2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題12 共定點(diǎn)等邊三角形的六大結(jié)論及應(yīng)用（解析版）

專題12共定點(diǎn)等邊三角形的六大結(jié)論及應(yīng)用六大結(jié)論基本模型：如圖，△ABC和△CDE是共頂點(diǎn)（C）三角形，則有以下六大結(jié)論.結(jié)論1：△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE結(jié)論2：∠AOB=60°結(jié)論3：△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC結(jié)論4：△PCQ是等邊三角形結(jié)論5：∴結(jié)論6：點(diǎn)C在∠AOE的平分線上1．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），在同側(cè)分別作正三角形和正三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接。求證：①；②；③；④；⑤；⑥是等邊三角形；⑦點(diǎn)在的平分線上解：如圖1所示：∵△ABC和△CDE是正三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴結(jié)論①正確；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，

故⑤正確，又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=60°，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC，故③正確，∴△PCQ是等邊三角形，故⑥正確∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠CPQ=∠ACB=60°，∴，故②正確，若DE=DP，∵DC=DE，∴DP=DC，∴∠PCD=∠DPC，又∵∠PCD=60°，∴∠DPC=60°與△PCQ是等邊三角形相矛盾，假設(shè)不成立，∴結(jié)論④錯(cuò)誤；過點(diǎn)C分別作CM⊥AD，CN⊥BE于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，如圖2所示：∵CM⊥AD，CN⊥BE，∴CM=CN，又∵OC在∠AOE的內(nèi)部，∴點(diǎn)C在∠AOE的平分線上，∴結(jié)論⑦正確；2．已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．(1)求∠DOE的度數(shù)；(2)試判斷△MNC的形狀，并說明理由；(3)連接OC，求證：OC是∠AOE的平分線．【答案】(1)∠DOE的度數(shù)是60°(2)△MNC是等邊三角形，理由見解析(3)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可證明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差關(guān)系及外角性質(zhì)可得∠AOE=120°，根據(jù)平角定義即可得答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得AM＝BN，利用SAS可證明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差關(guān)系可得∠MCN＝60°，即可證明△MNC是等邊三角形；（3）連接OC，過C作CG⊥AD，垂足為G；過C作CH⊥BE，垂足為H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論．(1)∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵等邊三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，＝∠BEC＋60°＋∠BED，＝∠CED＋60°，＝60°＋60°，＝120°，∴∠AOE=120°，∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)△MNC是等邊三角形，理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等邊三角形．(3)連接OC，過C作CG⊥AD，垂足為G；過C作CH⊥BE，垂足為H．∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，∴，∴CG＝CH，∵CG⊥AD，CH⊥BE，∴OC是∠AOE的平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形外角性質(zhì)及角平分線的判定定理，能夠熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題關(guān)鍵．3．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作兩個(gè)等邊三角形△ABD，△ACE．連接BE、CD交點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）求證：AF+BF+CF=CD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，延長(zhǎng)FB至K，使FK＝DF，連DK，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵△ABD和△ACE為等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAB=60°，∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．在△ACD和△AEB中，∵，∴△ACD≌△AEB(SAS)；（2）由（1）知∠CDA=∠EBA，如圖∠1=∠2，∴180°﹣∠CDA﹣∠1=180°﹣∠EBA﹣∠2，∴∠DAB=∠DFB=60°，如圖，延長(zhǎng)FB至K，使FK=DF，連DK，∴△DFK為等邊三角形，∴DK=DF，∴△DBK≌△DAF(SAS)，∴BK=AF，∴DF=DK，F(xiàn)K=BK+BF，∴DF=AF+BF，又∵CD=DF+CF，∴CD=AF+BF+CF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．已知為等邊三角形．（1）如圖1，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，連接，求證：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，以為邊作等邊三角形，求證：無論點(diǎn)D的位置如何變化，的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P始終在的角平分線上．