高等數學同第七版

微分學都是描述物質運動的工具（從微觀上研究函數）微積分學的創(chuàng)始人：英國數學家Newton德國數學家Leibniz導數思想最早由法國數學家Ferma在研究極值問題中提出，導數描述函數變化快慢微分——描述函數變化程度—第一早第**章務獻的槪念引例導數的定義導數的幾何意義函數的可導性與連續(xù)性的關系HIGHEDUCATIONPRESSeqoooe機動h:traKa返回鋁采自由落體運動/a.)fit)

.BHEISjt?rfe_、引例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為=/⑺則~到/的平均速度為V=-卜h而在/0時刻的瞬時速度為ro__________v=lim--------n0

f_/0fIis?邊藝f—-?f??^*'■-2.曲線的切線斜率曲線C\y-在點處的切線-割線MN的極限位置MT（當識46Z0寸）切線MT的斜率k

二tana=limtan^9妒一>a割線M7V的斜率tan<??k-

lim-Ax)-/(x0)/(x)-/(x0)X二x0IwiJta瞬時速度/_>/o/_

,0切線斜率k=limAx)-/Ud)x—>x0

X—Xq兩個問題的共性：鄺0)增I°所求量為函數増量與自變量增量之比的極限，類似問題還有：加速度是速度增量與時間増量之比的極限角速度是轉角增量與時間増量之比的極限線密度是質量増量與長度増量之比的極限電流強度是電量増量與時間増量之比的極限變化率問題并稱此極限為Ay=/U)-/(x0)△JT=JT一JC()X=A0即二、導數的定義定義1.設函數y二/(X)在點乂的某鄰域內有定義，若叫;rw-^X=XQ=r(x0)=Alim^rf(x)~f(xo)

i.AylimJ07=hm■V-KV()

x—Xq

A.v^OaX存在，則稱函數/(X)在點x()處可導，y-

/‘⑴在點的導數.記作：=lim/(xo+Ax)-/(^o)二iim/(xo+/?)-幾。Ax->0AaA->0h_/0曲線Ciy^f(x)在A/點處的切線斜率/(%)-/(^0)k

=hmJv7~?v07X—>Xq_X_Xo=/'(又0)說明:在經濟學中，邊際成本率，邊際勞動生產率和邊際稅率等從數學角度看就是導數+運動質點的位置函數S=/(/)w}n在t0時刻的瞬時速度1—亂sv=lim-lim/(x)-/(x0)

_Ay勿二/⑴-/Uo)x-X0

Ax^OAx-△義=義一XQ-若上述極限不存在，就說函數在點久不可導.若lim女=oo，也稱/(x)在xG的導數為無窮大.Ax->0Ax若函數在開區(qū)間I內每點都可導，就稱函數在I內可導.此時導數值構成的新函數稱為導函數.記my；/'⑴；

drax注意：/u)-ru).=x0^dy^o)例1-求函數f(x)

=C(C為常數)的導數.解：y=lim

/(x+Ax)-/(x)=limC-C=0AxAx->0Ax即丨(c)、o例2.求函數f(x)

=x"(”eN+)在X二a處的導數.依j.rf/\1?f{x)—f{ci)v

a"解：j(a)二lim7—7-’二hm-uax-aX-a=_廣^廣2+622廣3+八+a“)對于一般冪函數y=./(-v)=lim/(V+/°-/(V)Zf->0}飛/r->0hX=}

(當jv—>Offt，(l+x)a_:ax)對一般冪函數J=A為常數）例女曲，蛉4丄iXX=COSXh^O-limcos(jc+—)2lini2cos(x—)sin/i->o2即類似可證得(sinjc)'=cos%(cosx)'--sinx例3.求函數f(x)=smx的導數.解：hhf\X)=

lim/(X+A，)-/(X)=limSin(X+/l)-sinJh—()hZj—>0Ln2nLn2siA//rw2例4.求函數f(x)=ax的導數.h解：r(x)=Um/(x+/l)"/(x)/7—>0-limA—>0/i->oh-aAIna即(aA)'=a'InaJ>+-）x-log。Xe=lrvlnah^O=!’［（1+?。├?_求函數/⑷=

湖導數■rf/

Xy

/（X+ft）—f（X）

j（X）-lim—-----/?一>0h-limi-loga（l+-）h^hxliml0g"（J；+/?）^l0g"X/j->0I飛即（log^戲（Inx）f

=—xim411A1IX-1-JrX方-■hh2/?例6.設/U)存在,求極限hm/(X°+h)

