三角函數(shù)與和弦和諧度淺談

三角函數(shù)與和弦和諧度淺談北京市第五中學(xué)傅自然研究目的和諧的重要性有些和弦是否和諧不好分辨用數(shù)學(xué)方法分析和弦頻率聲音的本質(zhì)是波一定的音高對應(yīng)一定的頻率兩個不同音的頻率的比值，稱為這兩個音的頻率比和弦的和諧程度與頻率比有關(guān)——數(shù)學(xué)與音樂間的橋梁律制

律制

十二平均律修改綜合新的頻率比純律十二平均律十二平均律最早是由我國明朝音樂理論家朱載堉提出的。這種律制將八度按等比數(shù)列劃分為十二份，因為高一個八度音的頻率是原來八度音頻率的二倍，所以兩個半音間的頻率比為2，即每相鄰兩個半音間的頻率比為2。純律純律最早是由畢達(dá)哥拉斯提出的。這種律制以2：1，3：2，4：3這三個比值分別作為CC1，CG，CF的頻率比，并在此基礎(chǔ)上推出其余各音之間的頻率比。新的頻率比DEFGABC19:85:44:33:227:1615:82:1C9:832:274:33:227:1616:9D16:1532:274:33:28:5E9:85:445:323:2F9:85:44:3G9:832:27A16:15B化簡和弦數(shù)個音同時發(fā)出，形成和弦有些和弦和諧程度相同總結(jié)規(guī)律：周期性可移性重組不變性去掉和諧程度相同的和弦什么和弦是和諧的？感覺上的和諧和弦、不和諧和弦

分析對比判定和弦是否和諧的標(biāo)準(zhǔn)和弦的表示法正弦函數(shù)相疊加表示和弦聲音的本質(zhì)是波用正弦函數(shù)來表示單音二和弦設(shè)兩分音最簡頻率比為a：b（a<b）的二和弦可表示為f(x)=sinax+sinbx圖像特征頻率比第一、二組一周期內(nèi)波峰數(shù)為b一周期內(nèi)sinax與sinbx交點數(shù)為2b第三、四組一周期內(nèi)sinax與f(x)交點數(shù)為2b一周期內(nèi)sinbx與f(x)交點數(shù)為2a第五、六組CG、CF頻率比之和1.417，CB、BC1頻率比之和1.471一周期內(nèi)sinax+sinbx與sinbx+sin2ax交點數(shù)為4a二和弦和諧度用頻率比之和表示和弦的和諧度圖像差別大與a、b有關(guān)頻率比之和和諧不和諧小大二和弦三、四和弦音樂角度數(shù)學(xué)角度三和弦、四和弦和諧度和諧度定義二和弦的和諧度為和諧程度相同頻率比不同的兩個和弦的頻率比之和。三和弦、四和弦的和諧度為二和弦和諧度值的和。

樂曲分類選取感情色彩對比鮮明的兩類進行比較歡慶、喜悅《春節(jié)序曲》、《傣家歡慶潑水節(jié)》《拉德斯基進行曲》悲傷、哀怨《二泉映月》、《吉普賽之歌》春節(jié)序曲旋律Eξ=2.277886Dξ=2.011927伴奏Eξ=4.427083Dξ=0.19605

傣家歡慶潑水節(jié)旋律Eξ=2.289974Dξ=1.721063伴奏Eξ=4.342149Dξ=0.088967

拉德斯基進行曲旋律Eξ=2.29286Dξ=1.719593伴奏Eξ=4.555883Dξ=0.330908

歡快樂曲特點有一個常用的和弦，數(shù)學(xué)期望、方差偏小，應(yīng)用的和弦和諧、單一、集中特例：拉德斯基進行曲結(jié)論適用于大部分音樂作品。二泉映月旋律Eξ=2.62571Dξ=2.728873伴奏Eξ=4.731396Dξ=0.460474

吉普賽之歌旋律Eξ=3.111084Dξ=2.747952伴奏Eξ=4.976477Dξ=0.541851

憂傷樂曲的特點沒有一個常用和弦，數(shù)學(xué)期望、方差偏大。憂傷的樂曲包含著人們復(fù)雜的心情，感情強烈，變化較大，應(yīng)用的和弦復(fù)雜、豐富、平均。

結(jié)論歡樂樂曲：應(yīng)用的和弦和諧、單一、集中憂傷樂曲：應(yīng)用的和弦較為復(fù)雜、豐富、平均。參考文獻

Trudi

HammelGarlandandCharityVaughanKahn,《MathandMusic》,USA:DaleSeymourPublications,1995《BasicZ12AnalysisofMusicalChords》姜杰《實用音樂知識》北京日報出版社，1988唐林,陶純，張永德《音樂物理學(xué)導(dǎo)論》中國科技大學(xué)出版社,1991人教版高中《物理》教材李遇秋，張自強，楊文濤，姜杰，任士榮，閃源昌，楊國立《音樂考級教程》（業(yè)余）手風(fēng)琴/2（四至六級）華文出版社，1993李遇秋，張自強，楊文濤，姜杰，任士榮，閃源