九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)【北師大版】：根與系數(shù)的關(guān)系及判別式綜合問(wèn)題大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）（解析版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【北師大版】專(zhuān)題2.4根與系數(shù)的關(guān)系及判別式綜合問(wèn)題大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一．解答題（共30小題）1．（2022春?姜堰區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；（2）若①或②或③（選一個(gè)即可）（填序號(hào)），求k的值．（從①x1?x2＝2；②x1+x2＝3；③x1﹣x2＝1中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充完整題目，并完成解答．）【分析】（1）利用根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）選擇其中一個(gè)進(jìn)行解答即可．【解析】（1）∵一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，∴Δ＝﹣（2k+1）2﹣4×1×（k2+1）＞0，解得：k＞3（2）當(dāng)①x1?x2＝2時(shí)，得：k2+1＝2，解得：k＝±1，∵k＞3∴k＝1；當(dāng)②x1+x2＝3時(shí)，得：2k+1＝3，解得：k＝1；當(dāng)③x1﹣x2＝1時(shí)，（x1﹣x2）2＝1，（x1+x2）2﹣4x1?x2＝1，（2k+1）2﹣4（k2+1）＝1，解得：k＝1．故答案為：①或②或③（選一個(gè)即可）．2．（2022春?萊西市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣5＝0，（1）求證：無(wú)論m取何值，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根為2+5，求m【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ＝m2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，據(jù)此可得答案；（2）把x＝2+5代入x2﹣mx+m﹣5＝0，求得m【解答】（1）證明：∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣5）＝m2﹣4m+20＝（m﹣2）2+16＞0，∴無(wú)論m取何值，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：將x＝2+5代入方程得4+45+5﹣（2+5）m解得m＝4．故m的值為4．3．（2022?南京模擬）關(guān)于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，求解即可；（2）根據(jù)（1）確定的k的取值范圍，得出k取最大整數(shù)值，代入方程，求解方程即可．【解析】∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，∴k＜1，∴當(dāng)k＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵k＜1，∴k的最大整數(shù)值為0，把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，得方程x2+2x﹣1＝0，解得x1=?1+24．（2022?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求證：不論k為何值，這個(gè)方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值．【分析】（1）先計(jì)算判別式的值得到Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到Δ≥0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）先利用因式分解法求得kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）的解為x1=2k，x2＝﹣1，然后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)【解答】（1）證明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，∵（k+2）2≥0，∴Δ≥0，∴不論k為何值，這個(gè)方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），（kx﹣2）（x+1）＝0，解得x1=2k，x因?yàn)樵摲匠痰膬筛麛?shù)，所以2k所以整數(shù)k為±1或±2．5．（2022?興化市開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+2）x+2k＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根是正數(shù)，求k的取值范圍．【分析】（1）計(jì)算方程根的判別式，判斷其符號(hào)即可；（2）求得方程兩根，再結(jié)合條件判斷即可．【解答】（1）證明：依題意，得Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：x2+（k+2）x+2k＝0．（x+2）（x+k）＝0，得x1＝﹣2，x2＝﹣k，∵方程有一個(gè)根是正數(shù)，∴﹣k＞0，∴k＜0．6．（2022?十堰模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無(wú)論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，另外兩邊長(zhǎng)度為該方程的兩根，求等腰三角形的周長(zhǎng)．【分析】（1）先計(jì)算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；（2）依題意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一個(gè)根為5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后計(jì)算三角形周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，∴另外一邊長(zhǎng)度為5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一個(gè)根為5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程為x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周長(zhǎng)＝5+5+2＝12．7．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m?1＝0．（1）當(dāng)m取何值時(shí)，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）若x＝1是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和另一根．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得Δ＞0，從而可以求得m的取值范圍；（2）把x＝1代入已知方程，得到關(guān)于m的一元一次方程，通過(guò)解該方程來(lái)求m的值，則可得出答案．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，即m＜2．（2）當(dāng)x＝1時(shí)，1﹣2+m﹣1＝0，∴m＝2，∴x2?2x+1＝0，解得x1＝x2＝1．即另一根是1．8．（2022春?