清華工程流體力學(xué)課件第七章氣體一維高速流動

第七章氣體一維高速流動第一節(jié)微弱擾動波的傳播第二節(jié)氣體一維定常等熵流動第三節(jié)氣體一維定常等熵變截面管流

第四節(jié)正激波12/4/2023工程流體力學(xué)前幾章討論的是不可壓縮流體的流動，例如對于液體，即使在較高的壓強(qiáng)下密度的變化也很微小，所以在一般情況下，可以把液體看成是不可壓縮流體。對于氣體來說，可壓縮的程度比液體要大得多。但是當(dāng)氣體流動的速度遠(yuǎn)小于在該氣體中聲音傳播的速度〔即聲速〕時(shí)，密度的變化也很小。例如空氣的速度等于50m/s，這數(shù)值比常溫20℃下空氣中的聲速343m/s要小得多，這時(shí)空氣密度的相對變化僅百分之一。所以為簡化問題起見，通常也可忽略密度的變化，將密度近似地看作是常數(shù)，即在理論上把氣體按不可壓縮流體處理。當(dāng)氣體流動的速度或物體在氣體中運(yùn)動的速度接近甚至超過聲速時(shí)，如果氣體受到擾動，必然會引起很大的壓強(qiáng)變化，以致密度和溫度也會發(fā)生顯著的變化，氣體的流動狀態(tài)和流動圖形都會有根本性的變化，這時(shí)就必須考慮壓縮性的影響。氣體動力學(xué)就是研究可壓縮流體運(yùn)動規(guī)律以及在工程實(shí)際中應(yīng)用的一門科學(xué)。本章中僅主要討論氣體動力學(xué)中一些最根本的知識。12/4/2023工程流體力學(xué)第一節(jié)微弱擾動波的傳播一.微弱擾動波的一維傳播

如圖7-1所示，在一個(gè)截面積為A、足夠長的直圓管中充滿了靜止的氣體，將圓管左端的活塞以微小速度

向右輕微地推動一下，使活塞右側(cè)的氣體壓強(qiáng)升高一個(gè)微小增量，所產(chǎn)生的微弱壓強(qiáng)擾動向右傳播?；钊麑⑹紫葔嚎s緊貼活塞的那一層氣體，這層氣體受壓后，又傳及下一層氣體，這樣依次一層一層地傳下去，就在圓管中形成一個(gè)不連續(xù)的微弱的壓強(qiáng)突躍，就是壓縮波mn，它以速度向右推進(jìn)。壓縮波面mn是受活塞微小推移的影響而被擾動過的氣體與未被擾動過的靜止氣體的分界面。設(shè)在壓縮波前未被擾動過的靜止氣體的壓強(qiáng)為

、密度為

、溫度為，波后已被擾動過的氣體以與活塞的微小運(yùn)動同樣的微小速度

向右運(yùn)動，其壓強(qiáng)增高到

，密度和溫度也相應(yīng)增加到和。

12/4/2023工程流體力學(xué)圖7-1微弱擾動波的一維傳播12/4/2023工程流體力學(xué)顯然，這是不定常流動。為了得到定常流動，可以設(shè)想觀察者隨波面mn一起以速度c向右運(yùn)動。氣體相對于觀察者定常地從右向左流動，經(jīng)過波面速度由c降為c-dv，而壓強(qiáng)由p升高到p+dp，密度和溫度由

、增加到

、。如圖7-1(b)所示，取包圍壓縮波的控制面，根據(jù)連續(xù)性條件，在

時(shí)間內(nèi)流入和流出該控制面的氣體質(zhì)量應(yīng)該相等，即化簡后，得〔7-1〕由于壓縮波很薄，作用在該波上的摩擦力可以忽略不計(jì)。于是對于控制面，根據(jù)動量定理，沿氣體流動的方向，質(zhì)量為

的氣體的動量變化率等于作用在該氣體上的壓力之和，即或〔7-2〕12/4/2023工程流體力學(xué)由式〔7-1〕和式〔7-2〕得由于是微弱擾動，遠(yuǎn)小于，即，所以〔7-3〕式〔7-3〕與物理學(xué)中計(jì)算聲音在彈性介質(zhì)中傳播速度〔即聲速〕的拉普拉斯公式完全相同。可見氣體中微弱擾動波的傳播速度就是聲速。在式〔7-3〕的推導(dǎo)過程中，并未對介質(zhì)提出特殊要求，故該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性連續(xù)介質(zhì)。不同介質(zhì)的壓縮性不同，壓縮性小的擾動波傳播速度高，壓縮性大的擾動波傳播速度低，因此聲速值反映了流體可壓縮性的大小。式(7-3)是聲速的通用表達(dá)式，要計(jì)算某種流體中具有的聲速值，尚需確定和

