《求解二元一次方程組(加減法)》教案-(公開課)2022年

5.2求解二元一次方程組〔二〕加減法●教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1．用加減消元法解二元一次方程組．2．進(jìn)一步了解解二元一次方程組時(shí)的“消元〞思想，“化未知為〞化歸思路．(二)能力訓(xùn)練要求1．會(huì)用加減消元法解二元一次方程組．2．根據(jù)不同方程的特點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)解二元一次方程組的根本思路——消元．(三)情感與價(jià)值觀要求1．進(jìn)一步體會(huì)解二元一次方程組的消元思想，在化“未知為〞的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂．2．根據(jù)方程組的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)教學(xué)的創(chuàng)新、開拓的意識(shí)．●教學(xué)重點(diǎn)1．掌握加減消元法解二元一次方程組的原理及一般步驟．2．能熟練地運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組．●教學(xué)難點(diǎn)1．解二元一次方程組的根本思路消元即化“二元〞為“一元〞的思想．2．?dāng)?shù)學(xué)研究的“化未知為〞的化歸思想．●教學(xué)方法啟發(fā)——比較——自主探索相結(jié)合．由一個(gè)引例啟發(fā)學(xué)生除可以利用代入消元法可以消去一個(gè)未知數(shù)，獲得問題的解答．通過觀察比較可以發(fā)現(xiàn)如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，這時(shí)我們就可以依據(jù)等式的性質(zhì)將方程兩邊相加或相減，從而消去一個(gè)未知數(shù)，從而更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主探索解二元一次方程組的加減消元法直至熟練掌握．●教具準(zhǔn)備投影片一張：問題串(記作§5.2.2A)．●教學(xué)過程Ⅰ．提出疑問，創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課［師］怎樣解下面的二元一次方程組呢？［生1］解：把②變形，得x=③把③代入①，得3×+5y=21，解得y=－3．把y=3代入②，得x=2．所以方程組的解為［生2］解：由②得5y=2x+11③把5y當(dāng)做整體將③代入①，得3x+(2x+11)=21解得x=2把x=2代入③，得5y=2×2+11y=3所以原方程的解為［師］我們可以發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單．有沒有更好的解法呢？也就是說，我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了用代入的方法可以消元，從而使“二元〞變?yōu)椤耙辉暎敲从袥]有別的消元方法也可以使“二元〞變?yōu)椤耙辉暎凵菸野l(fā)現(xiàn)了方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，如果能將方程①和②的左右兩邊相加，根據(jù)等式的性質(zhì)我們可以得到一個(gè)含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y．［師］很好．這正是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法．Ⅱ．講授新課［師］下面我們就用剛剛這位同學(xué)的方法解上面的二元一次方程組．解：由①+②，得(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11)，即3x+2x=10，x=2，把x=2代入②中，得y=3．所以原方程組的解為［師生共析］一個(gè)方程組我們用了三種方法，從中可以發(fā)現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇解法可以起到事半功倍的效果．回憶上一節(jié)的練習(xí)和習(xí)題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個(gè)代表闡述自己的意見．［生］我們組認(rèn)為課本P113的隨堂練習(xí)的(3)(4)小題用加減消元法簡單．［師］你們組能派兩位同學(xué)有加減消元法把這兩個(gè)方程組解一下嗎？［生］可以．(學(xué)生黑板板演，接著聽其他組討論的結(jié)果)［生］我們組認(rèn)為習(xí)題5.2第1題中(2)也可以用加減消元法，我可以到黑板上做．［生］老師，習(xí)題5.2第1題中(4)把方程組變形后，得也可以用加減消元法．我在黑板上做．［師］下面，我們講評(píng)一下剛剛這幾位同學(xué)解方程組的方程．(1)(2)這兩個(gè)方程組中，y的系數(shù)都是互為相反數(shù)，因此這兩位同學(xué)都用了用方程組中的兩個(gè)方程相加，從而把y消去，將二元轉(zhuǎn)化為一元，最后解出了方程的解，很好．(3)我們觀察此方程y的系數(shù)都是1，因此這位同學(xué)想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2．這位同學(xué)將方程組整理，得由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5．這幾位同學(xué)的解法很好，同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了方程組中如果一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組．［生］老師，我有一個(gè)問題：習(xí)題5.2的(3)小題，用代入消元法解，較麻煩．用加減消元法解，x、y的系數(shù)不相同也不相反，沒有方法用加減消元法．是不是還有別的方法．［師］這個(gè)同學(xué)提的問題太好了．