宿豫區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的值；（2）求此時(shí)方程的根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值；（2）利用配方法解方程即可．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即（﹣8）2﹣4×1×（﹣k+4）＝0，解得：k＝﹣12；（2）當(dāng)k＝﹣12時(shí)，此時(shí)方程為x2﹣8x+16＝0，∴（x﹣4）2＝0，∴x1＝x2＝4．9．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一個(gè)根．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入關(guān)于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出關(guān)于a的方程，通過(guò)解該方程求得a值即可；（2）求出根的判別式Δ＝（a+1）2+4＞0，據(jù)此可得答案；【解答】（1）解：∵x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一個(gè)根．∴1+a+3+a+1＝0，解得a＝﹣2.5；（2）證明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．10．（2022春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．（1）如果方程根的判別式的值為1，求m的值．（2）如果方程有一個(gè)根是﹣1，求此方程的根的判別式的值．【分析】（1）由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解．（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝﹣1代入一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1，求得m值，然后將m值代入原方程，利用Δ＝b2﹣4ac求得即可【解析】（1）∵mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．∴mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，∵Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，整理得m2﹣2m＝0，解得m1＝0，m2＝2，∵m≠0，∴m＝2；（2）根據(jù)題意，將x＝﹣1代入方程得m+（3m﹣1）+2m＝1，整理，得：6m﹣2＝0，解得：m=1原方程為13∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×111．（2022春?廣饒縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形的其中一邊為4，另兩邊是這個(gè)方程的兩根，求m的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式的意義得Δ的值，于是得到結(jié)論；（2）分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，當(dāng)?shù)诪?時(shí)，解方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)腰為4時(shí)，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；當(dāng)?shù)诪?時(shí)，則程x2﹣（m+3）x+3m＝0有兩相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，綜上所述，m的值為4或3．12．（2022春?平桂區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0（其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式可得出Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，整理即可得出c2＝a2+b2，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC為直角三角形．【解析】△ABC是直角三角形，理由如下：∵方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，即c2＝a2+b2，∵a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)，∴△ABC為直角三角形．13．（2022春?寶應(yīng)縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x（x﹣2）＝k．（1）若k＝3，求此方程的解；（2）當(dāng)k≥﹣1時(shí)，試判斷方程的根的情況．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)根的判別式的意義得Δ＝（﹣2）2﹣4×1（﹣k）＝4+4k，判斷即可得到結(jié)論．【解析】（1）把k＝3代入原方程得：x（x﹣2）＝3，整理得：x2﹣2x﹣3＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1（﹣k）＝4+4k，∵k≥﹣1∴4+4k≥0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．14．（2022春?百色期末）已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀；（2）當(dāng)a＝5，b＝3時(shí)，求一元二次方程的解．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出Δ＝0，即可得出a2＝b2+c2，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）把a(bǔ)＝5，b＝3代入方程化簡(jiǎn)，即可求出方程的解．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵a＝5，b＝3，∴c=5∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理為9x2+6x+1＝0，解得：x1＝x2=?115．（2022?高新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）證明無(wú)論k取何值時(shí)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？【分析】（1）表示出方程根的判別式，根據(jù)根的判別式的正負(fù)即可確定出方程根的情況；（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC與AB＝BC兩種情況求出k的值即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴無(wú)論k取何值時(shí)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解為：x=(2k+3)±12=(2k+3)±12，即x1＝k∵AB、AC是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴當(dāng)k+2＝5，或k+1＝5時(shí)，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4，故當(dāng)k為3或4時(shí)，△ABC是等腰三角形．16．（2022?下陸區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若x1，x2是原方程的兩根，且x12+x22＝1，求m的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案．（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法即可求出答案．