2022-2023學年八年級數(shù)學常考點精練（蘇科版）：專題40 一次函數(shù)中的將軍飲馬（解析版）

專題40一次函數(shù)中的將軍飲馬1．如圖，在平面直角坐標系中，線段所在直線的解析式為，是的中點，是上一動點，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關于的對稱點，連接，與的交點，即符和條件的點，再求出，的坐標，根據(jù)勾股定理求出的值，即為的最小值．【詳解】作點關于的對稱點，連接交于，此時，的值最小，最小值為的長，∵線段所在直線的解析式為，∴，，∴，，是的中點，∴，∵是點關于的對稱點，∴，，，∴四邊形是正方形，∴，∴的最小值是．故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)求點的坐標和性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，掌握軸對稱最短路徑的確定方法是解題的關鍵．2．如圖，已知點C（1，0），直線y＝﹣x＋8與兩坐標軸分別交于A、B兩點，D、E分別是AB、OA上的動點，則△CDE周長的最小值是_____．【答案】【分析】點C關于OA的對稱點C′（-1，0），點C關于直線AB的對稱點C″（8，7），連接C′C″與AO交于點E，與AB交于點D，此時△DEC周長最小，可以證明這個最小值就是線段C′C″．【詳解】解：如圖，點C關于OA的對稱點C′（-1，0），點C關于直線AB的對稱點C″，∵直線AB的解析式為y=-x+8，設直線CC″的解析式為y=x+b，將C（1，0）代入，得：b=-1，∴直線CC″的解析式為y=x-1，由y=?x+8y=x?1，解得：，∴直線AB與直線CC″的交點坐標為K（，），∵K是CC″中點，∴可得C″（8，7）．連接C′C″與AO交于點E，與AB交于點D，此時△DEC周長最小，△DEC的周長=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、兩點之間距離公式等知識，解題的關鍵是利用對稱性在找到點D、點E位置，屬于中考?？碱}型．3．如圖所示，直線y＝x+4與兩坐標軸分別交于A，B兩點，點C是OB的中點，D，E分別是直線AB和y軸上的動點，則CDE周長的最小值是____________．【答案】【分析】作點關于的對稱點，關于的對稱點，連接，，F(xiàn)B，F(xiàn)G，由軸對稱的性質(zhì)，可得，，故當點，，，在同一直線上時，的周長，此時周長最小，依據(jù)勾股定理即可得到的長，進而得到周長的最小值．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，關于的對稱點，連接，，F(xiàn)B，F(xiàn)G，直線與兩坐標軸分別交于、兩點，∴令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝－4，，，∴，又∵點是的中點，∴，∵點C與點G關于對稱，∴，，∴，∵，，，又∵點C與點F關于AB對稱，，，，，∵，，∴的周長，當點，，，在同一直線上時，的周長最小，為FG的長，∵在中，，周長的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，軸對稱最短問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是利用軸對稱的性質(zhì)找到點、點位置，屬于中考?？碱}型．4．如圖1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PB，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則的最小值是_________．【答案】【分析】設，過點作軸，證明，求得的坐標，求得點的軌跡，作如圖，作關于的對稱點，連接交軸于點，則，求得的坐標，繼而根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，設，過點作軸，，，，，，，，，，，點在上，如圖，作關于的對稱點，連接交軸于點，則，令，得，則，的最小值．故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標與圖形，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得點的坐標是解題的關鍵．5．閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC、BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關于x軸的的的點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【靈活運用】如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），連接AC、CD、DB，則AC+CD+DB的最小值是___________，此時a=__________．