（3）如圖3，以為腰作等腰直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F．試判斷線段，，之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3），證明見解析．【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，得到，則問題可證；（2）過點(diǎn)P作PN⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，作PM⊥BD于M，先證明△PAN≌△PDM，得出PN=PM，再證，根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論；（3）在上截，連接，證，再證為等邊三角形即可得出結(jié)論【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，∴．∴，即．在和中，，∴．（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，交射線BA于點(diǎn)N，∴，∵為內(nèi)角平分線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，即無論點(diǎn)D的位置如何變化，的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P始終在的角平分線上．（3）在上截，連接，∵，∴，在和中，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴∵E為斜邊中點(diǎn)，∴，∴∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)P．【觀察猜想】①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是；②∠APD的度數(shù)為．【數(shù)學(xué)思考】如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明；【拓展應(yīng)用】如圖3，點(diǎn)E為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為．【答案】【觀察猜想】：①AE＝BD．②∠APD＝60°．理由見解析；【數(shù)學(xué)思考】：結(jié)論仍然成立，證明見解析；【拓展應(yīng)用】：50.【解析】【分析】觀察猜想：證明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°；數(shù)學(xué)思考：結(jié)論成立，證明方法類似；拓展應(yīng)用：證明AC⊥BD，可得S四邊形ABCD＝?AC?DP+?AC?PB＝?AC?（DP+PB）＝?AC?BD．【詳解】觀察猜想：結(jié)論：AE＝BD．∠APD＝60°．理由：設(shè)AE交CD于點(diǎn)O．∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，∵∠AOC＝∠DOP，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，即∠APD＝60°．故答案為AE＝BD，60°．?dāng)?shù)學(xué)思考：結(jié)論仍然成立．理由：設(shè)AC交BD于點(diǎn)O．∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，即∠APD＝60°．拓展應(yīng)用：設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，∴∠AEC＝∠DEB∴△AEC≌△DEB（SAS），∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，∵∠BOP＝∠EOC，∴∠BPO＝∠CEO＝90°，∴AC⊥BD，∴S四邊形ABCD＝?AC?DP+?AC?PB＝?AC?（DP+PB）＝?AC?BD＝50．故答案為50．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．6．已知，點(diǎn)是線段所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以、為邊，在同側(cè)作等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是:________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在直線外，且，仍分別以、為邊，在同側(cè)作等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)．(1)的結(jié)論是否還存在？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．此時(shí)是否隨的大小發(fā)生變化？若變化，寫出變化規(guī)律，若不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)如圖3，在(2)的條件下，聯(lián)結(jié)，求證：平分．【答案】(1)；(2)成立，證明見解析，；(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）直接寫出答案即可．（2）證明ΔACD≌ΔECB，得到∠CEB=∠CAD，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；借助內(nèi)角和定理即可解決問題．（3）過點(diǎn)C分別作CM⊥AD于M，CN⊥EB于N，由ΔACD≌ΔECB，得到CM=CN，從而得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；在△ACD與△ECB中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECB，CD=CB，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，故答案為AD=BE．（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．證明如下：∵ΔACE和ΔBCD是等邊三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠BCE=∠ACD，在ΔACD和ΔECB中，∵AC=EC，∠BCE=∠ACD，CD=CB，∴ΔACD≌ΔECB，∴AD=BE．∵ΔACD≌ΔECB，∴∠CAD=∠CEB，∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠CAE+∠CEA=120°，∴∠APE=60°；（3）過點(diǎn)C分別作CM⊥AD于M，CN⊥EB于N，∵ΔACD≌ΔECB，∴CM=CN，∴CP平分∠DPE．【點(diǎn)睛】該題以等邊三角形為載體，主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．7．