【解析】（1）證明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2，∵無(wú)論m取何值，（m+1）2≥0，∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）∵x1，x2是原方程的兩根，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，∵x12+x22＝1，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，∴代入化簡(jiǎn)可得：m2+4m+4＝0，解得：m＝﹣2．17．（2022?文安縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若已知方程的一個(gè)根為﹣2，求方程的另一個(gè)根以及m的值．【分析】（1）由Δ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；（2）設(shè)方程的另外一根為a，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a?2=?m?3?2a=m+1【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝m2+6m+9﹣4m﹣4＝m2+2m+1+4＝（m+1）2+4＞0，∴無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的另外一根為a，根據(jù)題意，得：a?2=?m?3?2a=m+1解得：a=0m=?1所以方程的另一根為0，m的值為﹣1．18．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，菱形ABCD中，m、n、t分別是菱形ABCD的兩條對(duì)角線和邊長(zhǎng)，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如mx2+22tx+n＝0的一元二次方程稱(chēng)為“菱系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）填空：①當(dāng)m＝2，n＝4時(shí)，t＝5；②用含m、n的代數(shù)式表示t2＝14m2+14n（2）求證：關(guān)于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+12【分析】（1）由菱形的對(duì)角線互相垂直平分得出AO、DO的長(zhǎng)，再利用勾股定理可得AD，從而得出答案；（2）此方程的判別式Δ＝（2t）2﹣2mn＝4t2﹣2mn，結(jié)合t2=14m2+1【解答】（1）解：①菱形ABCD中，m、n、t分別是菱形ABCD的兩條對(duì)角線和邊長(zhǎng)，當(dāng)m＝2，n＝4時(shí)，則AO＝2，DO＝1，則AD=AO2+D故答案為：5；②由題意知AO=12AC=12m，DO=則AD=A∴t2=14m2+1故答案為：14m2+14（2）證明：mx2+2tx+12這里，a＝m，b＝2t，c=12∴Δ＝（2t）2﹣4m?12n＝4t2﹣2mn∵t2=14m2+1∴Δ＝m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2≥0，∴關(guān)于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+1219．（2022?荔城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若x1＝1，求x2及m的值．【分析】（1）由方程根的情況，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于m的不等式，則可求得m的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝4，x1x2＝m﹣1，則可先求出x2，再求出m的值．【解析】（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝16﹣4（m﹣1）≥0．解得m≤5．（2）依題意得：x1+x2＝4，x1?xx＝m﹣1且x1＝1，則x2＝3，m＝4．20．（2022?雨花區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的方程x2﹣4（m﹣2）x+4m2＝0．（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）是否存在m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于224．若存在，求出滿(mǎn)足條件的m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用Δ≥0求出m的值．（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=?ba=4m﹣8，x1x2=ca=4m2，x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到關(guān)于【解析】（1）∵a＝1，b＝﹣4（m﹣2），c＝4m2方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣4（m﹣2）]2﹣4×1×4m2＝﹣64m+64≥0，∴m≤1．（2）存在正數(shù)m使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于224．∵x1+x2=?ba=4m﹣8，x1x2=cx12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，即：8m2﹣64m﹣160＝0，解得：m1＝10（不合題意，舍去），m2＝﹣2，又∵m1＝10時(shí)，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∵m2＝﹣2時(shí)，Δ＝﹣4m+4＝8+4＝12＞0，此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根，∴存在m使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于224．21．（2022春?招遠(yuǎn)市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為x1，x2，且x12+【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值得到Δ≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，再利用完全平方公式由x12+x22=10得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，所以（﹣m）2﹣2（m﹣1）＝10，解得m1＝4，m2＝﹣2，再把（x1﹣x2）2【解答】（1）證明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是方程x2+mx+m﹣1＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，∵x1∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，∴（﹣m）2﹣2（m﹣1）＝10，解得m1＝4，m2＝﹣2，∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，當(dāng)m＝4時(shí)，（x1﹣x2）2＝（4﹣2）2＝4，當(dāng)m＝﹣2時(shí)，（x1﹣x2）2＝（﹣2﹣2）2＝16，綜上所述，（x1﹣x2）2的值為4或16．22．（2022?寧波自主招生）關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x﹣5a＝0…①和3x2﹣ax+a＝0…②．