2022-2023學年八年級數(shù)學?？键c精練（蘇科版）：專題08 三角形全等中的數(shù)學活動（解析版）

專題08三角形全等中的數(shù)學活動活動一邊邊角特殊情況下證全等1．教材呈現(xiàn)：如圖為華師版八年級上冊數(shù)學教材第65頁的部分內(nèi)容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的角形有多少種？（1）[操作發(fā)現(xiàn)]如圖1，通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時（即“邊邊角”對應相等）的兩個三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究證明]閱讀并補全證明已知：如圖2，在ABC和DEF中，∠B＝∠E，AC＝DF，∠C+∠F＝180°（∠C＜∠F）．求證：AB＝DE．證明：在BC上取一點G，使AG＝AC．∵AG＝AC，∴∠C＝．又∵∠C+∠F＝180°，而∠AGC+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝．∵AC＝DF，∴AG＝又∵∴ABC≌DEF（AAS）．∴AB＝DE．（3）[拓展應用]在ABC中，AB＝AC，點D在射線BA上，點E在AC的延長線上，且BD＝CE，連結(jié)DE，DE與BC邊所在的直線交于點F．①當點D在線段BA上時，如圖3所示，求證：DF＝EF．②過點D作DH⊥BC交直線BC于點H，若BC＝4，CF＝1，則BH＝（直接寫出答案）．【答案】（1）不一定；（2）∠AGC，∠F，DF，∠B＝∠E；（3）①見詳解；②1或3【解析】【分析】（1）根據(jù)SSA可知兩個三角形不一定全等；（2）在BC上取一點G，使AG＝AC，根據(jù)AAS證明ABG≌DEF，即可得到結(jié)論；（3）①過點D作DG∥AC，證明，即可得到結(jié)論；②分兩種情況：當點D在線段AB上時，過點E作EO⊥BC交BC的延長線于點O；當點D在BA的延長線上時，過點E作EO⊥BC交BC的延長線于點O，分別證明，，進而即可求解．【詳解】解：（1）通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時（即“邊邊角”對應相等）的兩個三角形不一定全等，故答案是：不一定；（2）證明：在BC上取一點G，使AG＝AC．∵AG＝AC，∴∠C＝∠AGC．又∵∠C+∠F＝180°，而∠AGC+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝∠F．∵AC＝DF，∴AG＝DF又∵∠B＝∠E∴ABG≌DEF（AAS）．∴AB＝DE．故答案是：∠AGC，∠F，DF，∠B＝∠E；（3）①過點D作DG∥AC，∴∠DGB=∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠DGB=∠B，∴BD=GD，∵BD＝CE，∴GD=CE，∵DG∥AC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，∴，∴DF＝EF；②當點D在線段AB上時，過點E作EO⊥BC交BC的延長線于點O，∵∠B=∠ACB=∠OCE，∠DHB=∠EOC=90°，BD=CE，∴，∴BH=CO，∴HO=HC+CO=HC+HB=BC=4，∵∠DHF=∠EOF=90°，∠DFH=∠EFO，DF＝EF，∴，∴HF=OF=2，∵CF=1，∴BH=CO=2-1=1；當點D在BA的延長線上時，過點E作EO⊥BC交BC的延長線于點O，同理：，，∴HO=HC+CO=HC+HB=BC=4，HF=OF=2，∵CF=1，∴BH=CO=2+1=3；故答案是：1或3．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．【問題提出】學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．【深入探究】第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．【答案】（1）HL；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；（4）∠B≥∠A．【解析】【詳解】（1）解：HL；（2）證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，AC=DF，CG=FH∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如圖，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．活動二構(gòu)造HL證全等3．數(shù)學課上，老師在黑板上展示了如下一道探究題：在中，，，點D，E分別在邊AC，AB上，且，試探究線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系．(1)初步嘗試如圖①，若，請?zhí)骄緼E和AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)類比探究如圖②，若，小組討論后，有小組利用120°的角作垂線構(gòu)造直角三角形，通過證明兩次三角形全等，得到AE和AD的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請你寫出推理過程；(3)延伸拓展如圖③，將第（2）中的“點E在邊AB上”改為“點E在邊BA的延長線上”，其它條件不變，請?zhí)骄緼E和AD的數(shù)量關(guān)系（用含m的式子表示），并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)見解析(3)，理由見解析【解析】【分析】（1）證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．（2）過點C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點B作BN⊥CA交CA的延長線于N．證△CAM≌△BAN（AAS），得CM＝BN，AM＝AN，再證Rt△CME≌Rt△BND（HL），得EM＝DN，可得結(jié)論．（3）在AB上取一點E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AT＝m，可得結(jié)論．(1)∵，又∵，，∴，∴．(2)如圖（1）中，過點C作交BA的延長線于M，過點N作交CA的延長線于N．∵，，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴．(3)如圖（2）中，結(jié)論：．理由：在上取一點，使得，則．過點C作于T．∵，，∴，∵，∴，∵，∵，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．活動三截長補短證全等4．數(shù)學課上，李老師提出問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證：AE＝EF．經(jīng)過思考，小聰展示了一種正確的解題思路．取AB的中點H，連接HE，則△BHE為等腰直角三角形，這時只需證△AHE與△ECF全等即可．