2023屆福建省莆田市高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數(shù)的z=-1-2i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.i為虛數(shù)單位，則紀的虛部為()

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

3.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-a),sin(-a)),那么〃.6=0是tz=上乃+1(攵eZ)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足/(x+l)=/(l-力，且當xeRl］時，/(x)=2'-m，則〃2019)=()

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的球面上，其底面邊長為4,E、F、G分別為側(cè)棱AB,AC,AD

的中點.若。在三棱錐A-BCD內(nèi)，且三棱錐A-BCD的體積是三棱錐。-3C￡＞體積的4倍，則此外接球的體積與

三棱錐O-EFG體積的比值為()

A.6岳B.8岳C.12岳D.246

6.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都

可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：4=2+2，6=3+3,8=3+5,那么在不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的

數(shù)，其和等于16的概率為()

1212

A.—B.—C.—D.—

21211515

7.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,則集合中的元素共有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

8.已知一9-=a+2i(aeR),i為虛數(shù)單位，則。=()

l-2i

A.百B.3C.1D.5

9-已知函數(shù)/(“)=嬴泮？則函數(shù)的圖象大致為＜)

jr

10.已知函數(shù)/(x)=sin2x+sin2(x+—),則/(x)的最小值為()

A1R1nV2

2442

11.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示，則此幾何體的體積是()

正視圖倘視圖

12.已知函數(shù)./■(力=0￥+1+|2%2+以一［(awR)的最小值為()，貝!］。=()

11

A.-B.-1C.±1D.±-

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若/(x)=g區(qū)3+優(yōu)-2)》2_5%+7在(0,2)上單調(diào)遞減，則A的取值范圍是

14.已知f(x)=log“，+4)(。>0且a，l)有最小值，且最小值不小于1,則。的取值范圍為.

15.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是1，乙獲勝的概率是:，則乙不輸?shù)母怕适?

23

y>x

16.已知實數(shù)x,y滿足2x-yN0,則2=—J的最大值為_____.

x+2

x+y<5

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=2|x-2|—加(加〉0),若/(x+2)<()的解集為(一2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正實數(shù)。，b?c滿足a+2/?+3c=〃?，求證：一■I---1--->—.

a2b3c4

l-t2

尤=2"

18.(12分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為<1；：Q為參數(shù)).點〃(七,%)在曲線C上，點。(機〃)

m=2%

滿足廠.

〃=60

(1)以坐標原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求動點。的軌跡G的極坐標方程;

7rli

(2)點A,5分別是曲線G上第一象限,第二象限上兩點'且滿足求麗+兩產(chǎn)的值?

x=tcosa,x—sin0

19.(12分)已知曲線G的參數(shù)方程為?,。為參數(shù))，曲線C,的參數(shù)方程為.L-----（。為參

y=l+/sina,y=vl+cos20,

數(shù)）.

(1)求G與的普通方程；

(2)若G與相交于A,8兩點，且|A用=0，求sine的值.

x=2+2cos?

20.(12分)在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為<°.(a為參數(shù))，以。為極點，X軸的非負半軸

y—2sin?

為極軸建立極坐標系.

(1)求圓C的極坐標方程;

(2)直線/的極坐標方程是。sin,+看卜6,射線。=Y與圓。的交點為。、P,與直線/的交點為Q,

6

求線段PQ的長.

21.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務產(chǎn)品和活期資金管理服務產(chǎn)品，如螞蟻

金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況，隨機抽

取1200名使用理財產(chǎn)品的市民，按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表：

分組頻數(shù)(單位：名)

使用“余額寶”X

使用“財富通”y

使用“京東小金庫”30

使用其他理財產(chǎn)品50

合計1200

已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.

(D求頻數(shù)分布表中X,＞的值；

(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為2.8%,“財富通”的平均年化收益率為4.2%.若在1200名使用理財產(chǎn)

品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取

2人，假設(shè)這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑閄,求X的分布列及數(shù)學

期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產(chǎn)品“平均年化收益率為3%”即將100元錢存入某理財產(chǎn)

品，一年可以獲得3元利息.

22.（10分）如圖，四棱錐P-ABC〃的底面是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=警PA=PC=6

(I)證明；ACIBPi

(H)求直線AO與平面APC所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

所對應的點為(-1,-2)位于第三象限.

【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.

2.C

【解析】

利用復數(shù)的運算法則計算即可.

【詳解】

2『—2,1—2,(1+，)/、

二=「=丁點］不=—，(1+')=1一'，故虛部為—L

1-z1-1(l-/)(l+z)

故選：C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的運算以及復數(shù)的概念，注意復數(shù)”+初(a,。eR)的虛部為萬，不是從，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.

3.B

【解析】

由a.6=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解：因為a=(cosa,sina),匕=(以雙一a),5汕(一。))且44=0

coscr.cos(-a)+sina^in(-a)=cos2a-sin2a=cos2a=0.

TTrr

2a=2卜冗±—,解得a=k7i±—{kGZ).