的關(guān)系，以求出

的值。12/4/2023工程流體力學(xué)由于微弱擾動波的傳播過程進(jìn)行得很迅速，與外界來不及進(jìn)行熱交換，而且其中的壓強(qiáng)、密度和溫度變化極為微小，所以這個(gè)傳播過程可以近似地認(rèn)為是一個(gè)可逆的絕熱過程，即等熵過程。假定氣體是熱力學(xué)中的完全氣體，那么根據(jù)等熵過程關(guān)系式=常數(shù)和完全氣體狀態(tài)方程，可得代入式〔7-3〕，得〔7-4〕為絕熱指數(shù)為氣體常數(shù)，J/(kg·K)為熱力學(xué)絕對溫度，K對于空氣，,R=287J/(kg·K)。12/4/2023工程流體力學(xué)由式〔7-4〕可知，氣體中的聲速隨氣體的狀態(tài)參數(shù)的變化而變化。于是在同一流場中，各點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)假設(shè)不同，那么各點(diǎn)的聲速也不同。所以聲速指的是流場中某一點(diǎn)在某一瞬時(shí)的聲速，稱為當(dāng)?shù)芈曀佟Ｔ趯?shí)際計(jì)算中，通常用氣體速度與當(dāng)?shù)芈曀俚谋戎祦碜鳛榕袛鄽怏w壓縮性對流動影響的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即〔7-5〕稱為馬赫數(shù)，是一個(gè)無量綱數(shù)，也是氣體動力學(xué)中一個(gè)重要參數(shù)。我們常根據(jù)馬赫數(shù)的大小,把氣流分為亞聲速流<1，跨聲速流≈1，超聲速流1<<3和高超聲速流>3等幾類。亞聲速流動和超聲速流動有許多顯著的差異，我們將在以后各節(jié)中逐一介紹。12/4/2023工程流體力學(xué)二微弱擾動波的空間傳播前面討論了微弱擾動波的一維傳播，下面進(jìn)一步討論微弱擾動波在空間流場中的傳播。為了便于分析問題，假設(shè)流場中某點(diǎn)有一固定的擾動源，每隔1s發(fā)生一次微弱擾動，現(xiàn)在分析前3s產(chǎn)生的微弱擾動波在空間的傳播情況。由于不管流場是靜止的還是運(yùn)動的，是亞聲速的還是超聲速的，都將對微弱擾動波在空間的傳播情況產(chǎn)生影響，所以下面分四種情況來討論。1．靜止流場(V=0)在靜止流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波以聲速c向四周傳播，形成以擾動源所在位置為中心的同心球面波，微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(a)所示。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時(shí)間的延續(xù)，擾動必將傳遍整個(gè)流場。也就是說，微弱擾動波在靜止氣體中的傳播是無界的。12/4/2023工程流體力學(xué)2．亞聲速流場(V<c)在亞聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(b)所示。由于擾動源本身以速度運(yùn)動，故微弱擾動波在各個(gè)方向上傳播的絕對速度不再是當(dāng)?shù)芈曀賑，而是這兩個(gè)速度的矢量和。這樣，球面擾動波在順流和逆流方向上的傳播就不對稱了。但是由于V<c，所以微弱擾動波仍能逆流傳播，相對氣流傳播的擾動波面是一串不同心的球面波。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時(shí)間的延續(xù)，擾動仍可以傳遍整個(gè)流場。也就是說，微弱擾動波在亞聲速氣流中的傳播也是無界的。12/4/2023工程流體力學(xué)圖7-2微弱擾動波在靜止氣體中的傳播返回(1)(2)返回(3)(4)12/4/2023工程流體力學(xué)3．聲速流場〔v=c〕在聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(c)所示。由圖可見，由于V=c，所以擾動波已不能逆流向上游傳播，所有擾動波面是與擾動源相切的一系列球面。隨著時(shí)間的延續(xù)，球面擾動波不斷向外擴(kuò)大，但無論它怎樣擴(kuò)大，也只能在擾動源所在的垂直平面的下游半空間內(nèi)傳播，永遠(yuǎn)不可能傳播到上游半空間。也就是說，微弱擾動波在聲速氣流中的傳播是有界的。4．超聲速流場〔v>c〕

在超聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(d)所示。由圖可見，由于v>c，所以相對氣流傳播的擾動波不僅不能向上游傳播，反而被氣流帶向擾動源的下游，所有擾動波面是自擾動源點(diǎn)出發(fā)的圓錐面的一系列內(nèi)切球面，這個(gè)圓錐面就是馬赫錐。隨著時(shí)間的延續(xù)，球面擾動波不斷向外擴(kuò)大，但也只能在馬赫錐內(nèi)傳播，永遠(yuǎn)不會傳播到馬赫錐以外的空間。也就是說，微弱擾動波在超聲速氣流中的傳播也是有界的，界限就是馬赫錐。12/4/2023工程流體力學(xué)馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的夾角，稱為馬赫角，用表示。由圖7-2(d)可以容易地看出，馬赫角與馬赫數(shù)之間的關(guān)系為

