競賽講座02整數(shù)的整除性

競賽講座02一整數(shù)的整除性整數(shù)的整除性的有關概念、性質整除的定義：對于兩個整數(shù)a、d(dWO),若存在一個整數(shù)p,使得0=4》成立，則稱d整除a,或a被d整除，記作d|a。若d不能整除a,則記作da,如2|6,4 6。性質若b|a,則b|(a),且對任意的非零整數(shù)m有bm|am若a|b,b|a,則|a|二|b|;若b|a,c|b,則c|a若b|ac,而(a,b)=1((a,b)=1表示a、b互質，則b|c；若b|ac,而b為質數(shù)，則b|a,或b|c；若c|a,c|b,則c|(ma+nb),其中m、n為任意整數(shù)(這一，性質還可以推廣到更多項的和)例1(1987年北京初二數(shù)學競賽題)x,y,z均為整數(shù)，若11I(7x+2y5z),求證：11I(3x7y+12z)o證明?：4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=ll(3x2y+3z)而 11I11(3x2y+3z),且 111(7x+2y5z),11I4(3x7y+12z)又 (11,4)=111I(3x7y+12z).利用數(shù)的整除性特征（見第二講）例2（1980年加拿大競賽題）設721。67處試求a4的值。解72=8X9,且（8,9）=1,所以只需討論8、9都整除北79時的值。若8I。67助,則81沏，由除法可得b=2。若9|。67助，則91（a+6+7+9+2）,得a=3。（2）利用連續(xù)整數(shù)之積的性質任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2X3=6整除。這個性質可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。例3（1956年北京競賽題）證明：2 2對任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除時余2。證明冏3* 間—I.；界（"+1）（2?+1）-1證明???典3 為連續(xù)二整數(shù)的積,必可被2整除.力（"D-2~對任何整數(shù)n均為整數(shù),為整數(shù),即原式為整數(shù).n[n?1)(2*1)4n(n?1)(%?1)又??? 2 8_2⑵+1)(%+2)8 ,2n、2n+l、2n+2為三個連續(xù)整數(shù)，其積必是3的倍數(shù)，而2與3互質，心+1)(2"?1)???2是能被3整除的整數(shù).爐.3~，7■迪上幽歸口故2 2 2被3除時余2.例4 一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.證明Va2+23=(a2l)+24,只需證a?l可以被24整除即可.V2?.??.a為奇數(shù).設a=2k+l(k為整數(shù)),貝ija21=(2k+1)21=4k2+4k=4k(k+1).???k、k+1為二個連續(xù)整數(shù)，故k(k+1)必能被2整除，/.8|4k(k+1),即8|(a2l).又???(al),a,(a+1)為三個連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即31a(al)(a+1)=a(a2l),V3a,A31(四).3與8互質,「.24I61),即a、23能被24整除.(3)利用整數(shù)的奇偶性下面我們應用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關知識來解幾個整數(shù)問題.例5 求證:不存在這樣的整數(shù)a、b^c、d使：a?b?c?da=窗外 ①a?b?c?db=網(wǎng)6T ②颯1a?b?c?dc=1削個 ③\iWa?b?c?dd=母8個 ④颯1證明山①，a(bcdl)=l?5t.???右端是奇數(shù)，，左端a為奇數(shù)，bcdl為奇數(shù).同理，由②、③、④知b、c、d必為奇數(shù)，那么bed為奇數(shù)，bcdl必為偶數(shù)，則a(bcdl)必為偶數(shù)，與①式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.例6 (1985年合肥初中數(shù)學競賽題)設有n個實數(shù)xbx2,xn,其中每一個不是+1就是1,且區(qū)+至+八+i2±+5l=0.試證n是4的倍數(shù).證明設乂弋(1=1,2,....?1),則W不是+1就是1,但yi+yz+…+ymy2y3…yn=L即(1)k=L故k為偶數(shù),???n是4的倍數(shù).其他方法：整數(shù)a整除整數(shù)b,即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.例7 (美國第4屆數(shù)學邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少？解n3+100=(n+10)(n210n+100)900.若n+100能被n+10整除，則900也能被n+10整除.而且，當n+10的值為最大時,相應地n的值為最大.因為900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二數(shù)學競賽)設a、b、c為滿足不等式IVa<bVc的整數(shù)，且(abl)(bcl)(cal)能被abc整除，求所有可能數(shù)組(a,b,c).解(abl)(bcl)(cal)=a2b~c2abc(a+b+c)+ab+ac+bcl,①Vabc|(abl)(bcl)(cal).???