并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），C是一次函數(shù)y=x圖像上一點，CD與y軸垂直且CD=2（點D在點C右側），連接AC、CD、AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是________________，此時點C的坐標是________________．【答案】[嘗試解決]7；[靈活運用]，2；[拓展提升]，【分析】嘗試解決：根據(jù)作圖痕跡分析出，小明的做法是先將A向右平移2個單位長度，再利用對稱的性質(zhì)，兩點之間線段最短得到D點的位置，進而得到C點的位置．寫出，坐標，利用兩點間距離公式求解即可；靈活運用：借助上一問的思路，CD的長度一定，利用平移和對稱，轉化求其最小值；拓展提升：按照前面的思路，CD的長度一定，利用平移，找到兩個固定點與在一條直線上運動的點，利用對稱求最小值．【詳解】解：[嘗試解決]：由題意得，，，，，AC+CD+DB的最小值是7，故答案為：7．[靈活運用]：先將A點向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1，與x軸的交點即為D點，以D點為圓心，的長度為半徑畫圓，與直線的交點即為C點，連接AC、CD、BD，此時AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD．作圖如下：由作圖得，，且，四邊形是平行四邊形，且，，，，最小值為，此時a為C點的橫坐標2，故答案為：，2．[拓展提升]：先將A點向右平移2個單位長度得到，得到平行四邊形，，而AC+CD+DA中，CD為定值2，即求的最小值，由題意得：D點在直線上，作點A關于直線的對稱點，連接交直線于點B，連接，與直線的交點為點D，D點向左平移2個單位為C點，如圖：與直線垂直，設直線的解析式為，將代入得：，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，，是的中點，設，，解得，，設直線的解析式為，將，代入得，，解得，直線的解析式為，點是直線與直線的交點，解得，，點是由D點向左平移2個單位長度所得到的點，，此時，，故答案為：，．【點睛】本題考查平移和對稱中的最短路徑問題，還涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求關于直線的對稱點等，綜合性較強，對學生的作圖能力、類比推理能力、計算能力要求都比較高，屬于壓軸題，解題的關鍵是掌握對稱的性質(zhì)，通過作圖找出最短路徑．6．如圖，在平面直角坐標系中，直線是第一、三象限的角平分線．（1）實驗探究：由圖觀察易知A（0，2）關于直線的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3），C（﹣2，5）關于直線的對稱點B′，C′的位置，并寫出他們的坐標：B′．C′；（2）歸納發(fā)現(xiàn)：結合圖形觀察以上三組點的坐標，直接寫出坐標面內(nèi)任一點P（a，b）關于第一，三象限的角平分線的對稱點P′的坐標為；（請直接寫出答案）（3）運用拓展：已知兩點D（1，﹣3），E（﹣1，﹣4），試在直線上確定一點Q，使的周長最小，①求點Q的坐標；②周長的最小值．【答案】（1）圖見解析，，；（2）；（3）①點Q的坐標為（，）；②【分析】（1）借助網(wǎng)格，根據(jù)軸對稱的定義畫出各點關于直線的對稱點，即可解答．（2）由（1）中坐標得出規(guī)律，即可求出關于第一、三象限的角平分線的對稱點的坐標．（3）①由（2）得，D（1，－3）關于直線的對稱點D`的坐標（－3，1），連接D′E交直線于點Q，得QD′=QD，QD+QE=QD′+QE=D′E，根據(jù)兩點之間線段最短，此時點Q到D、E兩點之間的距離的和最小，聯(lián)立；②作出點的對稱點，連接，與直線的交點即為所求點，利用勾股定理可得周長．【詳解】解：（1）如圖，由點關于直線軸對稱可知：，，故答案為：、（2）由（1）的結果可知，坐標平面內(nèi)任一點關于第一、三象限的角平分線的對稱點的坐標為，故答案為：；（3）①由（2）得，D（1，－3）關于直線的對稱點D`的坐標（－3，1），連接D′E交直線于點Q，QD′=QD，QD+QE=QD′+QE=D′E，根據(jù)兩點之間線段最短，此時點Q到D、E兩點之間的距離的和最小．即QD+QE的最小值為線段D′E的長．