〔7-6〕馬赫角從90°[這時(shí)相當(dāng)于擾動源以聲速V=c流動的情況，如圖7-2(c)所示]開始，隨著馬赫數(shù)的增大而逐漸減小。由于圓錐頂就是擾動源，所以當(dāng)物體以超聲速運(yùn)動時(shí)，它所引起的擾動不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受擾動的影響，微弱擾動波的影響僅在馬赫錐內(nèi)部，即微弱擾動波不能向馬赫錐外傳播。這就說明了，為什么以超聲速飛行的彈丸在附著于它頭部的波未到達(dá)觀察者的耳朵以前聽不到聲音的原故。12/4/2023工程流體力學(xué)上述關(guān)系也適用于氣流流過一靜止微小障礙物時(shí)的情況。假設(shè)氣體以與上述擾動源的運(yùn)動速度數(shù)值相等而方向相反的速度作等速直線運(yùn)動，那么擾動源就成為靜止微小障礙物，即圖7-2中的3點(diǎn)就是靜止擾動源，而擾動源所發(fā)出的擾動波〔圖中的各圓〕不斷地被氣流以速度-V帶走。很明顯，在〔即〕的亞聲速流動時(shí)，帶走的各擾動波在一定時(shí)間后可到達(dá)空間中的任何一點(diǎn)。也就是說，擾動波不僅能順流傳播，而且也能逆流傳播。但在〔即〕的超聲速流動時(shí)，帶走的各擾動波只能在馬赫錐內(nèi)順流傳播，不能逆流傳播，也就是說在超聲速流動中的微弱擾動不能傳播到整個(gè)空間。這就是超聲速流動和亞聲速流動的一個(gè)重要差異，從而使這兩種流動的圖形有著根本的不同。12/4/2023工程流體力學(xué)第二節(jié)氣體一維定常等熵流動在討論不可壓縮流體流動時(shí)，應(yīng)用連續(xù)性方程和伯努利方程就可以對許多問題求解。但是對于可壓縮流體——?dú)怏w流動僅僅應(yīng)用上面兩個(gè)根本方程還缺乏以求解，因?yàn)橛捎跉怏w密度的變化必然會引起熱力學(xué)狀態(tài)發(fā)生相應(yīng)的變化。就是說在氣流流動中，不僅它的力學(xué)狀態(tài)在發(fā)生變化，而且熱力學(xué)狀態(tài)也在隨著改變。因此必須把熱力學(xué)中的狀態(tài)方程和過程方程一并考慮，才能解決氣體流動問題。本節(jié)將只討論氣體的一維定常等熵流動，即假定氣體是完全氣體，在流動過程中與外界無熱交換，摩擦影響很小可以忽略不計(jì)。在一般情況下還認(rèn)為各參數(shù)僅在一個(gè)方向上有顯著的變化，而且變化是連續(xù)的、不隨時(shí)間而變化，這就是一維定常等熵流動。在許多實(shí)際流動問題中，例如氣體在噴管、擴(kuò)壓管和短葉柵中的流動都可以近似地認(rèn)為是一維定常等熵流動。12/4/2023工程流體力學(xué)一、氣體一維定常流動的根本方程1．連續(xù)性方程

由于氣體的密度在流動中是發(fā)生變化的，所以它的連續(xù)性方程不能像不可壓縮流體那樣按體積流量來計(jì)算，而需要用質(zhì)量流量來計(jì)算，即氣體在流管中流動時(shí)，每單位時(shí)間內(nèi)流過流管中任意兩個(gè)有效截面的質(zhì)量流量必定相等，即(7-7)也可以把連續(xù)性方程寫成微分形式，即對式(7-7)取對數(shù)后微分，得

