安徽省黃山市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(含答案)_第1頁
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高二數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘滿分:150分)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在試卷上無效.3.非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B,則等于A.6 B. C. D.2.設(shè)為定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A.線段 B.直線 C.圓 D.橢圓3.已知直線l的一個(gè)方向向量為,直線l的傾斜角為,則的值為A. B.0 C. D.24.設(shè),則是直線與直線平行的A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi),O是平面ABC外任意一點(diǎn),實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值為A. B. C.1 D.6.已知P是直線l:上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為A.B. C. D.7.已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓QUOTEx2a2+y2b2=1(a>b>0)上,邊和分別經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn),且A. B. C. D.第8題第8題圖且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬。如圖,在E、F分別為PD,PB的中點(diǎn),,,,若AG⊥平面EFC,則=A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是A.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B.過,兩點(diǎn)的直線方程為C.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2第10題圖10.如圖,直三棱柱中,,,D、E分別為、的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是第10題圖A.∥B.直線DE與平面所成角的正弦值為C.平面與平面ABC夾角的余弦值為D.DE與所成角為11.已知AC為圓錐SO底面圓O的直徑,,,點(diǎn)B為圓O上異于A、C的一點(diǎn),M為線段SC上的動(dòng)點(diǎn)(異于端點(diǎn)),則A.直線SB與平面SAM所成角的最大值為B.圓錐SO內(nèi)切球的體積為C.棱長(zhǎng)為的正四面體可以放在圓錐SO內(nèi)D.當(dāng)M為SC的中點(diǎn)時(shí),滿足的點(diǎn)B有2個(gè)第12題圖O12.第12題圖OF1、F2為左右焦點(diǎn),下列命題正確的是A.P為橢圓上一點(diǎn),線段PF1中點(diǎn)為Q,則為定值B.直線與橢圓交于R,S兩點(diǎn),A是橢圓上異與R,S的點(diǎn),且、均存在,則C.若橢圓上存在一點(diǎn)M使,則橢圓離心率的取值范圍是D.四邊形ABCD為橢圓內(nèi)接矩形,則其面積最大值為2ab三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知空間向量,,則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.14.已知P為圓上一點(diǎn),則點(diǎn)到P點(diǎn)的距離的最大值為.15.若關(guān)于的不等式的解集是QUOTE0,32,則QUOTEk值是________.16.半徑為R的球面上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn),,則的最大值為.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)如圖,三棱錐中,點(diǎn)D、E分別為和的中點(diǎn),設(shè),,.(1)試用,,表示向量;(2)若,,求異面直線AE與CD所成角的余弦值.18.(本小題滿分12分)已知直線.=1\*GB3①若直線l不經(jīng)過第二象限,求k的取值范圍.=2\*GB3②若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積為時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求此時(shí)相應(yīng)的直線l的方程.19.(本小題滿分12分)如圖,△與△都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面ABD平面ABC,EC平面ABC且.(1)證明:CD平面ABE(2)求平面CED與平面BDE的夾角的大小.20.(本小題滿分12分)已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程(2)若點(diǎn)B為直線QUOTEx+2y+2=0上一點(diǎn),過點(diǎn)B作圓M的切線,切點(diǎn)分別為C、D,若QUOTEBC⊥CD,求點(diǎn)B的坐標(biāo).21.(本小題滿分12分)如圖,在五面體ABCDEF中,底面ABCD為正方形,側(cè)面CDEF為等腰梯形,二面角E-CD-A為直二面角,,.(1)求點(diǎn)F到平面ABCD的距離;(2)及平面ABCD所成角相等,求λ的值.22.(本小題滿分12分)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,短軸端點(diǎn)分別為、.