高等數(shù)學(xué)同第七版

微分學(xué)都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具（從微觀上研究函數(shù)）微積分學(xué)的創(chuàng)始人：英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問(wèn)題中提出，導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分——描述函數(shù)變化程度—第一早第**章務(wù)獻(xiàn)的槪念引例導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系HIGHEDUCATIONPRESSeqoooe機(jī)動(dòng)h:traKa返回鋁采自由落體運(yùn)動(dòng)/a.)fit)

.BHEISjt?rfe_、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為=/⑺則~到/的平均速度為V=-卜h而在/0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為ro__________v=lim--------n0

f_/0fIis?邊藝f—-?f??^*'■-2.曲線的切線斜率曲線C\y-在點(diǎn)處的切線-割線MN的極限位置MT（當(dāng)識(shí)46Z0寸）切線MT的斜率k

二tana=limtan^9妒一>a割線M7V的斜率tan<??k-

lim-Ax)-/(x0)/(x)-/(x0)X二x0IwiJta瞬時(shí)速度/_>/o/_

,0切線斜率k=limAx)-/Ud)x—>x0

X—Xq兩個(gè)問(wèn)題的共性：鄺0)增I°所求量為函數(shù)増量與自變量增量之比的極限，類(lèi)似問(wèn)題還有：加速度是速度增量與時(shí)間増量之比的極限角速度是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間増量之比的極限線密度是質(zhì)量増量與長(zhǎng)度増量之比的極限電流強(qiáng)度是電量増量與時(shí)間増量之比的極限變化率問(wèn)題并稱(chēng)此極限為Ay=/U)-/(x0)△JT=JT一JC()X=A0即二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)y二/(X)在點(diǎn)乂的某鄰域內(nèi)有定義，若叫;rw-^X=XQ=r(x0)=Alim^rf(x)~f(xo)

i.AylimJ07=hm■V-KV()

x—Xq

A.v^OaX存在，則稱(chēng)函數(shù)/(X)在點(diǎn)x()處可導(dǎo)，y-

/‘⑴在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).記作：=lim/(xo+Ax)-/(^o)二iim/(xo+/?)-幾。Ax->0AaA->0h_/0曲線Ciy^f(x)在A/點(diǎn)處的切線斜率/(%)-/(^0)k

=hmJv7~?v07X—>Xq_X_Xo=/'(又0)說(shuō)明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本率，邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù)+運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)S=/(/)w}n在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度1—亂sv=lim-lim/(x)-/(x0)

_Ay勿二/⑴-/Uo)x-X0

Ax^OAx-△義=義一XQ-若上述極限不存在，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)久不可導(dǎo).若lim女=oo，也稱(chēng)/(x)在xG的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.Ax->0Ax若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).記my；/'⑴；

drax注意：/u)-ru).=x0^dy^o)例1-求函數(shù)f(x)

=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解：y=lim

/(x+Ax)-/(x)=limC-C=0AxAx->0Ax即丨(c)、o例2.求函數(shù)f(x)

=x"(”eN+)在X二a處的導(dǎo)數(shù).依j.rf/\1?f{x)—f{ci)v

a"解：j(a)二lim7—7-’二hm-uax-aX-a=_廣^廣2+622廣3+八+a“)對(duì)于一般冪函數(shù)y=./(-v)=lim/(V+/°-/(V)Zf->0}飛/r->0hX=}

(當(dāng)jv—>Offt，(l+x)a_:ax)對(duì)一般冪函數(shù)J=A為常數(shù)）例女曲，蛉4丄iXX=COSXh^O-limcos(jc+—)2lini2cos(x—)sin/i->o2即類(lèi)似可證得(sinjc)'=cos%(cosx)'--sinx例3.求函數(shù)f(x)=smx的導(dǎo)數(shù).解：hhf\X)=

lim/(X+A，)-/(X)=limSin(X+/l)-sinJh—()hZj—>0Ln2nLn2siA//rw2例4.求函數(shù)f(x)=ax的導(dǎo)數(shù).h解：r(x)=Um/(x+/l)"/(x)/7—>0-limA—>0/i->oh-aAIna即(aA)'=a'InaJ>+-）x-log。Xe=lrvlnah^O=!’［（1+?。├?_求函數(shù)/⑷=

湖導(dǎo)數(shù)■rf/

Xy

/（X+ft）—f（X）

j（X）-lim—-----/?一>0h-limi-loga（l+-）h^hxliml0g"（J；+/?）^l0g"X/j->0I飛即（log^戲（Inx）f

=—xim411A1IX-1-JrX方-■hh2/?例6.設(shè)/U)存在,求極限hm/(X°+h)

