北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題2.1 一元二次方程的定義及解【八大題型】（舉一反三）（教師版）

專題2.1一元二次方程的定義及解【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1一元二次方程的識別】 9【題型2由一元二次方程的定義求字母的取值范圍】 11【題型3由一元二次方程的定義求字母的值】 12【題型4一元二次方程的一般形式】 13【題型5由一元二次方程的解求字母的值】 14【題型6由一元二次方程的解求代數(shù)式的值】 15【題型7由一元二次方程的解求代數(shù)式的值（降次）】 17【題型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】 18【知識點(diǎn)1一元二次方程的定義】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.【題型1一元二次方程的識別】【例1】（2023秋?恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x?1x=A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，當(dāng)a＝0時(shí)不是一元二次方程；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；④3x?1x=故選：A．【變式1-1】（2023秋?蓬溪縣期末）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1x=4；④x2A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【解答】解：①符合一元二次方程定義，正確；②方程含有兩個(gè)未知數(shù)，錯(cuò)誤；③不是整式方程，錯(cuò)誤；④符合一元二次方程定義，正確；⑤符合一元二次方程定義，正確．故選：B．【變式1-2】（2023秋?滎陽市校級月考）下列方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的有（）①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③a2+a﹣x＝0；④（x+1）2＝2x2﹣9；⑤x2﹣y2＝3．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合題意；②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合題意；③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合題意；④（x+1）2＝2x2﹣9是一元二次方程，符合題意；⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合題意意．故選：A．【變式1-3】（2023秋?義馬市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)）；⑦1x2+1x?2＝0；⑧（x+1）（xA．2 B．3 C．4 D．6【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①y2+2x＝0含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；②x2＝0是一元二次方程；③（x2﹣1）2＝1，未知數(shù)的最高次數(shù)是4次，不是一元二次方程；④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)），當(dāng)a＝0時(shí)，不是一元二次方程；⑦1x2+⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知數(shù)，不是一元二次方程．所以屬于一元二次方程的有②④，共2個(gè)．故選：A．【題型2由一元二次方程的定義求字母的取值范圍】【例2】（2023秋?龍崗區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠±1 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)為任何實(shí)數(shù) D．不存在【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，可得a2+1不可能為0，∴a為任何實(shí)數(shù)．故選：C．【變式2-1】（2023秋?河口縣期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義列出關(guān)于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，n＝2，解得m≠2，n＝2．故選：B．【變式2-2】（2023秋?龍江縣期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是．【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義得出a﹣2≠0，求出即可．【解答】解：ax2+2x﹣1＝2x2，（a﹣2）x2+2x﹣1＝0，∵關(guān)于x的方程ax2+2x﹣1＝2x2是一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2，故答案為：a≠2．【變式2-3】（2023?湘橋區(qū)一模）若方程（m﹣1）x2+m?x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．【分析】直接利用一元二次方程的定義得出關(guān)于m的不等式，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+m?x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，∴m≥0且m﹣1≠0，∴m≥0且m≠1，故答案為：m≥0且m≠1．【題型3由一元二次方程的定義求字母的值】【例3】（2023春?瑯琊區(qū)校級月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求出答案．【解答】解：由題意可知：|m|?1=2m+3≠0，解得：m＝3，故選：A．【變式3-1】（2023秋?望城區(qū)期末）若關(guān)于x的方程(m?2)xm2?2+4x?7=0A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵關(guān)于x的方程(m?2)xm2∴m?2≠0m2?2=2解得：m＝﹣2．故選：C．【變式3-2】（2023秋?太平區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，則a的值是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，解得：a＝﹣1，故選：A．【變式3-3】（2023?張家港市一模）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程(m+2)xm2?2?3x?2a=0的解，則m﹣1+a【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得m的值，再將x＝1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求式子計(jì)算即可．【解答】解：由題意得：m+2≠0m2?2=2解得m＝2，故關(guān)于x的一元二次方程為4x2﹣3x﹣2a＝0，因?yàn)閤＝1是關(guān)于x的一元二次方程(m+2)xm2所以4﹣3﹣2a＝0，解得a=12，所以m﹣1+a=2?1+故答案為：1．【知識點(diǎn)2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；項(xiàng)．【題型4一元二次方程的一般形式】【例4】（2023秋?雙峰縣期末）將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式時(shí)，它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)，a≠0）判斷即可．【解答】解：將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式為：2x2+3x﹣1＝0，∴它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為：2x2，3，﹣1，故選：B．【變式4-1】（2023秋?黔西南州期末）若（1﹣m）xm2+1+3mx﹣2＝0是關(guān)于A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義求m，再求系數(shù)．【解答】解：由題意得：1?m≠0m2解得：m＝﹣1．∴該方程的一次項(xiàng)系數(shù)為：3m＝﹣3．故選：C．【變式4-2】（2023春?花山區(qū)校級月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】方程整理為一般系數(shù)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，即可確定出a的值．【解答】解：方程整理得：x2﹣ax+1＝0，∵結(jié)果一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，∴﹣a＝﹣1，即a＝1．故選：B．【變式4-3】（2023秋?寶山區(qū)校級月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項(xiàng)，則m，n＝．【分析】先將已知方程整理為一元二次方程的一般形式，然后根據(jù)一元二次方程的定義得到：二次項(xiàng)系數(shù)不為0；結(jié)合不含x的一次項(xiàng)知，一次項(xiàng)系數(shù)為0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．根據(jù)題意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，解得m≠±2，n＝7．