四川省成都市嘉祥教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2023－2024學(xué)年度高一上學(xué)期半期監(jiān)測(cè)試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．在作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)涂寫(xiě)在試卷和答題卡規(guī)定的地方．考試結(jié)束，請(qǐng)監(jiān)考人員將答題卡收回．2．選擇題部分用2B鉛筆填涂；非選擇題部分使用毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在答題卡上各題目對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題均無(wú)效．4．保持答題卡清潔，不得折疊、污染、破損等．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若集合，則集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由并集運(yùn)算的定義可得.【詳解】，，根據(jù)并集運(yùn)算的定義可得，.故選：A.2.已知，，下列對(duì)應(yīng)法則不可以作為從到的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)法則中的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，A中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，B中對(duì)應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，C中的對(duì)應(yīng)法則不能作為從到的函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，且，D中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù).故選：C.3.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】取特殊值可判斷ACD，利用不等式的性質(zhì)判斷B.【詳解】對(duì)A，取，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由不等式性質(zhì)知，，則正確，故B正確；對(duì)C，取時(shí)，由可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，時(shí)，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.【詳解】解不等式得，不等式化為，所以，因?yàn)闉榈恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.函數(shù)的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用配方法整理分母，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由，則.故選：B6.若，則最小值為（）A.12 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意確定，且，將變形為，展開(kāi)后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，故選：D7.近來(lái)豬肉價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周?第二周的豬肉價(jià)格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購(gòu)買(mǎi)豬肉的方式不同，甲每周購(gòu)買(mǎi)20元錢(qián)的豬肉，乙每周購(gòu)買(mǎi)6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價(jià)為分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的大小無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】分別計(jì)算甲?乙購(gòu)買(mǎi)豬肉的平均單價(jià)，作商法，結(jié)合基本不等式比較它們的大小.【詳解】甲購(gòu)買(mǎi)豬肉的平均單價(jià)為：，乙購(gòu)買(mǎi)豬肉平均單價(jià)為：，顯然，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因?yàn)閮纱钨?gòu)買(mǎi)的單價(jià)不同，即，所以，即乙的購(gòu)買(mǎi)方式平均單價(jià)較大.故選：C.8.函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)都有，且對(duì)任意的，不等式恒成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析得到函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對(duì)任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再轉(zhuǎn)化為，得，恒成立，再分兩種情況，得到的范圍.【詳解】由題得函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對(duì)任意的，不等式恒成立，則不等式，恒成立，則，恒成立，得，得，恒成立，則且，或且，恒成立，即當(dāng)時(shí)，且，或且，又當(dāng)，有，，得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生分析能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，綜合能力強(qiáng)，難度大.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列各組中M，P表示相同集合的是（

）A.M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B.M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C.M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D.M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)相同集合的意義，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閚∈Z，則n+1∈Z，因此集合M，P都表示所以偶數(shù)組成的集合，A正確，對(duì)于B，M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}，即B正確，對(duì)于C，M，P因此C正確，對(duì)于D，集合M的元素是實(shí)數(shù)，集合P的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此D不正確.故選：ABC10.關(guān)于函數(shù)，正確的說(shuō)法是（）A.與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)B.的值域?yàn)镃.在單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求值、值域的定義、函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性，可得答案.【詳解】對(duì)于A，令，則，由，則，解得，所以函數(shù)圖象與軸交唯一一點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)，顯然，則，所以函數(shù)的值域，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：ABD.11.若，，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可判斷A正確，B正確，C正確；取特值可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?，，?duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，取，，得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12.設(shè)函數(shù)，其中表示x，y，z中的最小者．下列說(shuō)法正確的有（