—/(A°_/?)不存在，s卩x在x=0不可導.iiE:9

AO±A)-AO)=A->0=~f'(xO)+-hh~r/(O+/?)—/(0),?.lim1Jh^O例6.證明函數/(x)=JT在=o不可導.1,h>Q-1,/7<0解—艦戸1……、2T人a久三、導數的JI何意義曲線y=f(J碎點(x[},y{})的切線斜率為tana=/(x0)若/Vo)>0，曲線過Uo，)上升；(若/Vo)<0，曲線過(^)，凡)下降；若/V())=0，切線與軸平行，x()稱為駐點；~dtx(ruo)關o)若/'(^0)=00，切線與軸垂直./Vo)*①時,曲線在點Uo，凡)處的切線方程：y-yQ/Vo)(x-^0)If

、法線方程：^~^=-77^(%_Xo)ciz?y00±1即沏線？哪一點處寫出其切線方程.例7.問曲線jp的切線與直線=\x哪一點有垂=卜_1平行‘1-2I解：9y=5

=故在原點(0，0)有垂直切線x=o令Jpy=

，得X=±1，對應y則在點(hI)，(-1「1)處與直線J=平行的切線方程分別為:；(x-l),y+]=\(x+l)x-3y

±2=0?■-1-1'￥rTXt—?1-1函數的可導性與連續(xù)性的關系定理L/(%)在點x處可導=>/⑴在點*處連續(xù)證:設夕=f(x)在點x處可導，即lim=fr(x).__.m...L?

Ax->0Ax存在，因此必有—-=ff(x)+a，其中l(wèi)ima—0Ar

Ax^o故Ay=f'(x)Ax

+aAxAa

—0.0所以函數_y=/Cr)在點連續(xù).>=|^|P'注意：函數在點x連續(xù)未必可導.\/反例：y=jc在x=0處連續(xù)，但不可導.°X五、單側導數定義2

.設函數y=f(x)在點x()的某個右(左)鄰域內有定義，若極限limAxlim0+/(x0+Ax)-/(x0)Ax(Ax->0)(AX4(T)____^0存在測稱此極限值為/(X)在&處的右(左)導數，記作/:Uo)(/-(x0))即/(x0+Ax)-/^0)Ax例如，/(x)二4在x=0處有7：(0)=+1，

71(0)=-1定理2,函數y=/(x)在點可導的充分必要條件是刀CU與'(％)存在，且以x0)=f(x0).簡寫為/(X。)存在?■ArUo)=/-(xo)定理3.函數/⑴在點x()處右(左)導數存在=>/(X)在點X。必右(左)連續(xù).若函數/(X)在開區(qū)間(人幻內可導，且/：(?)與f:(b)都存在，則稱在閉區(qū)間［6Z，/?］上可導.顯然：/(x)在閉區(qū)間\a，b］上可導二^y(x)在［a，/)］上連續(xù)1.導數的實質：增量比的極^2*/'(x0)=a?r

二f:(x(、)二a3.導數的幾何意義:切線的斜率；4.可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導；5.已學求導公式：(cy-o；

(，:》叫；(岣，卜士j(sinx)r:cosx;(cosx)'=—sinx;(Inx)f

=-xr不連續(xù)，一定不可導.6.判斷可導性直接用導數定義；L看左右導數是否存在且相等.思考與練習L函數/(X)在某點％處的導數/'(%)與導函數/V)有什么區(qū)別與聯系？區(qū)別：廣00是函數，尸(X。)是數值；聯系：尸⑴A:.r0

=/'“)注意：/'U0)￥l/(x0)]'2.設.廠⑹存在，則lim’(X「h)-’W

=_f(x(、).“oh3.已知/(0)=0,f(0)=心，則lim便=__x-^OX4.若3)時，恒有f(x)\<x\問/⑺是否在x

:0可導？解:由題設/(0)=00</⑴一/⑼x-Q<x由夾逼準則lim二/⑼=0X">0x—0故/(x)在x=0可導，且/'⑼=0IwiJta5.設/(x卜s’x問扇直時，作）在（-叭+①）都存在，并求出rex）.7-m?hT*sw解：顯然該函數在;r=0連續(xù).sinx-0厶⑼=hm

-=1h(tx-0K

aj-0/；(0)=hm—-=aa->o+

x-0故a=1時/'(0)=1，此時/'(x)在卜①，+oo)都存在，「cosx，

x<Q={1,aoLI作IkP836，9⑷⑹(7)，13,.備用題1.設/'⑴存在，且lim求尸⑴,x—o2x解：因為lim/(1)-/(1-義)=-lim.川之)