(7-8)12/4/2023工程流體力學(xué)2．能量方程由于氣體的密度很小，所以質(zhì)量力可以忽略不計(jì)。氣體是一維定常流動，并令，，那么歐拉運(yùn)動微分方程可寫成或〔7-9〕將式〔7-9〕沿流管〔或流線〕進(jìn)行積分，得對于等熵流動，將等熵過程關(guān)系式常數(shù)，代入上式，得完全氣體一維定常等熵流動的能量方程為〔7-10〕顯然，這個(gè)方程只能用于可逆的絕熱流動。12/4/2023工程流體力學(xué)熱力學(xué)第一定律用于流體流動的能量關(guān)系式為在絕熱流動的條件下，，上式可寫成，積分可得能量方程的另一表達(dá)式〔7-11〕這個(gè)方程可用于可逆的絕熱流動，也可用于不可逆的絕熱流動，即式〔7-11〕在熵有增加〔有摩擦或其他不可逆因素〕的絕熱流動中也是正確的。因?yàn)樵谂c外界無熱交換的絕熱過程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全轉(zhuǎn)換為熱能，該熱能重又參加氣流中，使氣流中的熵增加。所以在絕熱流動中總能量不變，摩擦損失的存在只會使氣流中不同形式的能量重新分配，即一局部機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能，因而能量方程〔7-11〕的形式不變。12/4/2023工程流體力學(xué)對于完全氣體，存在以下關(guān)系代入式〔7-11〕，也可得到與式〔7-10〕同一形式的完全氣體一維定常等熵流動的能量方程?，F(xiàn)在來分析一下這個(gè)方程中各項(xiàng)的物理意義，可將式〔7-10〕改寫成〔7-12〕根據(jù)熱力學(xué)可知，對于完全氣體上式第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能u，即12/4/2023工程流體力學(xué)而式〔7-12〕的后兩項(xiàng)是單位質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)勢能和動能。所以完全氣體一維定常等熵流動的能量方程的物理意義是：在完全氣體一維定常等熵流動中，氣流流管任一有效截面〔或流線的任一點(diǎn)〕上單位質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)勢能、動能和內(nèi)能之和保持不變。由于，代入式〔7-10〕得到完全氣體能量方程的又一個(gè)表達(dá)式〔7-13〕12/4/2023工程流體力學(xué)二、滯止參數(shù)在實(shí)際工程上，為了分析和計(jì)算流動問題方便起見，常使用滯止參數(shù)這個(gè)概念，而且由于它比較容易測量，所以滯止參數(shù)得到廣泛的應(yīng)用。設(shè)想氣體流過流管的兩個(gè)有效截面時(shí)，在一個(gè)截面上完全滯止下來，也就是說，在這個(gè)截面上的氣流速度等于零。那么這個(gè)截面上的氣流狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)，滯止?fàn)顟B(tài)下各相應(yīng)參數(shù)稱為滯止參數(shù)，分別以、、、等表示之。氣體繞過一個(gè)物體時(shí)，在駐點(diǎn)處氣流受到阻滯，速度等于零，這一點(diǎn)的氣流狀態(tài)也是滯止?fàn)顟B(tài)。在滯止?fàn)顟B(tài)下式〔7-10〕、式〔7-11〕和式〔7-13〕可寫成〔7-14〕

〔7-15〕〔7-16〕12/4/2023工程流體力學(xué)由式〔7-14〕和式〔7-15〕可知，在滯止?fàn)顟B(tài)下氣流的動能全部轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，可以用滯止焓表示之，它表示單位質(zhì)量的氣流所具有的總能量，稱為總焓。式〔7-15〕又可改寫成〔7-17〕上式說明，滯止溫度要比氣流的溫度T高出，對于J/〔kg·K〕的空氣，那么高出12/4/2023工程流體力學(xué)例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約5K，也即約5℃?？梢姡瑢⒁粋€(gè)帶小玻璃球的普通水銀溫度計(jì)或熱電偶溫度計(jì)放在氣流中來測量氣流的溫度，讀出的溫度比氣流的溫度T要高。但小玻璃球上駐點(diǎn)處的溫度雖到達(dá)滯止溫度，但其上的其他各點(diǎn)的溫度升高要小一些，所以普通水銀溫度計(jì)上讀出的平均溫度比滯止溫度稍低一些。因此用任何靜止溫度計(jì)都不能直接測得氣流的真實(shí)溫度了，只有用與氣流同樣速度運(yùn)動的溫度計(jì)才能直接測得利用關(guān)系式和可將式〔7-17〕改寫為或〔7-18〕對于等熵氣流和12/4/2023工程流體力學(xué)將式〔7-18〕代入上兩式，得〔7-19〕〔7-20〕這樣，只要知道氣流的滯止參數(shù)和值，就可由式〔7-18〕、式〔7-19〕和式〔7-20〕以及，求得流管內(nèi)氣流在某指定截面上的溫度、壓強(qiáng)、密度和速度。反之，假設(shè)、、和也可求得、滯止參數(shù)、和。所以這三個(gè)公式是計(jì)算氣體一維定常等熵流動問題的根本公式。12/4/2023工程流體力學(xué)第三節(jié)氣體一維定常等熵變截面管流一、氣流速度與密度的關(guān)系由一維流動的運(yùn)動微分方程式〔7-9〕得變形得〔7-21〕由式〔7-21〕和能量方程式〔7-9〕可看出：〔1〕不管Ma>1，或Ma<l，只要>0，那么<0，<0；反之<0，那么>0，>0。這說明加速氣流〔>0〕，必引起壓強(qiáng)降低〔<0〕和氣體膨脹〔<0〕；而減速氣流〔<0〕，使壓強(qiáng)增加〔>0〕和氣體壓縮〔>0〕，即氣體流動伴隨著密度的變化。亞聲速氣流和超聲速氣流都具有上述性質(zhì)，但當(dāng)不同時(shí)，與的變化值不同。12/4/2023工程流體力學(xué)〔2〕Ma<l時(shí)密度相對變化量是小于速度的相對變化量，即<。Ma>1時(shí)，密度的相對變化量大于速度的相對變化量，即>。這種亞聲速和超聲速在變化數(shù)量上的差異，導(dǎo)致了亞聲速和超聲速在速度與通道截面形狀關(guān)系上本質(zhì)的差異。12/4/2023工程流體力學(xué)二、氣流速度與通道截面的關(guān)系由一維流動的運(yùn)動微分方程〔7-9〕，并利用和得