—/(A°_/?)不存在，s卩x在x=0不可導(dǎo).iiE:9

AO±A)-AO)=A->0=~f'(xO)+-hh~r/(O+/?)—/(0),?.lim1Jh^O例6.證明函數(shù)/(x)=JT在=o不可導(dǎo).1,h>Q-1,/7<0解—艦戸1……、2T人a久三、導(dǎo)數(shù)的JI何意義曲線y=f(J碎點(diǎn)(x[},y{})的切線斜率為tana=/(x0)若/Vo)>0，曲線過(guò)Uo，)上升；(若/Vo)<0，曲線過(guò)(^)，凡)下降；若/V())=0，切線與軸平行，x()稱(chēng)為駐點(diǎn)；~dtx(ruo)關(guān)o)若/'(^0)=00，切線與軸垂直./Vo)*①時(shí),曲線在點(diǎn)Uo，凡)處的切線方程：y-yQ/Vo)(x-^0)If

、法線方程：^~^=-77^(%_Xo)ciz?y00±1即沏線？哪一點(diǎn)處寫(xiě)出其切線方程.例7.問(wèn)曲線jp的切線與直線=\x哪一點(diǎn)有垂=卜_1平行‘1-2I解：9y=5

=故在原點(diǎn)(0，0)有垂直切線x=o令Jpy=

，得X=±1，對(duì)應(yīng)y則在點(diǎn)(hI)，(-1「1)處與直線J=平行的切線方程分別為:；(x-l),y+]=\(x+l)x-3y

±2=0?■-1-1'￥rTXt—?1-1函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理L/(%)在點(diǎn)x處可導(dǎo)=>/⑴在點(diǎn)*處連續(xù)證:設(shè)夕=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即lim=fr(x).__.m...L?

Ax->0Ax存在，因此必有—-=ff(x)+a，其中l(wèi)ima—0Ar

Ax^o故Ay=f'(x)Ax

+aAxAa

—0.0所以函數(shù)_y=/Cr)在點(diǎn)連續(xù).>=|^|P'注意：函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).\/反例：y=jc在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo).°X五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義2

.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x()的某個(gè)右(左)鄰域內(nèi)有定義，若極限limAxlim0+/(x0+Ax)-/(x0)Ax(Ax->0)(AX4(T)____^0存在測(cè)稱(chēng)此極限值為/(X)在&處的右(左)導(dǎo)數(shù)，記作/:Uo)(/-(x0))即/(x0+Ax)-/^0)Ax例如，/(x)二4在x=0處有7：(0)=+1，

71(0)=-1定理2,函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是刀CU與'(％)存在，且以x0)=f(x0).簡(jiǎn)寫(xiě)為/(X。)存在?■ArUo)=/-(xo)定理3.函數(shù)/⑴在點(diǎn)x()處右(左)導(dǎo)數(shù)存在=>/(X)在點(diǎn)X。必右(左)連續(xù).若函數(shù)/(X)在開(kāi)區(qū)間(人幻內(nèi)可導(dǎo)，且/：(?)與f:(b)都存在，則稱(chēng)在閉區(qū)間［6Z，/?］上可導(dǎo).顯然：/(x)在閉區(qū)間\a，b］上可導(dǎo)二^y(x)在［a，/)］上連續(xù)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：增量比的極^2*/'(x0)=a?r

二f:(x(、)二a3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率；4.可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)；5.已學(xué)求導(dǎo)公式：(cy-o；

(，:》叫；(岣，卜士j(sinx)r:cosx;(cosx)'=—sinx;(Inx)f

=-xr不連續(xù)，一定不可導(dǎo).6.判斷可導(dǎo)性直接用導(dǎo)數(shù)定義；L看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考與練習(xí)L函數(shù)/(X)在某點(diǎn)％處的導(dǎo)數(shù)/'(%)與導(dǎo)函數(shù)/V)有什么區(qū)別與聯(lián)系？區(qū)別：廣00是函數(shù)，尸(X。)是數(shù)值；聯(lián)系：尸⑴A:.r0

=/'“)注意：/'U0)￥l/(x0)]'2.設(shè).廠⑹存在，則lim’(X「h)-’W

=_f(x(、).“oh3.已知/(0)=0,f(0)=心，則lim便=__x-^OX4.若3)時(shí)，恒有f(x)\<x\問(wèn)/⑺是否在x

:0可導(dǎo)？解:由題設(shè)/(0)=00</⑴一/⑼x-Q<x由夾逼準(zhǔn)則lim二/⑼=0X">0x—0故/(x)在x=0可導(dǎo)，且/'⑼=0IwiJta5.設(shè)/(x卜s’x問(wèn)扇直時(shí)，作）在（-叭+①）都存在，并求出rex）.7-m?hT*sw解：顯然該函數(shù)在;r=0連續(xù).sinx-0厶⑼=hm

-=1h(tx-0K

aj-0/；(0)=hm—-=aa->o+

x-0故a=1時(shí)/'(0)=1，此時(shí)/'(x)在卜①，+oo)都存在，「cosx，

x<Q={1,aoLI作IkP836，9⑷⑹(7)，13,.備用題1.設(shè)/'⑴存在，且lim求尸⑴,x—o2x解：因?yàn)閘im/(1)-/(1-義)=-lim.川之)