若四邊形為正方形,且.(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若、分別是橢圓長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)在橢圓上,且滿足,求證定值(為坐標(biāo)原點(diǎn));QUOTE在此處鍵入公式。(3)在(2)條件下,試問在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使PD⊥MN,若存在,求坐標(biāo),若不存在,說明理由.“八校聯(lián)盟”2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.題號(hào)12345678答案CAABDBAC二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.題號(hào)9101112答案ADABCACACD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(23,23,13)14.815.2QUOTE2+33四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解:(1)…………4分(2)由題意可得: ………………5分 ………………6分…………………8分 ………9分∴異面直線AE和CD所成角的余弦值為357. ………… 18.解:(1)解:由題意可知直線l:y=kx-2k+1(k?R)?y=k(x-2)+1易知直線l過定點(diǎn)(2,1) ………………2分當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí),可得k=1?當(dāng)k≥12時(shí),直線l不經(jīng)過第二象限. ……………………(2)解:由題意可知k<0,∵直線l:y=kx-2k+1與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別是A(2?1k,0),B(0,1-2k) ………?SΔAOB=12|2-1k|×|1-2k|=12×(2k-1)當(dāng)k<0時(shí),由SΔAOB=9212×4k2-4k+1-k=1即:4k2+5k+1=0∴k=-1或k=-14 ………………………10即:直線l的方程為y=-x+3或y=-14x+32 …………………19.解:證明:取AB中點(diǎn)F,連接CF,DF∵ΔABC,ΔABD都是正三角形∴AB⊥CF,AB⊥DF,又CF∩DF=F∴AB⊥面CDF∴AB⊥CD …………………………2分又平面ABC⊥平面ABD∴DF⊥面ABCDF=3 …………………3分又CE⊥面DBC且EC=3∵DF∥CEDF=CEDF⊥CF∵CFDE是正方形∴CD⊥EF ………………………5分又EF∩AB=F∴CD⊥平面ABE. …………………6分(2)由(1)知AB、CF,DF兩兩重直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于x軸垂直面CEDF∴平面CDE的法向量為m=1,0,0又B(1,0,0)D(0,0,3)E(O,3,3)∴BD=(-1,0,3)BE=(-1,3,3) ………8分設(shè)平面BDE的法向量n=(x,y,z)則n令x=3,n=(3,0,1) ……………………10分∴cos∴平面CDE與平面BDE的夾角為π6 ………20.解:(1)由題意得:OM=(x,y)AM=(x-4,y-2)∴ ……………………2分即∴M的軌跡方程為 ………………4分(2)由題意可知:B為直線3x-y+3=0上一點(diǎn),又BC、BD分別與圓M相切于點(diǎn)C、D,且BC⊥BD.連接MC、MD,易知四邊形BCMD為正方形. ………6分∵四邊形BCMD為正方形,且|MC|=|MD|=|BC|=|BD|=5∴|BM|=10 ………8分設(shè)B(x,y),則:3x-y+3=0(x-2)2+(y-1)2解得x=-1y=0或x=15y=185 ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為-1,0或15,185 21.解:(1)如圖,過點(diǎn)F作FO⊥DC于點(diǎn)O,連接OA.因?yàn)槎娼荅-CD-A為直二面角,所以平面CDEF⊥平面ABCD,又平面CDEF∩平面ABCD=CD,F(xiàn)O?平面CDE,所以FO⊥平面ABCD,因?yàn)镺A?平面ABCD,所以FO⊥OA. ………………2分因?yàn)樗倪呅蜟DEF為等腰梯形,AB=CD=2EF=4,所以O(shè)D=3,所以AO=5 …………………4分又AF=33,所以FO=2,即點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2. ………………5分(2) 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)D,OF所在直線分別為x,z軸,過點(diǎn)O作平面CDEF的垂線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則A(3,4,0),D(3,0,0),E(2,0,2),F(xiàn)(0,0,2),P(-1,2,0), ………………6分由AQ=λAE=(-λ,-4λ,2λ),得Q(3-λ,4-4λ,2∴PQ=(4-λ,2-4λ,2λ), ……………7分設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z),由DA=(0,4,0),DE=(-1,0,2),n?DA=0令z=1,則n=(2,0,1). ……………………9分又易知平面ABCD的一個(gè)法向量m=(0,0,1). …………10分設(shè)直線PQ與平面ADE所成角為θ,與平面ABCD所成角為α,則sinθ=sinα,∴n?PQnPQ=整理得423=2λ,由λ>0,得λ=433.22.解:(1)依題證得且,∴ ………………2分故橢圓方程為 ………

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