（1）若a＞0，且方程①有兩實(shí)根x1，x2，方程②有兩實(shí)根x3，x4，求代數(shù)式x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得方程①和②恰有一個(gè)公共的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=?6a，x1x2＝﹣5，x3+x4=a3，x3x4=a3，則x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得方程①和②恰有一個(gè)公共的實(shí)數(shù)根，設(shè)公共解為m，則am2+6m﹣5a＝3m2﹣am+a，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，由Δ＝0即可求出a的值．【解析】（1）∵方程①有兩實(shí)根x1，x2，方程②有兩實(shí)根x3，x4，∴x1+x2=?6a，x1x2＝﹣5，x3+x4=a3，x3∴x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4＝﹣5+x1（x3+x4）+x2（x3+x4）+＝﹣5+（x1+x2）（x3+x4）+＝﹣5+（?6a＝﹣7+a∵一元二次方程ax2+6x﹣5a＝0…①和3x2﹣ax+a＝0…②都有兩個(gè)實(shí)根且a＞0，∴36+20a解得a≥12，∴當(dāng)a＝12時(shí)，﹣7+a∴代數(shù)式x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的最小值為﹣3．（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得方程①和②恰有一個(gè)公共的實(shí)數(shù)根，設(shè)公共解為m，則am2+6m﹣5a＝3m2﹣am+a，∴（a﹣3）m2+（6+a）m﹣6a＝0，∴Δ＝（6+a）2+24a（a﹣3）＝0，解得a=6∴存在實(shí)數(shù)65，使得方程①和②23．（2022?黃石）閱讀材料，解答問(wèn)題：材料1為了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我們把x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y＝x2，則原方程可化為y2﹣13y+36＝0，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為x1，2＝±2，x3，4＝±3．我們把以上這種解決問(wèn)題的方法通常叫做換元法．材料2已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：（1）直接應(yīng)用：方程x4﹣5x2+6＝0的解為x1=2，x2=?2，x3=3，x4（2）間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足：1m4+1m2=7，n2﹣n【分析】（1）利用換元法降次解決問(wèn)題；（2）模仿例題解決問(wèn)題即可；（3）令1m2=a，﹣n＝b，則a2+a﹣7＝0，b2【解析】（1）令y＝x2，則有y2﹣5y+6＝0，∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，∴y1＝2，y2＝3，∴x2＝2或3，∴x1=2，x2=?2，x3=3，x故答案為：x1=2，x2=?2，x3=3，x（2）∵a≠b，∴a2≠b2或a2＝b2，當(dāng)a2≠b2時(shí)，令a2＝m，b2＝n．∴m≠n，則2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴m+n=7此時(shí)a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=45②當(dāng)a2＝b2（a＝﹣b）時(shí)，a2＝b2=7±414，此時(shí)a4+b4＝2a4＝2（a2）綜上所述，a4+b4=454或（3）令1m2=a，﹣n＝b，則a2+a﹣7＝0，b2∵n＞0，∴1m2≠?n，即a∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴a+b=?1ab=?7故1m4+n2＝a2+b2＝（a+b）224．（2022春?惠城區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．（1）求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，滿(mǎn)足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+9＞0，據(jù)此可得答案；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，由x1﹣x2＝﹣2k+3知（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，從而列出關(guān)于k的方程，解之可得答案．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+4k+1﹣4k+8＝4k2+9＞0，∴無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，∵x1﹣x2＝﹣2k+3，∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，解得k＝0．25．（2022春?豐城市校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出關(guān)于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，解得m=626．（2022?大冶市模擬）若α=1+52為一元二次方程x2﹣x（1）則方程的另外一個(gè)根β＝1?52，t＝（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出等式即可求解；（2）利用一元二次方程根的意義得出α2＝1+α，β2＝1+β，再求出α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系解答即可求得結(jié)論．【解析】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系，α+β＝1，αβ＝t，∴β＝1﹣α＝1?1+∴t＝αβ=1+故答案為：1?5（2）∵α、β為一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，αβ＝﹣1，∴α2＝1+α，β2＝1+β，∴α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，∴（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）＝α2β2＝（αβ）2＝（﹣1）2＝1．27．（2022春?淄川區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）判斷該方程根的情況，并說(shuō)明理由；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩根之積，求k的值．【分析】（1）表示出根的判別式，判斷正負(fù)即可得到結(jié)果；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，令其值相等求出k的值即可．【解析】（1）∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（k?1＝4k2﹣4k+2＝4（k?12）∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1，x2，則有x1+x2＝2k，x1x2＝k?1∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩根之積，∴2k＝k?1解得：k=?128．（2022春?安慶期末）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是3和6，則方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，則k＝8；（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求m+n2m?n【分析】（1）設(shè)一元二次方程x2﹣6x+k＝0兩根為α和2α，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可解得答案；（2）解