高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和增分練-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和板塊四模擬演練·提能增分[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析兩等式相減得a4－a3＝2a3，從而求得eq\f(a4,a3)＝3＝q.故選A.2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，由題可知q≠1，則a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴eq\f(1,16)×q6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×q3－1))，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝eq\f(1,2).故選C.3．[2018·江西九江一模]已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．2n－2－eq\f(1,4) B．2n－1－eq\f(1,2)C．2n－1 D．2n＋1－2答案B解析因?yàn)閍2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝eq\f(1,2)，所以Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).故選B.4．[2018·延慶模擬]等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(n＋1) B．n(n－1)C.eq\f(nn＋1,2) D.eq\f(nn－1,2)答案A解析∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,4)＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，將d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋eq\f(nn－1·2,2)＝n(n＋1)．故選A.5．[2015·全國(guó)卷Ⅱ]已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84答案B解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故選B.6．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a3a5＝eq\f(1,4)a1，且a4與a7的等差中項(xiàng)為eq\f(9,8)，則S5等于()A．35B．33C．31D．29答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，所以a3a5＝aeq\o\al(2,1)q6＝eq\f(1,4)a1，得a1q6＝eq\f(1,4)，即a7＝eq\f(1,4).又a4＋a7＝2×eq\f(9,8)，解得a4＝2，所以q3＝eq\f(a7,a4)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，a1＝16，故S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32))),1－\f(1,2))＝31.故選C.7．[2018·昆明模擬]設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(S4,S2)＝3，則eq\f(S6,S4)＝()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(3,10)D．1或2答案B解析設(shè)S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴eq\f(S6,S4)＝eq\f(7k,3k)＝eq\f(7,3).故選B.8．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則eq\f(b2,a1＋a2)的值為_(kāi)_______．答案eq\f(3,10)解析因?yàn)?，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以beq\o\al(2,2)＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以eq\f(b2,a1＋a2)＝eq\f(3,10).9．商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷(xiāo)售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷(xiāo)售限價(jià)a，最高銷(xiāo)售限價(jià)b(b>a)以及實(shí)數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱(chēng)為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)x的值等于________．答案eq\f(－1＋\r(5),2)解析已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因?yàn)閎>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1＋\r(5),2)或x＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去)．10．等比數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，則公比q＝________.答案2解析由題知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－eq\f(1,2)，又an＋1>an，故q＝2.[B級(jí)知能提升]1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，則x的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析解法一：∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)＝eq\f(x,3)·3n－eq\f(1,6)，由上述結(jié)論，得eq\f(x,3)＝eq\f(1,6)，∴x＝eq\f(1,2).解法二：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2.∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時(shí)也應(yīng)適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).故選C.2．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則mA．4B．7C．10D．12答案A解析因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又am－1am＋1－2am＝0，則aeq\o\al(2,m)－2am＝0.所以am＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前2m－1項(xiàng)積T2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)，即22m－1＝128，故m＝4.選A.3．[2016·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an答案64解析設(shè){an}的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－4(n∈N*)，即數(shù)列為遞減數(shù)列．當(dāng)n≤4時(shí)，an≥1；當(dāng)n≥5時(shí)，0<an<1，所以當(dāng)n＝3或4時(shí)，a1a2…an最大，又a2＝4，a3＝2，a4＝1，所以a1a2…an≤a1a2a3a44．[2017·北京高考]已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2＋a4＝10，所以2a1＋4d解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq\f(3n－1,2).5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an＋1＝3an－2an－1(n≥2)．(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝eq\f(2n－1,an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，得an＋1－an＝2(an－an－1)，因此數(shù)列{an＋1－an}是公比為2，首項(xiàng)為a2－a1＝2的等比數(shù)列．所以當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2×2n－2＝2n－1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1＋2n－2＋…＋2)＋2＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合，故an＝2n.(2)由(1)知bn＝eq\f(2n－1,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)①，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(5,24)＋…＋eq\f(2n－1,2n＋1)②，①－②，得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(2,23)＋eq\f(2,24)＋…＋eq\f(2,2n)－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(1,2)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22)＋\f(1,23)＋\f(1,24)＋…＋\f