以上兩式與連續(xù)性方程的微分形式〔7-8〕各聯(lián)立一次，消去和，得到氣體的壓強(qiáng)變化率和速度變化率與通道截面變化率的兩個(gè)關(guān)系式，即〔7-22〕

〔7-23〕12/4/2023工程流體力學(xué)〔1〕Ma<1，亞聲速流動。與同號。而與異號。當(dāng)壓強(qiáng)降低時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的增加而縮小，這就是亞聲速噴管；當(dāng)壓強(qiáng)升高時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的減小而擴(kuò)大，這就是亞聲速擴(kuò)壓管。這種現(xiàn)象與不可壓縮流體的流動規(guī)律相類似?！?〕Ma>1，超聲速流動。與異號，而與同號。當(dāng)壓強(qiáng)降低時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的增加而擴(kuò)大，這就是超聲速噴管。這是由于超聲速氣體在壓強(qiáng)下降時(shí)，密度劇烈減小、體積迅速增大，這時(shí)通道截面積必須擴(kuò)大，才能使劇烈膨脹的加速氣流通過。反之，當(dāng)壓強(qiáng)升高時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的減小而縮小，這就是超聲速擴(kuò)壓管。由式〔7-22〕和式〔7-23〕可以得到三個(gè)重要結(jié)論：12/4/2023工程流體力學(xué)〔3〕=1，這時(shí)。從以上兩種情況知道，當(dāng)降壓加速的氣流由亞聲速連續(xù)變?yōu)槌曀贂r(shí)，通道截面先收縮后擴(kuò)大，在最小截面〔〕處速度到達(dá)聲速〔〕，該最小截面稱為臨界截面，也稱為喉部截面，簡稱喉部。當(dāng)升壓減速的氣流由超聲速連續(xù)地變?yōu)閬喡曀贂r(shí)，通道截面也是先收縮后擴(kuò)大，在最小截面處速度到達(dá)聲速。在臨界截面上的相應(yīng)參數(shù)稱為臨界參數(shù)，分別以、和等表示之?？蓪⒋胧健?-18〕、式〔7-19〕和式〔7-20〕，得到臨界截面上氣流的臨界溫度、臨界壓強(qiáng)和臨界密度各與滯止溫度、滯止壓強(qiáng)和滯止密度之間的關(guān)系式〔7-24〕

〔7-25〕〔7-26〕常用氣體的物理性質(zhì)見表7-2。12/4/2023工程流體力學(xué)表7-1氣流參數(shù)變化與通道截面變化之間關(guān)系12/4/2023工程流體力學(xué)表7-2常用氣體的物理性質(zhì)〔標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)、20℃〕12/4/2023工程流體力學(xué)三、氣體經(jīng)漸縮噴管和縮放噴管的流動由上面可知，要使氣流加速，當(dāng)流速尚未到達(dá)當(dāng)?shù)芈曀贂r(shí)，噴管截面應(yīng)逐漸收縮，直至流速到達(dá)當(dāng)?shù)芈曀贂r(shí)，截面收縮到最小值，這種噴管稱為漸縮噴管。漸縮噴管出口處的流速最大只能到達(dá)當(dāng)?shù)芈曀佟Ｒ箽饬鲝膩喡曀偌铀俚匠曀?，必須將噴管做成先逐漸收縮而后逐漸擴(kuò)大形〔在最小截面處流速到達(dá)當(dāng)?shù)芈曀佟?，這種噴管稱為縮放噴管?？s放噴管是瑞典工程師拉伐爾〔deLaval〕在研制汽輪機(jī)時(shí)創(chuàng)造的，所以又稱為拉伐爾噴管。這種利用管道截面的變化來加速氣流的幾何噴管，在汽輪機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、噴氣發(fā)動機(jī)和流量測量中被廣泛地應(yīng)用，本節(jié)以完全氣體為對象，來討論漸縮噴管和縮放噴管根本設(shè)計(jì)關(guān)系式。12/4/2023工程流體力學(xué)1、漸縮噴管假定氣體在等熵條件下從大容器中經(jīng)漸縮噴管流出，如圖7-3所示。由于容器的容量很大，可近似地把容器中的氣體速度看作是零〔〕，即容器中的氣體處于滯止?fàn)顟B(tài)〔、、〕，而噴管出口截面上的氣流參數(shù)為、和。對0-0，2-2截面列一維定常等熵流動的能量方程〔7-10〕，得或