故答案是：≠±2，7．【知識點(diǎn)3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【題型5由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（2023春?溫州期中）若關(guān)于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個(gè)根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解關(guān)于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故選：B．【變式5-1】（2023秋?五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一個(gè)根為x＝0，則k的值是（）A．7 B．316 C．4 D．﹣7【分析】把x＝0代入方程中，就可以求出k的值．【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一個(gè)根為0，∴把x＝0代入此方程，有：﹣k﹣7＝0，∴k＝﹣7．故選：D．【變式5-2】（2023秋?海淀區(qū)校級期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一個(gè)解為x＝0，則k為（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解關(guān)于k的方程，然后利用一元二次方程的定義確定k的值．【解答】解：把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解得k1＝1，k2＝﹣1，而k﹣1≠0，所以k＝﹣1．故選：C．【變式5-3】（2023秋?封丘縣期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【分析】把x＝0代入方程計(jì)算即可求出k的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，解得：k＝1或k＝﹣1，故選：C．【題型6由一元二次方程的解求代數(shù)式的值】【例6】（2023秋?開州區(qū)期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個(gè)解，則6a2﹣3a的值為9．【分析】把x＝a代入方程求得a2﹣a的值，然后根據(jù)6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）即可求解．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣a﹣3＝0，則2a2﹣a＝3，則6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）＝9．故答案是：9．【變式6-1】（2023秋?蓮池區(qū)期末）若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)根，則2023﹣2a+2b的值為．【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b＝1，再把2023﹣2a+2b變形為2023﹣2（a﹣b），然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2023﹣2a+2b＝2023﹣2（a﹣b）＝2023﹣2×1＝2023﹣2＝2023．故答案為：2023．【變式6-2】（2023秋?盱眙縣期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式a2?43a+6的值為．【分析】根據(jù)方程解的定義得到3a2﹣4a﹣3＝0，變形得到a2?43a＝1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意得3a2﹣4a﹣6＝0，∴a2?43a＝1，∴a2?43a+6＝1+6＝7．故答案為：7．【變式6-3】（2023?桂林模擬）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一個(gè)根，則8m﹣2m2+2的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先利用一元二次方程根的定義得到m2﹣4m＝﹣2，再把8m﹣2m2+2變形為﹣2（m2﹣4m）+2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一個(gè)根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝6．故選：B．【題型7由一元二次方程的解求代數(shù)式的值（降次）】【例7】（2023?遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2023的值為（）A．﹣2023 B．0 C．2023 D．4044【分析】將方程的根代入方程，化簡得m2+3m＝2023，將代數(shù)式變形，整體代入求值即可．【解答】解：∵m為方程x2+3x﹣2023＝0的根，∴m2+3m﹣2023＝0，∴m2+3m＝2023，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2023m+2023＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2023m+2023＝2023m﹣2023﹣2023m+2023＝0．故選：B．【變式7-1】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a3+2a+2023的值為（）A．2023 B．﹣2023 C．2023 D．﹣2023【分析】先利用一元二次方程解的定義得到a2＝a+1，再用a表示a3得到a3＝2a+1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2＝a+1，∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，∴﹣a3+2a+2023＝﹣（2a+1）+2a+2023＝﹣2a﹣1+2a+2023＝2023．故選：A．【變式7-2】（2023秋?泉州期末）已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．65【分析】把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對代數(shù)式進(jìn)行化簡求值．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的一個(gè)根，∴a2+a﹣8＝0∴a2+a＝8，∴a4+a3+8a﹣1＝a2（a2+a）+8a﹣1＝8a2+8a﹣1＝64﹣1＝63，故選：B．【變式7-3】（2023秋?石鼓區(qū)期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則a4﹣3a﹣2的值為．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．【解答】解：把x＝a代入方程可得，a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2＝（a+1）2﹣3a﹣2＝a2﹣a﹣1＝0．【題型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2023秋?曲靖期末）已知關(guān)于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根為±3，那么關(guān)于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的兩個(gè)根為±3，可得y【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程12022x2∴關(guān)于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，解得y＝﹣22和22．故答案為：﹣22和22．【變式8-1】（2023?啟東市二模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個(gè)根是x＝2023，則一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1必有一根為（）A．2023 B．2023 C．2023 D．2023【分析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1變形為a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于關(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個(gè)根是x＝2023，則關(guān)于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一個(gè)根是x＝2023，于是可判斷一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1必有一根為2023．【解答】解：一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1變形為a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，所以此方程可看作關(guān)于（x+2）的一元二次方程，因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個(gè)根是x＝2023，所以關(guān)于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一個(gè)根是x＝2023，即x+2＝2023，解得x＝2023，所以一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1必有一根為2023．故選：A．【變式8-2】（2023春?淄川區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根為2023，則