7T

???4山=0是a=女4+：(Z￡Z)的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)/(x)是K上的奇函數(shù)，并且/(x+D=fCl-x),便可推出/(x+4)寸(x),即/(x)的周期為4,而由xd[O,

1]時，f(x)=2*加及/(x)是奇函數(shù),即可得出/(O)=l-/n=O,從而求得，"=1,這樣便可得出/(2019)=f(-1)=-f

(1)=-l.

【詳解】

???/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且/。+1)=/(1-力；

.-./(%+2)=/(-%)=-/?；

:./(x+4)=/(x)；

???/(X)的周期為4；

時，f(x)=2x-m；

由奇函數(shù)性質(zhì)可得/(())=1-777=0;

:.m—\x

：.xe[0,1]時，f(x)=T-1；

.-./(2019)=/(-1+505x4)=/(-I)=-/(I)=-1.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查

理解能力和計算能力，屬于中等題.

5.D

【解析】

如圖，平面EFG截球。所得截面的圖形為圓面，計算AH=4OH,由勾股定理解得/?=血，此外接球的體積為

生四萬，三棱錐。―ENG體積為e,得到答案.

33

【詳解】

如圖，平面ER5截球。所得截面的圖形為圓面.

正三棱錐A-BCD中，過A作底面的垂線AH,垂足為“，與平面EFG交點記為K,連接8、HD.

依題意匕一BS=4%_8CD，所以A"=40”,設(shè)球的半徑為R,

在Rt_0HD中,0D=R,HD=—BC=—，OH=-OA=—,

3333

由勾股定理：R2=（迪］,解得R=遙，此外接球的體積為處色萬，

I3J3

由于平面EFGH平面BCD,所以AH，平面EFG,

球心。到平面EFG的距離為K0,

則KO=QA-KA=QA-LA”=R-2R=6=@,

2333

所以三棱錐0-EFG體積為-X\昱乂4丁顯=昱,

34433

所以此外接球的體積與三棱錐。-EFG體積比值為24后.

故選：D.

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

6.B

【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事

件的概率公式可求.

【詳解】

解：不超過18的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)共有露=21,

其和等于16的結(jié)果(3,13),(5,11)共2種等可能的結(jié)果，

2

故概率P=—.

21

故選：B.

【點睛】

古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)

題.

7.A

【解析】

試題分析：。=4^3={3,4,5,7,8,9},4r^6={4,7,9},所以&(4仆5)={3,5,8},即集合(Ac8)中共有3個

元素，故選A.

考點：集合的運算.

8.C

【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.

【詳解】

由一--=a+21,得l+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故選:C.

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，是基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x-l)=i-2由于8(5)=萬斤>°，排除8選項；由于g(e)=」，g(e2)=三，所

lnx-x+1In-+-2-e'/3-e

22

以g(e)>g(e2),排除C選項；由于當x―時，g(x)>0,排除。選項.故A選項正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.A

【解析】

先通過降幕公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/(x)=1-gcos(2x+?),再求最值.

【詳解】

已知函數(shù)/(x)=S加2%+s加2(“+]),

1—2萬

1-cos2x+一

=l-cos2xI3

------+

22

11(cos2xCsin2x),1〈乃、

=1——---------------=1——cos2x+—,

2(22)2[3)

因為cos^2x4--￡[—1,1],

所以/(X)的最小值為;.

故選：A

【點睛】

本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

11.B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積匚=22-=：6,四棱柱的底面是梯形，體積為

^=1(2+6)-24=32,因此總的體積哂=茶；箱翁=4$

考點：三視圖和幾何體的體積.

12.C

【解析】

g(x)+〃(x)=or+l2g(x),g(x)訓x)

設(shè)<計算可得/(*)=<再結(jié)合圖像即可求出答案.

g(x)-//(x)=2/+ax-l2h(x),g(x)</i(x)

【詳解】

g(x)+〃(x)=ax+\g(x)=J

設(shè)

g(犬)一人(%)=2x2+or-l=1-

2g(x),g(x)N“x)

則f(x)=g(x)+Mx)+|g(x)i(x)|=?

27z(x),g(x)<M")'

由于函數(shù)“X)的最小值為()，作出函數(shù)g(x),〃(x)的大致圖像,

所以a—±\.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-oo,l]

【解析】

由題意可得導數(shù)f(x)W0在(0,2)恒成立，解出即可.

【詳解】

解：由題意，f(x)=kx2+2(k-2)x,

當％40時，顯然/'(幻＜0,符合題意；

當左＞0時，/(幻＜0在(0,2)恒成立，

.?./'(0)＜0,/⑵We(0,1],

:.Ze(7,1],

故答案為：（7,1].

【點睛】

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

14.（1,4]

【解析】

真數(shù)x?+4有最小值，根據(jù)已知可得”的范圍，求出函數(shù)/（幻的最小值，建立關(guān)于。的不等量關(guān)系，求解即可.

【詳解】

X2+4>4,且/（x）=log“（f+4）（a>0且awl）有最小值，

?>1,/（x）mil,=logfl4>1,?<4,1<a<4,

的取值范圍為（1,4].