12/4/2023工程流體力學(xué)圖7-3漸縮噴管12/4/2023工程流體力學(xué)將等熵過程關(guān)系式代入上式，得出口截面處的流速為或又，那么出口截面上的馬赫數(shù)為〔7-29〕或12/4/2023工程流體力學(xué)通過噴管的質(zhì)量流量式中

—噴管出口截面積。將和式〔7-27〕代入上式，得

(7-30〕12/4/2023工程流體力學(xué)由上式可知，當(dāng)氣體的滯止參數(shù)和噴管的出口截面積保持不變時(shí).質(zhì)量流量僅隨壓強(qiáng)比而變化，由式〔7-30〕描繪出的與的關(guān)系曲線如圖7-4〔a〕所示。圖7-4氣體流過漸縮噴管時(shí)流量與設(shè)計(jì)出口壓強(qiáng)和環(huán)境壓強(qiáng)的變化

12/4/2023工程流體力學(xué)當(dāng)氣體經(jīng)過設(shè)計(jì)成的漸縮噴管時(shí)，實(shí)際上質(zhì)量流量隨著而變化,為噴管出口截面外的氣流壓強(qiáng)，稱為環(huán)境壓強(qiáng)。與的關(guān)系曲線如圖7-4〔b〕所示，與圖7-4〔a〕中的-曲線相比，兩者有明顯的差異。從中我們得到如下結(jié)論：〔1〕==1到最大值時(shí)對應(yīng)的壓強(qiáng)與相比，兩曲線ab完全吻合?！?〕=1時(shí)，=0，即當(dāng)噴管的進(jìn)、出口壓強(qiáng)相等時(shí)，氣體不流動，出口馬赫數(shù)。12/4/2023工程流體力學(xué)〔3〕<l時(shí)，逐漸降低，出口馬赫數(shù)逐漸增加，沿曲線ab逐漸增加，當(dāng)出口截面上的流速增加到聲速時(shí)，即時(shí)，流量到達(dá)最大值，此時(shí)的壓強(qiáng)比稱為臨界壓強(qiáng)比?？捎上路ㄇ蟮茫磳⒋胧健?-29〕，得臨界壓強(qiáng)比

〔7-31〕也可通過直接對式〔7-30〕求導(dǎo)，并令的方法求得。再將式〔7-31〕代入式〔7-30〕和式〔7-27〕中，即分別得到臨界流量，也就是最大流量和臨界速度〔也稱為臨界聲速〕.〔7-32〕〔7-33〕12/4/2023工程流體力學(xué)〔4〕從再繼續(xù)降低，即<時(shí)，流量保持不變，始終等于最大流量，如圖7-4〔b〕中水平線bc所示。這現(xiàn)象可作如下的解釋：在漸縮噴管出口截面上的速度最大只能到達(dá)聲速，所以氣流在漸縮噴管內(nèi)只能膨脹到為止。當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)小于時(shí)，漸縮噴管出口截面上的壓強(qiáng)仍然保持為，故氣流從降低到環(huán)境壓強(qiáng)的膨脹過程只能在噴管外進(jìn)行。因此，氣體通過噴管中的流量仍保持為最大流量，不再改變。12/4/2023工程流體力學(xué)

2、縮放噴管縮放噴管可以使氣流從亞聲速加速到超聲速。噴管收縮局部的作用與漸縮噴管完全一樣，即在噴管的收縮局部，氣流膨脹到最小截面處到達(dá)臨界聲速。而后，在擴(kuò)張局部中繼續(xù)膨脹，加速到超聲速。縮放噴管出口截面上的氣流速度〔超聲速〕仍可用式〔7-27〕或式〔7-28〕求得，只需將出口截面上的設(shè)計(jì)壓強(qiáng)代入。這時(shí)通過噴管的流量由最小截面上的參數(shù)決定，因?yàn)樵谶@里已經(jīng)到達(dá)聲速，流量為最大值〔7-34〕式中——噴管的最小截面積，也稱為喉部截面積或臨界截面積。12/4/2023工程流體力學(xué)下面討論當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)與出口截面上的設(shè)計(jì)壓強(qiáng)不同時(shí)，環(huán)境壓強(qiáng)對氣流的影響。假定保持不變，而環(huán)境壓強(qiáng)從逐漸下降。

