百校聯(lián)盟高三TOP八月尖子生聯(lián)考（全國I卷）數(shù)學（文）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精百校聯(lián)盟2020屆TOP300八月尖子生聯(lián)考（全國I卷）文科數(shù)學第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1。已知集合，，則（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】分別求解集合再求交集即可.【詳解】因為,，所以.故選:D【點睛】本題主要考查了指數(shù)與二次方程的求解以及并集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2。已知，，若點滿足，則點坐標為（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】分析】先設(shè)，由得,再由坐標求解.【詳解】設(shè)，由得,即，所以，解得，所以點坐標為.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題。3.已知命題：對，，則為（)A.,使得B.，使得C.,使得D.，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題判定即可.【詳解】“對,”的否定為“，使得"。故選：C【點睛】本題主要考查了全稱命題的否定為特稱命題,屬于基礎(chǔ)題。4。已知點是角終邊上一點，則()A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點是角終邊上一點，利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】由點是角終邊上一點,可得.故選：D【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義和誘導公式，屬于基礎(chǔ)題。5.曲線在處的切線過原點，則的方程為(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】先求導利用導函數(shù)的幾何意義求解切線斜率，根據(jù)切線斜率等于切點到原點的斜率列式求解即可.【詳解】由得，由曲線在處的切線過原點,得切線斜率，所以,,所以切線的方程為,即。故選：C.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.6.直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為，若在上是增函數(shù)，則的取值范圍是(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為一個周期,得到，則，然后求得其單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)在上是增函數(shù)，由是增區(qū)間的子集求解.【詳解】因為直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為一個周期，所以，，由，得，所以在上是增函數(shù)，由,解得.故選：B【點睛】本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題7.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱 B.C. D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)滿足的解析式判斷A。再根據(jù)奇偶函數(shù)分別代換分析BCD即可.【詳解】由得的圖象關(guān)于點對稱，選項A正確；用代換中的,得，所以選項B正確；用代換中的,得，選項C錯誤；用代換中的,得,選項D正確。故選：C【點睛】本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的運用，同時也考查了知識點：若函數(shù)關(guān)于點對稱，則.屬于中檔題.8。我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中,角所對的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式,若,且，則的面積為（）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得,再由余弦定理得，又，代入公式求解?！驹斀狻坑傻?即,即，因為,所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9。已知單位向量，滿足，若，共線,則的最小值為（)A. B。1 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算,數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】設(shè)，,，由單位向量,滿足,得，，由，共線,得，共線,所以點在直線上，所以當時取得最小值.故選:D【點睛】本題主要考查了向量的線性運算以及數(shù)形結(jié)合求解向量中最值的問題，屬于基礎(chǔ)題。10。已知，，滿足，則下列關(guān)系正確的是(）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù),，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，比較的大小.詳解】由,，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上是減函數(shù)，所以,解得。所以故選：B【點睛】本題主要考查對數(shù)，指數(shù)比較大小，還考查了構(gòu)造函數(shù)用導數(shù)法研究單調(diào)性問題,屬于中檔題。11。已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得，且在上有最小值,沒有最大值，則在上的零點個數(shù)最少為(）A。1344 B.1345 C。1346 D。1347【答案】B【解析】【分析】由題與在上有最小值，沒有最大值，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可知當時在上的零點個數(shù)再計算即可?！驹斀狻坑?且在上有最小值,沒有最大值,不妨令,，兩式相減得,所以的最小正周期,,當時，即時，在上的零點個數(shù)最少為.故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,需要數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解對應(yīng)的周期與相位等。屬于中檔題.12。設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，若的最小值為,則（）A。 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】求導得,根據(jù)零點存在定理可知存在，使得,繼而可知,在利用極值點滿足的關(guān)系式代換分析可得即可求得。【詳解】由得，在上為增函數(shù),且，.所以存在，使得，所以，易得在上是減函數(shù),上是增函數(shù)，所以.設(shè)，則在上是減函數(shù),且，.所以，。故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)新定義與求導分析函數(shù)的最值以及隱零點的問題，同時也考查了零點存在性定理的運用。屬于中檔題.第Ⅱ卷二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)13。若，且，則__________．【答案】或6【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域，分，，兩種情況討論求解?！驹斀狻咳?，由，得，所以（舍去）或，若,由，得。故答案為：或6【點睛】本題主要考查分段函數(shù)求函數(shù)值，還考查了分類討論的思想和運算求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.__________。【答案】2【解析】【分析】利用正切的差角公式可知,再代入計算即可。詳解】由可得，故。故答案為:2【點睛】本題主要考查了正切函數(shù)的差角公式運用，屬于中檔題。15。如圖所示的平面直角坐標系中，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，若向量,，滿足，且,則_________。【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用平面向量的坐標表示分別計算即可.【詳解】結(jié)合圖形得，,,由得，解得，，，由得，即，所以，所以。故答案為：【點睛】本題主要考查了平面向量的坐標線性運算，屬于基礎(chǔ)題.16。在中，角所對的邊分別為,若，且，則面積的最大值為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù),利用正弦定理得，再利用兩角和的正弦，有，再根據(jù)，表示：，，然后代入正弦定理三角形面積公式求解.【詳解】由得,所以，由可得，所以，,所以當時,面積取得最大值3?！军c睛】本題主要考查正弦定理和兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題。三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17。已知的部分圖象如圖所示寫出A,，的值直接寫出結(jié)果；若，求在上的值域．【答案】（1），，；(2）【解析】【分析】（1)由的部分圖象直接可求得，，和的值；