能發(fā)現(xiàn)問題是我們學(xué)習(xí)很重要的一個(gè)方面，同學(xué)們應(yīng)該向他學(xué)習(xí)．接下來，同學(xué)們分組討論，方程組不用代入消元法如何解？［生］老師，我們組想出了一個(gè)方法，能不能用等式的性質(zhì)將這個(gè)方程組中的x或y的系數(shù)化成相等(或相反)呢？［生］可以．我只要在方程①和方程②的兩邊分別除以3和4，x的系數(shù)不就變成“1〞了嗎？這樣就可以用加減消元法了．［生］我不同意．這樣做，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都變成了分?jǐn)?shù)，比代入消元法還麻煩．我覺得應(yīng)該找到y(tǒng)的系數(shù)－2的絕對值和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②兩邊同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以將y消去，得17x=－34，x=－2．把x=－2代入①得，y=－1．所以方程組的解為［師］同學(xué)們?yōu)樗恼?，他的想法太精彩了，我們祝賀他．其實(shí)在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不一定二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)剛好是1，或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反．我們遇到的往往就是像習(xí)題5．2．1．(3)題這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，到達(dá)消元的目的．下面我們看一個(gè)例子．解方程組分析：未知數(shù)的系數(shù)沒有絕對值是1的，也沒有哪一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反．我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)絕對值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數(shù)6，然后①×3，②×2，便可將①②的x的系數(shù)化為相同．解：①×3得6x+9y=36③②×2，得6x+8y=34④③－④，得y=2．將y=2代入①，得x=3．所以原方程組的解是［師］我們根據(jù)上面幾個(gè)方程組的解法，接下來討論下面兩個(gè)問題：出示投影片(§5．2．2A)(1)加減消元法解二元一次方程組的根本思路是什么？(2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？(由學(xué)生分組討論、總結(jié))［師生共析］(1)用加減消元法解二元一次方程組的根本思路仍然是“消元〞．(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟．第一步：在所解的方程組中的兩個(gè)方程，如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，消去這個(gè)未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個(gè)方程的兩邊分別相減，消去這個(gè)未知數(shù)．第二步：如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個(gè)系數(shù)是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù))，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元．第三步：對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)等)．通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮．Ⅲ．隨堂練習(xí)課本用加減消元法解以下方程組：1．解：①+②，得16x=－16x=－1把x=－1代入①，得y=－5所以原方程的解為②－①，得6y=－18y=－3把y=－3代入①，得x=－2所以原方程組的解為①－②×2得5t=15t=3把t=3代入②，得s=－1所以原方程組的解為①×2－②×3，得－11x=33x=－3把x=－3代入①得y=－4所以原方程組的解為注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一．Ⅳ．課時(shí)小結(jié)關(guān)于二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法我們?nèi)繉W(xué)完了．比較這兩種解法我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，化“二元〞為“一元〞．Ⅴ．課后作業(yè)1．課本習(xí)題5.32．閱讀讀一讀·你知道計(jì)算機(jī)是如何解方程組嗎．Ⅵ．活動(dòng)與探究解三元一次方程組：過程：解二元一次方程組的實(shí)質(zhì)是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，由“二元〞變?yōu)椤耙辉?，于是我們?lián)想，能否借助解二元一次方程組消元的思路，將三元一次方程組消元，由“三元〞消為“二元〞，不就是我們剛學(xué)過的二元一次方程組嗎．我們觀察這個(gè)方程組②中不含未知數(shù)z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一個(gè)和②一樣只含x，y的二元一次方程④，將②和④聯(lián)立成二元一次方程組．