〔1〕當(dāng)=時(shí)，氣體在噴管內(nèi)沒有流動，如圖7-5中OB線所示?！?〕當(dāng)從開始下降時(shí)，只要在最小截面上的壓強(qiáng)大于臨界壓強(qiáng)。即>，那么在整個(gè)噴管內(nèi)部是亞聲速氣流，如圖7-5中ODE曲線所示，這時(shí)的縮放噴管相當(dāng)于文丘里管。12/4/2023工程流體力學(xué)圖7-5縮放噴管內(nèi)的壓強(qiáng)和流量變化返回(2)返回(4)12/4/2023工程流體力學(xué)〔3〕如果環(huán)境壓強(qiáng)繼續(xù)下降到使最小截面上的壓強(qiáng)達(dá)到臨界壓強(qiáng)，那么流量到達(dá)如式〔7-34〕所示的最大值這時(shí)在噴管擴(kuò)張局部可能有兩種流動狀況：當(dāng)=〔為噴管中氣流只在喉部到達(dá)聲速其余全為亞聲速時(shí)出口截面的壓強(qiáng)〕時(shí)，在整個(gè)噴管擴(kuò)張局部中仍然都是亞聲速氣流，如圖7-5中OCF曲線所示；而當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)等于噴管出口截面上的設(shè)計(jì)壓強(qiáng)時(shí)，即=，在整個(gè)噴管的擴(kuò)張局部中都是超聲速氣流，如圖705中OCJ曲線所示，即氣流在縮放噴管內(nèi)壓強(qiáng)從下降到〔即亞聲速連續(xù)變到超聲速〕的連續(xù)變化曲線。12/4/2023工程流體力學(xué)〔4〕當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)在和之間，即>>，氣流在擴(kuò)張局部會出現(xiàn)壓強(qiáng)的不連續(xù)變化，也就是形成一個(gè)所謂正激波，正激波的位置隨著的下降，從最小截面處移到噴管出口處，就是正激波移到噴管最小截面時(shí)的出口壓強(qiáng)，氣流通過正激波從超聲速變成亞聲速，一直到出口截面處，如圖7-5中OCS1S2H線所示。

顯然，對于縮放噴管，只要≤，不管環(huán)境壓強(qiáng)怎樣變化，氣流通過縮放噴管的流量將始終保持為最大流量，這是由于噴管最小截面處的臨界參數(shù)沒有變化；當(dāng)>時(shí)，流量將減小；當(dāng)=時(shí)，流量等于零.如圖7-5的右圖所示。12/4/2023工程流體力學(xué)第四節(jié)正激波一、正激波形成本節(jié)以氣體中的微弱擾動波在直圓管中傳播的情況為例來說明正激波形成的物理過程。如圖7-6所示，在一個(gè)充滿靜止氣體的直圓管中，活塞向右作加速運(yùn)動，活塞右側(cè)的靜止氣體受壓后被擾動形成一個(gè)壓縮波向右移動，已被擾動的氣體的壓強(qiáng)從升高到，設(shè)-是一個(gè)有限的壓強(qiáng)量。為了分析方便起見，假定把這個(gè)有限的壓強(qiáng)增量看作是無數(shù)個(gè)無限小壓強(qiáng)增量dp的總和。于是，可認(rèn)為在活塞右側(cè)形成的壓縮波是一系列微弱擾動波連接而成的。每一個(gè)微弱擾動波壓強(qiáng)增加dp。當(dāng)活塞開始運(yùn)動時(shí)，第一個(gè)微弱擾動波以聲速傳到未被擾動的靜止氣體中去，緊跟著第二個(gè)微弱擾動波以聲速傳到已被第一個(gè)微弱擾動波擾動過的氣體中去。12/4/2023工程流體力學(xué)圖7-6在圓管中正激波的形成過程12/4/2023工程流體力學(xué)顯然，被第二個(gè)微弱擾動波擾動過的氣體中的壓強(qiáng)、密度和溫度都比被第一個(gè)微弱擾動波擾動過的氣體中的相應(yīng)參數(shù)略大一些，根據(jù)，因此>，也就是說第二個(gè)微弱擾動波的聲速比第一個(gè)微弱擾動波的聲速略快一些。與此相類似，第三個(gè)微弱擾動波又以比第二個(gè)略快一些的聲速〔>〕向右傳播，…。如果在某一時(shí)刻波形如圖7-6〔a〕所示，經(jīng)過一段時(shí)間后，后面的微弱擾動波一個(gè)一個(gè)追趕上前面的波，波形變得愈來愈陡，最后疊加成一個(gè)垂直于流動方向的具有壓強(qiáng)不連續(xù)面的壓縮波，這就是正激波，如圖7-6〔c〕所示。氣流通過激波除壓強(qiáng)突躍地升高外，密度和溫度也同樣突躍地增加，而速度那么下降。發(fā)生這種突躍地不連續(xù)變化是在與氣體分子平均自由行程同一數(shù)量級〔在空氣中約3×10-4mm左右〕內(nèi)完成的，也可以說，各氣流參數(shù)是在一個(gè)極小的激波厚度內(nèi)連續(xù)地進(jìn)行變化的。當(dāng)然也可以認(rèn)為，是在一個(gè)幾何面上突然變化的；這就是說，可以把激波看作是一個(gè)不連續(xù)的間斷面，氣流參數(shù)通過激波的變化是突躍的，不連續(xù)的。12/4/2023工程流體力學(xué)二、正激波前后氣流參數(shù)如圖7-7所示，正激波前和正激波后各氣流參數(shù)的下標(biāo)分別為1和2。由于圓管的截面積不變，所以連續(xù)性方程可寫成〔a〕假設(shè)忽略摩擦的影響，那么動量方程可寫成