）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖象并求出函數(shù)解析式，再逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示：對(duì)于A，觀察圖象得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因此，，為偶函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，的圖象可看做是的圖象向右平移兩個(gè)單位而得，經(jīng)過(guò)平移后，的圖象總是在圖象的下方，即恒成立，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，的圖象可看做是的圖象向右平移兩個(gè)單位而得，而經(jīng)過(guò)平移后，函數(shù)的圖象有部分在函數(shù)的圖象下方，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，令，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，成立，即當(dāng)時(shí)，，D正確．故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.冪函數(shù)在上的單調(diào)性是_________．（填“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”）【答案】單調(diào)遞增【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，所以?xún)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故答案為:單調(diào)遞增.14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則=_________．【答案】－3【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.故答案為：15.已知集合，集合，且為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用集合交集的結(jié)果求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)闉檎婷}，所以,又因?yàn)?，，（i）當(dāng)，即，時(shí)，滿(mǎn)足題意；（ii）當(dāng)，即，時(shí)，要使，則或，解得，綜上所述，或，故答案為:.16.已知函數(shù)，若，且，設(shè)，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由此可得,，進(jìn)而得=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖所示：由題意可得,且有，即，所以=，因?yàn)?，?duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知集合，集合．（1）求和；（2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】17.；18.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，可得答案；（2）根據(jù)并集的結(jié)果，建立不等式組，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，可得，所以，．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，若，所以解得，所以a的取值范圍是．18.已知函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）由單調(diào)性的定義直接證明即可；（2）結(jié)合單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于m的不等式求解．【小問(wèn)1詳解】證明：，，任取，可知，因?yàn)?，所以，，，所以，即，故在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：在上單調(diào)遞增，所以，可得，解得故實(shí)數(shù)m的范圍是．19.已知實(shí)數(shù)，且，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值，并指出取最小值時(shí)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1），，最小值（2）【解析】【分析】(1)當(dāng)時(shí)，由已知可得，然后利用乘法，結(jié)合基本不等式可求.(2)當(dāng)時(shí)，變成，結(jié)合基本不等式可求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闀r(shí)，已知等式即為，結(jié)合,所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并結(jié)合,解得，時(shí)，等號(hào)成立．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，已知等式即為注意到，所以等號(hào)取得的條件是.所以的取值范圍是.20.目前，我國(guó)的水環(huán)境問(wèn)題已經(jīng)到了刻不容緩的地步，河道水質(zhì)在線(xiàn)監(jiān)測(cè)COD傳感器針對(duì)水源污染等無(wú)組織污染源的在線(xiàn)監(jiān)控系統(tǒng)，進(jìn)行24小時(shí)在線(xiàn)數(shù)據(jù)采集和上傳通訊，并具有實(shí)時(shí)報(bào)警功能及統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告，對(duì)保護(hù)環(huán)境有很大幫助．該傳感器在水中逆流行進(jìn)時(shí)，所消耗的能量為，其中v為傳感器在靜水中行進(jìn)的速度（單位：km∕h），t為行進(jìn)的時(shí)間（單位：h），k為常數(shù)，如果待測(cè)量的河道的水流速度為3km∕h．設(shè)該傳感器在水中逆流行進(jìn)10km消耗的能量為E．（1）求E關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)v為多少時(shí)傳感器消耗的能量E最?。坎⑶蟪鯡的最小值．【答案】（1）（v＞3）（2）v=6km∕h，最小值120k．【解析】【分析】（1）求出傳感器在水中逆流行進(jìn)10km所用的時(shí)間，表達(dá)出所消耗的能量；（2）變形后，利用基本不等式求出最小值，得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，該傳感器在水中逆流行進(jìn)10km所用的時(shí)間（），則所消耗的能量（）．【小問(wèn)2詳解】有當(dāng)且僅當(dāng)，即v=6km∕h時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值．21.已知命題滿(mǎn)足，命題滿(mǎn)足．（1）若存在，p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，解不等式，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)必要不充分條件，將題意寫(xiě)成集合，利用分類(lèi)討論思想，可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，所以．而，，∴，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．小問(wèn)2詳解】設(shè)集合，．若p是q的必要不充分條件，則真包含于．當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，且，解得；當(dāng)時(shí)，，且，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．22.對(duì)于函數(shù)，若，則稱(chēng)為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱(chēng)為的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，，那么，（1）求函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”；（2）求證：；（3）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）“穩(wěn)定點(diǎn)”為；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】本題拿出一個(gè)概念來(lái)作為新型定義題，只需要去對(duì)定義的理解就好，要求函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”只需求方程中的值，即為“穩(wěn)定點(diǎn)”若，有這是不動(dòng)點(diǎn)的定義，此時(shí)得出，，如果，則直接滿(mǎn)足.先求出即存在“不動(dòng)點(diǎn)”的條件，同理取得到存在“穩(wěn)定點(diǎn)”的條件，而兩集合相等，即條件所求出的結(jié)果一直，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)討論.【詳解】（1）由有，得：，所以函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”為；（2）證明：