設過點D′（-3，1）、E（-1，-4）的直線的解析式為y=kx+b（k≠0），并代入得，解得，直線D′E的解析式為：y=，直線是第一、三象限的角平分線，直線的解析式為y=x，聯(lián)立，得到，所求點Q的坐標為（，），②由（2）得，關于直線的對稱點的坐標為，連接交直線于點，此時點到、兩點的距離之和最小，，，周長的最小值．【點睛】本題主要考查作圖軸對稱變換和軸對稱最短路線問題，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)．7．如圖，平面直角坐標系中有兩點A(1，3)、B(3，－1)，完成下列問題：(1)求出經(jīng)過A、B兩點的一次函數(shù)表達式；(2)點E是y軸上一點，連接AE、BE，當AE＋BE取最小值時，點E的坐標為；(3)若點C（1，－2），在線段AC上找一點F，使點F到AB、BC的距離相等（請在圖中標注出點F的位置）．【答案】(1)y＝－2x＋5(2)（0，2）(3)見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解直線的解析式即可；（2）如圖，作關于軸的對稱點，連接交軸于則此時最短，再求解的解析式，求解直線與軸的交點坐標即可；（3）如圖，取格點連接則與的交點即為所求作的點再利用勾股定理的逆定理與等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理可得作法符合要求.（1）解：設直線為將A(1,3),B(3,-1)代入解析式解得：所以直線為（2）解：如圖，作關于軸的對稱點，連接交軸于則此時最短，則設為解得：所以為令則（3）解：如圖，取格點連接則與的交點即為所求作的點理由如下：同理可得：平分到的距離相等.【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，利用軸對稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，勾股定理的逆定理的應用，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練的運用勾股定理的逆定理與角平分線的性質(zhì)是解本題的關鍵.8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數(shù)的圖象為直線l，已知兩點A（0，1）、B（0，3）．（1）在直線l位于第一象限的部分找一點C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圓規(guī)作出點C（不寫畫法，保留作圖痕跡）；（2）直接寫出點C的坐標為；（3）點P在x軸上，求PA+PC的最小值．【答案】（1）見解析；（2）（4，2）；（3）PA+PC的最小值是5【分析】（1）作線段AB的垂直平分線交直線l于點C即為所求；（2）由線段垂直平分線的定義得點D是線段AB的中點，則D（0，2），CD∥x軸，將y＝2代入y＝x得x＝4，即可得點C的坐標；（3）作點A關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，則，要使最小，即最小，故當、，三點共線時，最小，最小值為，由此求解即可．【詳解】解：（1）作線段AB的垂直平分線交直線l于點C即為所求，∵CD是線段AB的垂直平分線，∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA；（2）∵CD是線段AB的垂直平分線，∴點D是線段AB的中點，CD∥x軸，∵A（0，1）、B（0，3）．∴D（0，2），將y＝2代入y＝x得x＝4，∴點C的坐標為（4，2），故答案為：（4，2）；（3）作點A關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，∴，∴要使最小，即最小，∴當、，三點共線時，最小，最小值為，∵A（0，1），∴（0，﹣1），∵C（4，2），∴，∴PA+PC的最小值是5．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，一次函數(shù)圖像上的點的坐標特征，軸對稱最短路徑問題，兩點距離公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．9．如圖所示，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于點M、N，以線段MN為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△MNC，∠NMC＝90°．（1）求點M、N的坐標；（2）求點C的坐標；（3）若點P是x軸上的一個動點，設P（x，0），是否存在這樣的點P，使得|PN﹣PC|的值最大？如果不存在，請說明理由；如果存在，請求出點P的坐標．