或〔b〕氣流通過激波時(shí)受到急劇地壓縮，由于其時(shí)間極短，所產(chǎn)生的熱量來不及外傳，故使氣流的熵增加。所以氣流通過激波時(shí)的突躍壓縮過程是一個(gè)不可逆的絕熱過程。于是，氣流在激波前后的總能量相等，并保持不變，對于完全氣體能量方程可寫成〔c〕或〔d〕式中臨界聲速也保持不變。12/4/2023工程流體力學(xué)圖7-7正激波12/4/2023工程流體力學(xué)將氣體狀態(tài)方程應(yīng)用與正激波前、后的狀態(tài)，得〔e〕將式〔b〕的兩邊各除以式〔a〕的兩邊，得〔f〕由能量方程〔d〕可得〔g〕〔h〕將式〔g〕和〔h〕代入式〔f〕，簡化后得由于，所以〔7-35〕這就是著名的普朗特公式，再由動量方程〔b〕和連續(xù)性方程〔a〕可知12/4/2023工程流體力學(xué)由于激波是壓縮波，即>，因此<。所以由式〔7-35〕可得重要結(jié)論：假設(shè)正激波前是超音速流，那么在正激波后必定是亞音速氣流。由于和，那么式〔b〕可改寫成所以〔7-36〕又由代入式〔c〕得〔i〕再由于，所以式〔i〕可寫成〔7-37〕12/4/2023工程流體力學(xué)由狀態(tài)方程和式〔a〕所以〔7-38〕現(xiàn)將式〔7-36〕和式〔7-37〕代入式〔7-38〕得或12/4/2023工程流體力學(xué)簡化成或〔7-39〕式〔7-39〕最簡單但無意義的解是，即上、下游的馬赫數(shù)相等，無正激波存在的情況。式〔7-39〕的另一個(gè)解就是正激波前、后馬赫數(shù)的關(guān)系式〔7-40〕12/4/2023工程流體力學(xué)將式〔7-40〕代入式〔7-36〕和式〔7-37〕，得〔7-41〕〔7-42〕再將式〔7-41〕和式〔7-42〕代入式〔7-38〕，得〔7-43〕式〔7-40〕至〔7-43〕表示正激波前、后各氣流參數(shù)之比都是波前馬赫數(shù)的函數(shù)。所以，當(dāng)波前各氣流參數(shù)時(shí)，就可以從這些公式求得波后各氣流參數(shù)之值。12/4/2023工程流體力學(xué)第五節(jié)應(yīng)用舉例【例7-1】空氣從大容器經(jīng)喉部直徑為25mm的縮放噴管流向大氣，設(shè)大容器中的計(jì)示壓強(qiáng)和溫度各為690kPa和40℃，大氣壓強(qiáng)101.3kPa〔abs.〕。假設(shè)不計(jì)空氣流過噴管時(shí)的損失，試求臨界流速、出口流速、出口馬赫數(shù)和出口截面的直徑以及?？諝釰/〔kg·K〕，1.4。解析【例7-2】在亞聲速飛行的飛機(jī)上，裝有皮托管和靜壓管，用來測量飛機(jī)的飛行速度。今測得大氣的靜壓0.75×105Pa，氣溫-10℃，動壓0.25×105Pa。試計(jì)算飛機(jī)的飛行速度。解析12/4/2023工程流體力學(xué)【例7-3】核爆炸產(chǎn)生的爆震波〔激波〕以16000m/s的速度在靜止的大氣中傳播，原來空氣的壓強(qiáng)為1.0133×105Pa，溫度為300K，試計(jì)算：(1)激波相對靜止空氣的馬赫數(shù)；(2)激波后相對靜止觀察者的壓強(qiáng)和溫度的滯止值。解析12/4/2023工程流體力學(xué)【解】空氣的臨界壓強(qiáng)由式〔7-25〕0.528×〔690+101.3〕=417.7〔kPa〕而101.3kPa，于是，故采用縮放噴管?？諝獾臍怏w常數(shù)J/〔kg·K〕，那么〔kg/m3〕臨界流速由式〔7-33〕〔m/s〕出口速度為

返回【例7-1】〔m/s〕12/4/2023工程流體力學(xué)空氣的定壓比熱J/〔kg·K〕，那么，由式〔7-11〕

所以K=-99℃出口馬赫數(shù)為通過噴管的流量為