存在正整數(shù)k,使ab+ac+bcl=kabc, ②111 1 11133k=abc<abc<abc<a<2^k=l.若a》3,此時1111 11147l=abcabc<34560矛盾.已知a>l.「?只有a=2.當a=2時，代入②中得2b+2cl=bc,221 224+?+即\-bcbe<bbbA0<b<4,知b=3,從而易得c=5.說明：在此例中通過對因數(shù)k的范圍討論，從而逐步確定a、b、c是一項重要解題技巧.￥231例9 (1987年全國初中聯(lián)賽題)已知存在整數(shù)n,能使數(shù)-Tif ?T?f,”*尹部觸9耶2§8召塌7*?it?*if?*it?*it都能被1987整除.P-V^i1I*年勤1產(chǎn)+骼娟8*砂竹佃1證明：rtX X ?TX ?t?f(1029x1/+8x10/7),且o能被1987整除，???p能被1987整除同樣，，小打□="&個(*9x10^*8x10**1*7)10,=9x\助打+L且 ?t?10曲?10*?1。3?(]()■)3—3；104.2.(】0*產(chǎn)10勺0?“70?,10故10坳7、]02(皿、10?“被][3除，余數(shù)分1-別為1000,100,10,于是q表示式中括號內的數(shù)被?t除，余數(shù)為1987,它可被1987整除，所以括號內的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.練習二選擇題(1987年上海初中數(shù)學競賽題)若數(shù)n=20?30?40?50?60?70?80?90?100?110?120?130,則不是n的因數(shù)的最小質數(shù)是().(A)19 (B)17 (C)13 (D)非上述答案(2)在整數(shù)0、1、2…、8、9中質數(shù)有x個，偶數(shù)有y個，完全平方數(shù)有z個，則x+y+z等于( ).(A)14 (B)13 (C)12 (D)11 (E)10（3）可除盡3”+5遍的最小整數(shù)是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）3"+518（E）以上都不是填空題（1）（1973年加拿大數(shù)學競賽題）把100000表示為兩個整數(shù)的乘積，使其中沒有一個是10的整倍數(shù)的表達式為.一個自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是.（1989年全國初中聯(lián)賽題）在十進制中，各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是.000°。為整數(shù)的最小自然數(shù)a的值.1.（1971年加拿大數(shù)學競賽題）證明：對一切整數(shù)n,r+2n+12不是121的倍數(shù).（1984年韶關初二數(shù)學競賽題）設礪是一個四位正整數(shù)，已知三位正整數(shù)五與246的和是一位正整數(shù)d的111倍,五痂,并寫出推理運算過程.（1954年蘇聯(lián)數(shù)學競賽題）能否有正整數(shù)m、n滿足方程-+1954=/.證明:（1）133|（ir2+12nH）,其中n為非負整數(shù).（2）若將（I）中的11改為任意一個正整數(shù)a,則（1）中的12,133將作何改動?證明改動后的結論.（1986年全國初中數(shù)學競賽題）設a、b、c是三個互不相等的正整數(shù).求證:在a3bab3,ly'cbc，c'ca，三個數(shù)中，至少有一個能被10整除.（1986年上海初中數(shù)學競賽題）100個正整數(shù)之和為101101,則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少?證明你的結論.練習參考答案1.B.B.A2.(1)25?55,(2)27.3.由2000a為一整數(shù)平方可推出a二5.4.反證法.若是121的倍數(shù)，設n'+2n+12=121k=(n+1)2=11(11k-1).?/11是素數(shù)且除盡(+1):???11除盡n+1=11?除盡(n+1)之或ii|iik-1,不可能.5.由+246是d的111倍，兒可能是198,309,420,531,642,753；又五是18的倍數(shù)，，而只能是198.而198+246=444,???d=4,abed是1984.7.(1)11n+2+122n+,=121X11n+12X144n=121X11n+12X11n-12X11n4-12X144=…=133X11n+12X(144n-11n).第一項可被133整除.又144-11|144“-11”，??.133111n+24-122n+,.(2)11改為a.12改為a+1,133改為a(a+1)+1.改動后命題為a(a+1)+1Ia"?+(a4-1)2n+,,可仿上證明.8.a'b—ab3=ab(a2—b3)；同理有b(b2—c3)；ca(c1—a2).若a、b、c中有偶數(shù)或均為奇數(shù)，以上三數(shù)總能被2整除.又???在a、b、c中若有一個是5的倍數(shù)，則題中結論必成立.若均不能被5整除，則a2,b2,c?個位數(shù)只能是1,4,6,9,從而az-b?,b2-c2,。2—@2的個位數(shù)是從1,4,6,9中，任取三個兩兩之差，其中必有0或±5,故題中三式表示的數(shù)至少有一個被5整除，又2、5互質.9.設100個正整數(shù)為a-a2,…，a100,最大公約數(shù)為d,并令% (1 ￡100).則a1+az+…+aioo=d(aj+a2'+…+a