【答案】（1）求點M的坐標為（4，0），點N的坐標為（0，3）；（2）點C的坐標為（7，4）；（3）存在，P點坐標為（﹣21，0）．【分析】（1）在直線中，分別令y＝0，求x的值，令x＝0，求y的值，從而確定M，N點的坐標；（2）過點C作CD⊥x軸，垂足為點D，利用AAS定理判定△MON≌△CDM，然后利用全等三角形的性質(zhì)求解；（3）當P、N、C三點共線時，|PN﹣PC|取最大值，延長CN交x軸于點P，利用待定系數(shù)法求直線NC的解析式，從而求得P點坐標．【詳解】解：（1）由直線，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝3，則點M的坐標為（4，0），點N的坐標為（0，3）；（2）如圖所示，過點C作CD⊥x軸，垂足為點D，∵∠NMC＝90°，∴∠NMO+∠CMD＝90°，∠MCD+∠CMD＝90°，∴∠NMO＝∠MCD，又∵MN＝MC，∠MON＝∠CDM＝90°，∴△MON≌△CDM（AAS），∴ON＝DM，CD＝OM，∴OD＝OM+MD＝OM+ON＝4+3＝7，∴點C的坐標為（7，4）；（3）存在這樣的點P，延長CN交x軸于點P，此時|PN﹣PC|的值最大．設直線CN的解析式為y＝kx+b，將C（7，4）、N（0，3）代入，得，解得：，所以直線CN的解析式為令y＝0，得解得：x＝﹣21，∴P點坐標為（﹣21，0），即存在這樣的點P，使得|PN﹣PC|的值最大，此時P點坐標為（﹣21，0）．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識．此題難度適中，理解一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．10．如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于點A，B，以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作等腰，．設直線BC的解析式為，與x軸交于點D．(1)求A，B兩點的坐標，并直接寫出的解析式；(2)若射線BC上存在一點P，使得四邊形AOBP的面積為4，求點P的坐標．(3)若點M為x軸上的動點，點N為直線BC上的動點，直接寫出的最小值．【答案】(1)，；(2)（-2，2）(3)【分析】（1）分別將x=0，y=0代入，即可得出點A和點B得坐標，（2）連接AP，過點P作于點E，四邊形AOBP的面積為，設點，求出m即可．（3）作點C關于x軸的對稱點，過點作⊥CB于點N，交x軸于點M，連接，根據(jù)勾股定理，求出CN的長度，在求出的長度即可．(1)解：將代入得，將代入得，∴，；如圖1，過點C作CE⊥x軸于點E∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC，∠BAC=90°∵∠CAE+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°∴∠CAE=∠ABO∵AB=AC，∠CAE=∠ABO，∠CEA=∠A0B∴△CEA≌△A0B∴AE=BO=1，CE=A0=3則C（-4，3）把C（-4，3），代入得，，解得，∴．(2)解：連接AP，過點P作于點E，如圖2，令，，∴，∴，∵四邊形AOBP的面積為4，∴，設點，∴，∴，∴，，∴點P的坐標為（-2，2）．(3)解：如圖3，作點C關于x軸的對稱點，過點作⊥CB于點N，交x軸于點M．,∵C（-4，3）∴（-4，-3）∴當y=0時，0=，解得x=2，即D（2，0）CD=，設CN=x，則DN=連接，則=CD=∵解得：∴∵CM+MN=+MN=∴CM+MN最小是【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)與直角三角形相結合，熟練的掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式，根據(jù)函數(shù)表達式設出未知點，以及會用勾股定理求解線段的長度是解題的關鍵．11．在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣2x+a與y軸交于點A，與直線y＝x+1交于點P（3，b），B為直線y＝x+1上一點．（1）求a，b的值；（2）當線段AB最短時求點B的坐標；（3）在x軸上找一點C，使AC﹣PC的值最大，請寫出點C的坐標并求最大值．【答案】（1）a＝10，b＝4；（2）B（）；（3）C（5，0），【分析】（1）首先把點P（3，b）代入直線y＝x+1得出b的值，再進一步代入直線y＝﹣2x+a求得a的值即可；（2）當AB⊥直線y＝x+1時，線段AB最短，進而得出B的坐標即可；（3）點A關于x軸對稱的點A'為（0，﹣2），進而解答即可．