故答案為：d,4],

【點睛】

本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

15.-

6

【解析】

乙不輸?shù)母怕蕿楣?1=3,填*.

2366

16.

11

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)理解為點（無），）與（-2,0）構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點時，斜率取得最大值,

故二的最大值為

故答案為：—,

【點睛】

本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)m=4；(2)證明見詳解.

【解析】

(1)將不等式2)<0的解集用團表示出來，結(jié)合題中的解集，求出”的值;

(2)利用柯西不等式證明.

【詳解】

解：⑴f(x+2)=2\x\-m<0,\x\<—,

2

mm

---<x<—,

2---2

因為〃x+2)<0的解集為(一2,2),所以￡=2,

m=4；

(2)由(1)a+2b+3c=4

111

由柯西不等式(―+一+—)(?+2。+3c)2(1+1+1)29=9,

a2b3c

1119

,——I-------1＞—

"a2b3c,一4

當且僅當a=24,b=2I,c=42,等號成立.

339

【點睛】

本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.

7

18.(1)3p2cos2(9+4p2sin2^=12(一萬＜。＜乃)；(2)—

【解析】

(1)由已知，曲線C的參數(shù)方程消去f后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標方程的互化公式運算即可;

13cos2(4+力+4城,+5),

、、八\八兀、一，、一加13cos26,+4sin20.

⑵設(shè)A(g,q),822，4+不，由⑴可得丁=--------------1

\乙)P]1，滑12-

相加即可得到證明.

【詳解】

、2

(1-t22t2

(1)x2+y2=+=1，

1+刃1+r2

1—f2

V——XH—1,：.x2+y2=l(x^-l),

l+t

m

%=彳22

m=2x02mn一小

由題可知:=〈=>---1---=l(m*—2),

鹿=島0

卜。=耳〃43

C)：3p2cos20+4p2sin26(—7t<0<71^.

12

(2)因為夕—,

3cos-9+4sirr6

設(shè)A(g，a),d.a，

22

1_3cos0x+4sin0x

則

13cos2,+小45而(4+小

22

3sin0]+4cos仇

浮12-12

i_i_?j__2_

\OA\2+\OB\2=~^+^=n-

【點睛】

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.

2

19.(1)y=xtana+l,x2+^-=1(>-..0)(2)0

【解析】

(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程;

(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于，的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時/的幾何意義求

解.

【詳解】

x=tcosa

(1)由曲線C1的參數(shù)方程為｛i.(，為參數(shù))，消去參數(shù)「，可得y=xtana+l；

y=l+tsma

x=sin______2

由曲線G的參數(shù)方程為,---------(，為參數(shù))，消去參數(shù)。，可得卜=亞為7,即/+=v=1(%0).

y=\/l+cos2e2

x=tcosa.v2

(2)把｛i(/為參數(shù))代入/+匕=],

y=1+Zsin6z2

得(1+cos2a)t2+2rsina-1=0.

._-2sina_-1

121+cos2a'121+cos2a,

???IA8Ht-t\=J(4+f2)2-4?2=/(-2sin5)2+-^=y/2.

x2V1+cosa1+cos^a

解得：cos2a=1>BPcosa=±1,滿足A>0.

.,.sin(z=0.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義的應用，是中檔題.

20.(1)/?=4cos6(2)273-2

【解析】

(1)首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標方程即可；

(2)設(shè)pg,4)，QM?)，由a=a=g，即可求出夕”生，貝！IIPQI=|月一閡計算可得;

【詳解】

[x=2+2coscr..

解：(1)圓C的參數(shù)方程4c.(a為參數(shù))可化為(x—2)2+y2=4,

\y-2sma

：.02_4夕cose=0,即圓C的極坐標方程為°=4cos氏

p、=4cos6]px=2y/3

⑵設(shè)pg,a),由兀解得冗

psin,+=G

222=2

設(shè)。（220），由

，解得一

a"

???4=2,???1咫=3-同=2舁2.

【點睛】

本題考查了利用極坐標方程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

x=640

21.(1)《；(2)680元.

y=480

【解析】

x-y=160

（1）根據(jù)題意，列方程-℃,然后求解即可

[%+>=1200-80

（2）根據(jù)題意，計算出10000元使用“余額寶”的利息為10000x2.8%=280（元）和

10000元使用“財富通”的利息為10000x4.2%=420（元），

得到X所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），

然后根據(jù)X所有可能的取值，計算出相應的概率，并列出X的分布列表，然后求解數(shù)學期望即可

【詳解】

x-y-160

（1）據(jù)題意，得<

x+y=1200-80

fx=640

所以

y=480

（2）據(jù)640:480=4:3,得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財富通”的有3人.

10000元使用“余額寶”的利息為l（XXX）x2.8%=280（元）.

10000元使用“財富通”的利息為l（XXX）x4.2%=420（元）.

X所有可能的取值為560（元），700（元），840（元）.

X的分布列為

X560700