2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題03 一線三等角模型證全等（原卷版）

專題03一線三等角模型證全等模型感知1．【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請(qǐng)根據(jù)以下問(wèn)題，把你的感知填寫出來(lái)：如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；如圖2，為正三角形，，則________；如圖3，正方形的頂點(diǎn)B在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、C作于E，于F．若，，則的長(zhǎng)為________．類型一一線三直角證全等2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過(guò)程）；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過(guò)程）．3．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，于點(diǎn)C，于點(diǎn)G，由（1）易知_______，與直線l交于點(diǎn)P，求證：．類型二一線非直角證全等4．（1）如圖1，直線m經(jīng)過(guò)等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A，在直線m上取兩點(diǎn)D，E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°．求證：BD＋CE＝DE；（2）將（1）中的直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖2的位置，并使∠ADB＝120°，∠AEC＝120°．若BD＝3，CE＝7，求DE的長(zhǎng)．5．已知：是經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F是直線上兩點(diǎn)，．（1）若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，．①如圖1，，，直接寫出，，間的等量關(guān)系：__________．②如圖2，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出與的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明；（2）如圖3，若直線經(jīng)過(guò)的外部，，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進(jìn)行證明．類型三綜合運(yùn)用6．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若，則______．7．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．8．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到__________，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】（2）如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；【深入探究】（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、=、＜”）（4）如圖，點(diǎn)、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．9．（1）【問(wèn)題情境】八上《伴你學(xué)》第138頁(yè)有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，把一塊三角板（）放入一個(gè)“”形槽中，使三角形的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動(dòng)，已知，在滑動(dòng)過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)線段與有什么關(guān)系？試說(shuō)明你的結(jié)論；（2）【變式探究】小明在解決完這個(gè)問(wèn)題后，將其命名為“一線三等角”模型；如圖2，在中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，若，則這三個(gè)相等的角之間的聯(lián)系又會(huì)使圖形中出現(xiàn)其他的一些等角．請(qǐng)你寫出其中的一組，并