P的距離d=,的=「，

所以(4-好+8?七+8-r2=0.

設(shè)切線BQ的方程為y=k2(x-2)+2e，

22

同理可得(4-r)kj+8A/2/C2+8-r=0.

所以七心是方程(4—r2)/c2+Sy/2k+8—r2=0的兩根,

所以七+九2=普，七七=皆

設(shè)POlM，＜?(*2而，

聯(lián)立一2)+2佟得的y2_4y_8的+8&=0,

所以2或%=型修，

所以丫1=-2&+京，

K1

同理乃=_2&+2，

K2

所以4=生3=-2后/+（-2遮）+1

22

=2&+2Q+J

=2&+2?然

"水2

8叵

=-2魚(yú)+2參

4-r2

=一2五-空,

8-r2

因?yàn)?。電所?＜占＜4

所以—6/<—2y/2—<—4立.

8-rz

所以4的取值范圍為(-6立,-4&).

【解析】(1)根據(jù)曲線軌跡方程的定義求解;

(2)設(shè)切線BP的方程為y=kKx-2)+2V2.切線BQ的方程為y=fc2(x-2)4-2迎，所

以刈+公=普，上也=￡'再求出”牛=-2企-第即得解.

本題主要考查軌跡方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識(shí),

屬于中等題.

21.【答案】解：(1)定義域?yàn)?0,+8),%/(%)+ax+1工0得a/一一%仇工之o,即

ax—a—Inx>0,設(shè)g(%)=ax—a—Inx,

因?yàn)椤?1)=0，>0,故“(1)=0,而g'(%)=Q—：，g'(l)=a-l,得Q=1,

若a=1,則g'。)=1一%

當(dāng)Ovxvl時(shí)，g((x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以％=1是g(%)的極小值點(diǎn)，故g(%)>g(l)=0.

綜上，a=1.

lnx1_三=a/

X；,兩式相加得mX/2-十L=aQi-犯),

仇-7=ax212

(x2

兩式相減得1咤一失干=a(x2一%)，即上吐+」一=°,

Xi*1必X2-X1xrx2

所以"3詈=+±)(%1+不)’

x2^xlxlx2

即比》62-2*曾=尹爭(zhēng)吟，顯然0cxi<%2,記t=

令F(t)=1nt-乎則/?)=窗壬>0，

所以f(t)=/nt-手乎在(1,+8)上單調(diào)遞增，則尸(t)>F(l)=0,

所以,3筆2,則咋〉筆”即腎琮>2,

所以配%1%2-2X山=5巾包>2,

Xrx2X2-Xr

—X

所以m工1%22X——<仇工1%2-—--=2lnylxrx2—/4,

「4

所以2"后為--7==>2,即皿〃1%2->1，

Vxlx2

令G(x)=，n%-j則x>0時(shí)，^(%)=i+^>0,

所以G(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又言>2企>e，故號(hào)>等，

所以G(夜e)=In(魚(yú)e)一卷=1/n2+l-y<1,

所以G(后拓)=In扃蒞一/丁>1>G(應(yīng)e),則后石'>V^e,即勺不>2e?.

【解析】(1)由已知不等式恒成立整理得ax