如圖，已知△CAD與△CEB都是等邊三角形，BD、EA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△DCB．（2）求∠F的度數(shù)．（3）若AD⊥BD，請(qǐng)直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CB=CE，CD=CA，∠BCE=∠DCA=60°，由全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)BC與EF相交于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)垂直的定義得到∠ADF=90°，求得∠DAF=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=2DF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）∵△CAD與△CEB都是等邊三角形，∴CB＝CE，CD＝CA，∠BCE＝∠DCA＝60°，∴∠BCD＝∠ECA，∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）設(shè)BC與EF相交于G，由（1）可知△ACE≌△DCB，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°，而∠BGF＝∠AGC，∴∠F＝∠BCE＝60°；（3）EF＝BD+2DF，理由如下：∵AD⊥BD，∴∠ADF＝90°，∵∠F＝60°，∴∠DAF＝30°，∴AF＝2DF，∵△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，∴EF＝AE+AF＝BD+2DF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）求∠CAM的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；（3）當(dāng)動(dòng)D在直線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．故答案為：30°；（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線，平分，即，．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，是定值，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．9．已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠ACD＝58°，求∠BCE的度數(shù)．（2）如圖2，將圖1中△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD，AE中的一條線段上）①請(qǐng)直接寫出∠EFB與∠ECB的數(shù)量關(guān)系；②若∠ACD＝α，試探究∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．（3）如圖3，若∠ACD＝α，連AB，求∠BAE一∠ABD的值．【答案】（1）58°；（2）①∠EFB=∠ECB；②∠AFB=180°-α；（3）α【解析】【分析】（1）根據(jù)∠BCE=∠ACD即可得出答案；（2）①先根據(jù)SAS得出△ACE≌△DCB，得出∠CBD=∠AEC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等即可得出答案；②由∠EFB=∠ECB，∠BCE=∠ACD＝α，再根據(jù)平角的定義得出答案；（3）延長(zhǎng)EA交BD于F，BC交EF于M，得出∠BAE一∠ABD=∠BFE，再根據(jù)∠BFE=∠BCE=∠ACD=α即可得出答案；【詳解】解：（1）∵∠ACD=∠BCE，∠ACD＝58°，∴∠BCE=58°（2）①∠EFB=∠ECB，理由如下：∵∠ACD=∠BCE∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE∴∠ACE=∠DCB在△ACE和△DCB中∴△ACE≌△DCB

∴∠CBD=∠AEC，設(shè)BF交CE于點(diǎn)O∵∠COB=∠FOE，∴∠EFB=∠ECB②∠AFB=180°-α，理由如下：∵∠EFB=∠ECB，∠BCE=∠ACD＝α，∴∠EFB=∠ECB=∠ACD=α∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α.（3）如圖3，延長(zhǎng)EA交BD于F，則∠BAE-∠ABD=∠BFE又由（1）知△ACE≌△DCB∴∠BCD=∠ECA

∠DBC=∠AEC設(shè)BC交EF于M，此時(shí)∠BMF=∠EMC∴∠BFE=∠BCE∵∠BCD=∠ECA∴∠BCD+∠BCA=∠ECA+∠BCA∴∠BCE=∠ACD=α∴∠BFE=∠BCE=∠ACD=α∴∠BAE-∠ABD的值為α.【點(diǎn)睛】本題幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ACE≌△DCB．10．如圖1，點(diǎn)M為銳角三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接．以為一邊向外作等邊三角形，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：；（2）若的值最小，則稱點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)，求此時(shí)的度數(shù)；（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)的一個(gè)方法嗎？請(qǐng)利用圖2畫出草圖，并說明作法以及理由．【答案】（1）見解析；（2）：；；（3）見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明ΔBMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度數(shù)；（3）根據(jù)（2）中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上，因此線段EC和BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【詳解】解：（1）證明：∵為等邊三角形，∴．而，∴．在與中，∴．（2）連接．由（1）知，．∵，∴為等邊三角形．∴．∴．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。藭r(shí)，：；．（3）如圖2，分別以的，為一邊向外作等邊和等邊，連接，相交于M，則點(diǎn)M即為的費(fèi)馬點(diǎn)，由（2）知，的費(fèi)馬點(diǎn)在線段上，同理也在線段上．因此線段與的交點(diǎn)即為的費(fèi)馬點(diǎn)．（方法不唯一，正確即可）【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