（2）由求得的解析式,化為正弦型函數(shù)，再求在上的值域．【詳解】解：（1）由的部分圖象知,

，解得；

；

令，

解得；

（2)由（1）知，；

所以；

當時,，

所以，

所以，

即函數(shù)在上的值域為．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．18.已知定義域為的函數(shù)滿足對任意，都有．（1）求證:是偶函數(shù)；（2）設(shè)時，①求證：在上是減函數(shù);②求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析(2）①證明見解析,②【解析】【分析】（1)函數(shù)性質(zhì)先計算，令即可證明(2）①設(shè),則由通過性質(zhì)可得出即可證明②由是偶函數(shù)原不等式可得,再利用函數(shù)在上是減函數(shù)求解即可.【詳解】(1）取得,即,取得，即，取,得，即是偶函數(shù)．（2）①設(shè)，則，由時，得，則，即在上為減函數(shù)，②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，則不等式等價為，即得,得得，即或或，即不等式的解集為.【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性證明，利用偶函數(shù)及單調(diào)性解不等式，屬于難題。19.已知中，。（1）求角的大小;（2)若，點在邊上，且，，求.【答案】（1)；（2)3【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和與正弦的和角公式化簡即可。（2）畫圖，設(shè)，則，在上取一點,使得，再在中利用余弦定理列式求解即可。【詳解】（1)由，得，即,即，因為，,所以,所以.（2）如圖，設(shè),則，在上取一點，使得，連接，則。在中,,,,由余弦定理得,即，所以，.【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理的運用,同時也考查了正弦的和角公式.需要根據(jù)題意分析邊角關(guān)系利用公式求解。屬于中檔題。20。已知函數(shù)。(1）討論的單調(diào)性；(2）若時,求實數(shù)的取值范圍。【答案】（1）見解析;（2）【解析】【分析】（1)求導可得，再分與兩種情況分析函數(shù)的極值點與單調(diào)性即可。(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，分，與三種情況分別分析的最小值,并求解對應(yīng)的的取值范圍即可。【詳解】（1）因為，所以,①當時，，所以時，時,故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。②當,由得或,當，即時,,在上是增函數(shù)。當時，，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。當時，，在,上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上可得,時在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；時,在上是增函數(shù)；當時，在,上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；時在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù)。（2）由（1）知,時,所以當時不恒成立；當時在上是增函數(shù),由得,即,解得，所以;當時在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù),所以時，由得,所以,,綜上可得，，即的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題,同時也考查了根據(jù)函數(shù)的最值與范圍求解參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分情況求函數(shù)的最值，再解不等式分析.屬于難題.21.中國共產(chǎn)黨十六屆五中全會提出要按照“生產(chǎn)發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風文明、村容整潔、管理民主”的要求，扎實推進社會主義新農(nóng)村建設(shè),2018年4月習近平近日作出重要指示強調(diào)，要結(jié)合實施農(nóng)村人居環(huán)境整治三年行動計劃和鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,建設(shè)好生態(tài)宜居的美麗鄉(xiāng)村.為推進新農(nóng)村建設(shè)某自然村計劃在村邊一塊廢棄的五邊形荒地上設(shè)置一個綠化區(qū)，如圖所示，邊界以及對角線均為綠化區(qū)小路（不考慮寬度）,,,.(1）求四邊形的面積；(2）求綠化區(qū)所有小路長度之和的最大值。【答案】(1）(m2）（2）900（m）【解析】【分析】(1)連接，分別求和的面積，即可求解;（2)由（1)知邊長為定值,則在中，可知,根據(jù)余弦定理和基本不等式，求解的范圍，即可求解?！驹斀狻浚?）連接的面積。在中，由余弦定理得,。又，，，又，，的面積。四邊形的面積；(2）由已知及(1)可知，，，可知要使綠化區(qū)所有小路長度之和取最大值，應(yīng)使最大，在中，由余弦定理得，即。，，當且僅當時取等號。此時綠化區(qū)所有小路長度之和取得最大值為.【點睛】本題考查余弦定理解三角形的應(yīng)用，以及三角形面積公式,考查計算能力,屬于中等題型。22.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，正數(shù)滿足，求證：【答案】（1）當時，沒有極值；當時，極大值是，沒有極小值；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)求導可得，再分與兩種情況求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間