也就將三元一次方程組消元，由“三元〞變?yōu)椤岸暎Y(jié)果：解：由①－③得－x+2y=8④聯(lián)立②、④得由②+④得y=9把y=9代入②，得x=10把x=10、y=9代入①得z=7所以三元一次方程組的解為：●板書設(shè)計(jì)求解二元一次方程組(二)一、學(xué)生板演解法一：代入消元法解法二：(加減消元法)解法三：(整體代入法)二、加減消元法的思路和步驟三、例題(用加減消元法求解)四、課時(shí)小結(jié)●備課資料一、參考例題［例1］解方程組：分析：這個(gè)方程組比較復(fù)雜，應(yīng)先化簡，然后再觀察系數(shù)的特點(diǎn)，利用加減消元法或代入消元法求解．解：化簡方程組，得③×2+④×3，得19x=38x=2把x=2代入③，得y=2所以原方程組的解為評(píng)注：當(dāng)方程組比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)通過去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)等，使之化為的形式(同類項(xiàng)對齊)，為消元?jiǎng)?chuàng)造條件．［例2］解方程組分析：可以仿例1將方程化簡，也可根據(jù)方程組的特點(diǎn)考慮把(x+y)、(x－y)看成一個(gè)整體，這樣會(huì)給計(jì)算帶來方便．解法一：原方程化簡為：②×3－④，得32y=－64，y=－2把y=－2代入④，得x=5所以原方程組的解為解法二：把(x+y)、(x－y)看成整體①－②×3得x+y=3③把③代入②，得2(x－y)－5×3=－1即x－y=7④由③、④聯(lián)立方程組，得解得評(píng)注：在解法二中突出了方程的特點(diǎn)，表達(dá)了數(shù)學(xué)中的“整體〞思想．［例3］方程組的解適合x+y=8，求a的值．分析一：把方程組成的解用含a的代數(shù)式表示出來，再代入x+y=8，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a．分析二；將方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，將新得到的方程與x+y=8組成方程組解方程組即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a，便可求出a的值．解法一：①×2，得6x+10y=2a+4②×3，得6x+9y=3a③－④，得y=4－a，把y=4－a代入②，得2x+3(4－a)=a解得x=2a－所以代入x+y=8，得(2a+6)+(4－a解得a=10解法二：把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2，整理，得x+2y=2③把方程③與x+y=8組成方程組，③－④，得y=－6把y=－6代入④，得x=14所以把代入②中a=2×14+3×(－6)=10所以a=10評(píng)注：順利解決此題的關(guān)鍵是理解二元一次方程組的解和二元一次方程的解的概念；二是靈活運(yùn)用加減法或代入法解二元一次方程組．二、參考練習(xí)1．填空題(1)3ay+4b3x－1與－3a2x－2b1－2y是同類項(xiàng)，那么x=_________，y=_________(2)假設(shè)(5x+2y－12)2+｜3x+2y－6｜=0，那么2x+4y=_________．(3)假設(shè)3x3m+5n+9+9y4m－2n+3=5是二元一次方程，那么=_________(4)在代數(shù)式mx+n中，當(dāng)x=3時(shí)，它的值是4，當(dāng)x=4時(shí)，它的值是7，那么m=_________，n=_________．答案：(1)2－2(2)0(3)1(4)3－52．選擇題(1)用加減消元法解方程組時(shí)，有以下四種結(jié)果，其中正確變形是()① ②③ ④A．只有①和②B．只有③和④C．只有①和③D．只有②和④(2)那么x－y的值是()A．1B．0C．－1D．不能確定(3)方程組的解x和y的值相等，那么k的值等于()A．9B．10C．11D．12答案：(1)B(2)A(3)C3．用加減消元法解方程組：(1)(2)(3)x+2y=(4)答案：(1)(2)(3)(4)平行四邊形的性質(zhì)總體說明〔1〕本節(jié)的主要內(nèi)容包含平行四邊形的性質(zhì)。教學(xué)中可以通過讓學(xué)生舉實(shí)際生活中的例子，以加深學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識(shí)。〔2〕教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過操作與探索，發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，在此根底上認(rèn)識(shí)平行四邊形的性質(zhì)。〔3〕探索平行四邊形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題。第一課時(shí)重點(diǎn)：平行四邊形的概念和性質(zhì)難點(diǎn)：探索平行四邊形的性質(zhì)解決過程環(huán)節(jié)1：學(xué)生舉生活中平行四邊形的實(shí)例；回憶概念“兩組對邊分別平行的四邊形，叫平行四邊形〞并據(jù)此性質(zhì)從圖16.1.1中找出平行四邊形。環(huán)節(jié)2：【探究】學(xué)生操作探索：如圖16.1.2，在方格紙上畫一個(gè)平行四邊形。如圖16.1.2，用剪刀把ABCD從方格紙上剪下，再在一張紙上沿ABCD的邊沿，畫出一個(gè)四邊形，記為EFGH。在ABCD中連接AC、BD，它們的交點(diǎn)記為O。用一枚圖釘在O點(diǎn)穿過，將ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度。觀察旋轉(zhuǎn)后的180度和紙上所畫的EFGH是否重合。根據(jù)觀察結(jié)果，運(yùn)用上一章所學(xué)的知識(shí)，你能探索出ABCD中存在哪些相等的邊與相等的角？ 讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述觀察和探索的結(jié)果，再試用文字總結(jié)，得“平行四邊形的對邊相等，對角相等〞。【注意：平行四邊形中對邊是指無公共點(diǎn)的邊，對角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點(diǎn)的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個(gè)角．