在此基礎(chǔ)上，同學們進行了進一步的探究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（不含點B，C）的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程，如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，如果點E是邊BC延長線上的任意一點，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小麗提出：如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點O與點B重合，正方形的邊長為1，當E為BC邊上（不含點B，C）的某一點時，點F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，請直接寫出此時點E的坐標．【答案】（1）正確，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，證明過程見解析；（2）是；（3）點E（，0）．【解析】【分析】（1）在AB上截取BH＝BE，連接HE，由“ASA”可證△AHE≌△ECF，繼而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得結(jié)論；（2）在BA的延長線上取一點N，使AN＝CE，連接NE，由“ASA”可證△AHE≌△ECF，繼而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得結(jié)論；（3）在BA上截取BH＝BE，連接HE，過點F作FM⊥x軸于M，設(shè)點E（a，0），由等腰直角三角形的性質(zhì)可得HE＝a，由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得點F坐標，代入解析式求得a的值，即可求解．【詳解】（1）仍然成立，如圖2，在AB上截取BH＝BE，連接HE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵BH＝BE，AB＝BC，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）如圖3，在BA的延長線上取一點N，使AN＝CE，連接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF，故答案是：是；（3）如圖4，在BA上截取BH＝BE，連接HE，過點F作FM⊥x軸于M，設(shè)點E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝＝a，∴BM＝1+a，∴點F（1+a，a），∵點F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴點E（，0）．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的應用，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．活動四尺規(guī)作圖中的全等5．下面是某數(shù)學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應的任務．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為P，垂足分別為點G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡述理由如下：由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．……任務：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是_______（填序號）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如圖2，連接EF．①求證：△CEF≌△DFE；②求證：△PEF是等腰三角形；③小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由．【答案】（1）⑤；（2）①證明見解析；②證明見解析；③射線是的平分線，證明見解析【解析】【分析】（1）因為小明的證明條件為∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，即兩對直角相等，一對直角邊相等，一對斜邊相等，故為HL證明依據(jù)．（2）①由等邊對等角得，再由一條公共邊EF和重合的部分得出，即，SAS為依據(jù)可證明△CEF≌△DFE．②由①問所證△CEF≌△DFE，則對應角相等，再由等角對等邊可得，即△PEF是等腰三角形③可由全等得出，得出OP是的垂直平分線，又因為②可知是等腰三角形，由等腰三角形三線合一可知也是的平分線．【詳解】（1）∵小明的證明條件為∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP為HL證明方法，故選⑤；（2）證明：①即又②由①知：即：是等腰三角形；③射線是的平分線，理由如下：（方法不唯一）是的垂直平分線又是等腰三角形平分（三線合一）【點睛】本題考查了全等三角形的判斷及性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)．一般三角形的判定方法1．定義法:能夠完全重合的兩個三角形全等；2．SAS：兩條邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等；3．ASA：兩個角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；4．AAS：兩個角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等；5．SSS：三條邊對應相等的兩個三角形全等．直角三角形證明全等斜邊、直角邊定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．等腰三角形性質(zhì)有底邊上的中線及高線，與頂角的角平分線三線合一．反之仍然成立，用這個性質(zhì)可以證明這個三角形為等腰三角形．垂直或邊相等．活動五和角分線結(jié)合的全等6．問題情境：七下教材第149頁提出這樣一個問題：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點E、F，PE與PF相等嗎？(1)七年級學習這部分內(nèi)容時，我們還無法對這個問題的結(jié)論加以證明，八下教材第59頁第11題不僅對這一問題給出了答案：“通過實驗可以得到PE＝PF”，還要求“現(xiàn)在請你證明這個結(jié)論”，請你給出證明：變式拓展：(2)如圖2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點，∠EPF＝60°，PE邊與OA邊相交于點E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點F．試解決下列問題：①PE與PF還相等嗎？為什么？②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)①PE＝PF；理由見解析；②OE﹣OF＝OP；理由見解析【解析】【分析】（1）由題意過點P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論．（2）①由題意過點P作PM⊥OB于M，PN⊥