【詳解】解：（1）把點P（3，b）代入直線y＝x+1，解得：b＝4，把P（3，4）代入y＝﹣2x+a，解得：a＝10，∴a＝10，b＝4；（2）當AB⊥直線y＝x+1時，線段AB最短，把直線y=x+1與y軸的交點（0，1）標記為E，由（1）可得A（0，10），且是等腰直角三角形，∴∴B的橫坐標為，縱坐標為，∴；（3）當A，P，C三點一線時，AC﹣PC最大即為AP，解0=-2x+10得x=5∴C（5，0）AP＝．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合題，解題的關鍵是根據(jù)一次函數(shù)圖象是點的坐標特征與垂線段最短的性質(zhì)解答，結合圖形，選擇適當?shù)姆椒ㄟM行解答．12．如圖，已知A（2，3），B（0，2），在x軸上找一點C，使得|AC﹣BC|的值最大，則此時點C的坐標為__．【答案】（﹣4，0）【分析】連接AB交x軸于點C，此時＝AB值最大，求出直線AB的解析式，令y＝0，即可找到點C坐標．【詳解】解：如圖所示，連接AB交x軸于點C，此時＝AB值最大，即點C為所求的點．設直線AB的解析式為y＝kx+b，代入點A（2，3），B（0，2），得，解得：．故直線AB解析式為y＝x+2．令y＝x+2中y＝0，則得x＝﹣4，故點C坐標為（﹣4，0）．故答案為：（﹣4，0）．【點睛】本題主要考察用待定系數(shù)法求一次函數(shù)圖象的解析式，結合圖形，明確直線AB與x軸的交點C是使＝AB值最大的點是解題的關鍵．13．如圖，在平面直角坐標系中，將等腰三角形ABC的底邊AB放在x軸上，頂點C放在y軸正半軸上，已知AB＝8，AC＝5．點D為線段BC上一動點，分別過D作DE⊥x軸，DF⊥y軸，垂足分別為E、F．（1）直接寫出點C坐標，并求出直線BC的解析式；（2）當四邊形OEDF是正方形時，求動點D的坐標；（3）P為y軸上一動點，在（2）的結論下，連接PD、PB，當PB+PD取最小值時，求動點P的坐標．【答案】（1）C點坐標為（0，3），y＝﹣x+3；（2）D（，）；（3）P（0，）【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，可知，由待定系數(shù)法可求直線的解析式為；（2）設，由四邊形是正方形，則，可得，即可求，；（3）連接交軸于點，此時值最小為，由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，則可求．【詳解】解：（1）是等腰三角形，，，，軸，，點坐標為，，，設直線的解析式為，則有，，；（2）點為線段上一動點，設，四邊形是正方形，，，，，；（3）連接交軸于點，與關于軸對稱，，此時值最小，設直線的解析式為，則有，，，令，則，．【點評】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練應用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵．14．已知直線：與軸交于點，直線：與軸交于點，直線、交于點，且點的橫坐標為1．（1）求直線的解析式和點的坐標．（2）直線與軸交于點，將向上平移9個單位得，與軸、軸分別交于點、，點為上一動點，連接、，當?shù)闹荛L最小時，求的周長和點的坐標．（3）將繞點逆時針旋轉，使旋轉后的直線過點，過點作平行于軸，點、分別為直線、上兩個動點，是否存在點、點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）的周長最小值為，，；（3）或，．【分析】（1）先將點的橫坐標代入直線，求出點坐標，再將點C的坐標代入直線，可求出直線的解析式，進而求出點的坐標；（2）利用平移求出的解析式，構造點關于的對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)求得點Q的坐標，利用兩點之間線段最短找到點的坐標，再利用勾股定理求出的周長；（3）構造全等三角形，利用全等邊相等，列出方程組，進而求出的坐標．【詳解】解：（1）將代入直線，得，故點的坐標為，將的坐標代入直線，得：，解得，直線，令，則，解得，故點的坐標為，（2）∵直線為向上平移9個單位所得，∴直線的解析式為：，令，得，令，得，故點，點的坐標分別為，，∴OE＝OF＝6，又∵∠EOF＝90°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵直線與軸交于點，∴令，得，故點的坐標為，∴BE＝OE－OB＝6－4＝2，取點關于的對稱點，連接QE，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠QEF＝∠OEF＝45°，QE＝BE＝2，PQ＝BP，∴∠BEQ＝∠QEF＋∠OEF＝90°，即：QE⊥x軸，∴點Q的坐標為（6，2），連接，設直線的解析式為，將（6，