而三角形對邊是指一個(gè)角的對邊，對角是指一條邊的對角．〔教學(xué)時(shí)要結(jié)合圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚〕】【〔相鄰的角指四邊形中有一條公共邊的兩個(gè)角．注意和七年級(jí)學(xué)的鄰角相區(qū)別．教學(xué)時(shí)結(jié)合圖形使學(xué)生分辨清楚．〕】環(huán)節(jié)3：理解和穩(wěn)固：例1如圖16.1.4，在ABCD中，∠A=40度，求其他各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。例2如圖16.1.5，在ABCD中，AB=8，周長為24，求其余三條邊的長環(huán)節(jié)4、〔隨堂練習(xí)〕1．填空：〔1〕在ABCD中，∠A=，那么∠B=度，∠C=度，∠D=度．〔2〕ABCD中，∠A—∠B=240°，那么∠A=，∠B=，∠C=，∠D=．〔3〕如果ABCD的周長為28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．〔4〕在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF與GH相交與點(diǎn)O，那么圖中的平行四邊形一共有．第2課時(shí)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用．難點(diǎn)：綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算二解決過程環(huán)節(jié)11．復(fù)習(xí)提問：〔1〕什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關(guān)系是：〔2〕平行四邊形的性質(zhì)：①具有一般四邊形的性質(zhì)〔內(nèi)角和是〕．②角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)．邊：平行四邊形的對邊分別平行且相等．環(huán)節(jié)2【探究】：在像上節(jié)課有圖16.1.3那樣的旋轉(zhuǎn)過程中，讓學(xué)生探究OA與OC、OB與OD的關(guān)系〔1〕平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點(diǎn)是對稱中心；〔2〕平行四邊形的對角線互相平分注意：教學(xué)時(shí)要講明線段互相平分的意義和表示方法．如圖，設(shè)平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，假設(shè)AC與BD互相平分，那么有OA＝OC，OB＝OD．環(huán)節(jié)3：理解和穩(wěn)固：例3如圖16.1.6，在ABCD中，對角線AC和BD相交與點(diǎn)O，△AOB的周長為15，AB=6，那么對角線AC與BD的和是多少？環(huán)節(jié)4、〔隨堂練習(xí)〕1、如圖，ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AC=8，OB=6，那么OA=，OC=OD=BD=2、在ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC＋BD=24,且AC=3BD,那么OA=OB=3、在平行四邊形ABCD中，周長等于48，一邊長12，求各邊的長AB=2BC，求各邊的長對角線AC、BD交于點(diǎn)O，△AOD與△AOB的周長的差是10，求各邊的長第3課時(shí)：平行線間距離處處相等的性質(zhì)一、重點(diǎn)：平行線間距離處處相等的性質(zhì)難點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)與平行線間距離處處相等性質(zhì)的應(yīng)用二、解決過程環(huán)節(jié)1：學(xué)生回憶：平行四邊形的性質(zhì)環(huán)節(jié)2：平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用：例1平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角比它的鄰角大42度，求四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。例2如圖，在ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足。如果∠B=42°,那么∠D與∠DAE分別等于多少度？例3如右上圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，兩條對角線的和為36厘米，CD的長為5厘米，求三角形OCD的周長。環(huán)節(jié)3：學(xué)生實(shí)踐操作：在方格紙上畫兩條互相平行的直線，在其中一條直線上任取假設(shè)干點(diǎn)，過這些點(diǎn)作另一條直線的垂線，用刻度尺量出平行線之間的垂線段的長度。學(xué)生探索：你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？在其中一條直線上再取一點(diǎn)，驗(yàn)證一下。教師給出概念“兩條平行線之間的距離〞學(xué)生試總結(jié)平行線的性質(zhì)：平行線之間的距離處處相等。環(huán)節(jié)4：學(xué)生穩(wěn)固：n例4如圖，如果直線m∥n,那么△ABC的面積和△DBC的面積是相等的。你能說出理由嗎？你還能在兩條平行線m、n之間畫出其他與△ABC面積相等的三角形嗎？n第4課時(shí)：平行四邊形的綜合練習(xí)一、重點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用難點(diǎn)：開展學(xué)生進(jìn)一步的推理能力和解決問題的能力二、解決過程環(huán)節(jié)1：學(xué)生回憶：平行四邊形性質(zhì)。題組一：〔復(fù)習(xí)〕在ABCD中，