明市永安市八中劉少華二次函數(shù)應(yīng)用

課題：§2·4二次函數(shù)的應(yīng)用（第2課時）【北師大版九年級下學(xué)期】三明市__永安__縣（市、區(qū)）學(xué)校_永安八中__姓名__劉少華__內(nèi)容分析課標(biāo)要求通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義。2.教材分析知識層面：學(xué)生通過八年級上冊一次函數(shù)，九年級上冊反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步學(xué)會從式—點—形—性等四個維度對函數(shù)進行建構(gòu)，且在本章節(jié)的前面課程中學(xué)生已經(jīng)掌握二次函數(shù)定義，圖像與性質(zhì)等相關(guān)知識。本節(jié)課的學(xué)習(xí)既是對二次函數(shù)兩種表達式轉(zhuǎn)化的鞏固，也可以進一步引導(dǎo)學(xué)生借助二次函數(shù)的圖像結(jié)合實際問題展開分析，為今后學(xué)生能有效借助于動態(tài)的函數(shù)思想策略解決問題提供了方法借鑒。數(shù)學(xué)能力：在一次函數(shù)與反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生已經(jīng)初步具備了借助于圖像分析實際問題的能力，而在前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)中業(yè)已學(xué)習(xí)了將二次函數(shù)從一般形式轉(zhuǎn)化頂點形式并借助于頂點形式確定二次函數(shù)最值的能力。本節(jié)課最重要的問題是促進求頂點式，求最值的能力的熟練掌握，同時培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會在實際問題的分析過程中，關(guān)注自變量的取值范圍，獲得函數(shù)的區(qū)間，并通過觀察圖像獲得最值的能力。啟示學(xué)生顛覆原有的認(rèn)識（二次函數(shù)的最值是頂點的縱坐標(biāo)），并逐步養(yǎng)成結(jié)合圖像分析具體問題的習(xí)慣。教學(xué)的關(guān)鍵點定位在：（1）一般式轉(zhuǎn)化魏頂點式中運算能力的培養(yǎng)；（2）借助于列表+推理方式分析降價促銷類型問題的推理能力；（3）應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的應(yīng)用意識和借助圖像等直觀手段分析具體問題的幾何直觀意識。思想層面：在實際問題中滲透建模思想(將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題);函數(shù)思想（描述變量之間的關(guān)系的）;數(shù)形結(jié)合思想(結(jié)合圖像分析函數(shù)值的變化)。3.學(xué)情分析知識經(jīng)驗基礎(chǔ)方面：九年級學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的分析能力上漸趨成熟，能夠初步結(jié)合實際問題進行數(shù)學(xué)建模，利用表達式準(zhǔn)確定位變量之間的關(guān)系，并能夠根據(jù)生活經(jīng)驗結(jié)合給定的條件對合理性進行判斷。但仍然存在一個思想誤區(qū)：以為二次函數(shù)的最值一定是頂點的縱坐標(biāo)值。既有的觀念給本節(jié)課的教學(xué)帶來一定的阻力，但是早在八年級“不等式與一次函數(shù)關(guān)系”中學(xué)生業(yè)已初步學(xué)會借助自變量的取值范圍來界定一次函數(shù)的區(qū)間，這為本節(jié)課二次函數(shù)的最值與自變量之間的關(guān)系奠定了一定的基礎(chǔ)。課堂組織方面：“展示，合作，反饋”三個環(huán)節(jié)在平時的數(shù)學(xué)授課過程中能夠得到良好的應(yīng)用，本節(jié)課將緊緊圍繞這三個要素，多角度展示，有效合作，讓學(xué)生有效反饋。4.教學(xué)目標(biāo)1.能夠借助于圖像來分析二次函數(shù)的最值——知識技能2.從實際問題中抽取函數(shù)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。——數(shù)學(xué)能力3.通過借助函數(shù)解決實際問題，有效滲透建模思想與數(shù)形結(jié)合思想。——數(shù)學(xué)思想【設(shè)計意圖】大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)具備了從一般式化成頂點式確定最值的能力。本節(jié)課目標(biāo)設(shè)計上傾向于實際問題中高效設(shè)元，成功建立模，關(guān)注實際問題自變量的取值，借助圖像分析二次函數(shù)最值。5.教學(xué)策略1在降價促銷類型問題中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會列表分析變量之間的關(guān)系，并巧妙設(shè)元，提升解題的效率。2在結(jié)合圖形分析二次函數(shù)最值的過程中，有針對性變式，提升學(xué)生的應(yīng)變能力。6.教學(xué)過程（一）課前演練：1學(xué)生練習(xí)：請將二次函數(shù)：化成頂點形式，并畫出簡圖，寫出函數(shù)的最值。（問題給出后，學(xué)生先獨立完成，3分鐘后，通過展臺展示兩位學(xué)生的典型錯例。）2教師評析：（針對典型錯例，糾正，分析。）3重點強調(diào)：結(jié)合圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=5時，二次函數(shù)有最大值4500.簡圖如右：【設(shè)計意圖】課前演練目的是為了暴露學(xué)生從一般式轉(zhuǎn)為頂點式中典型錯例（代公式時符號問題，用配方時提公因式和漏乘問題），關(guān)鍵點在于運算能力的提升。同時該訓(xùn)練題恰是本節(jié)課的關(guān)鍵題中的表達式，通過該題目的承上啟下，力爭讓教學(xué)過程顯得自然，高效。錯例的糾正讓學(xué)生積極參與，提升學(xué)生對問題的關(guān)注度，從而提升解題的正確率。（二）問題引入：1給出問題：某商店購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以銷售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高售價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件。如果你是老板，你會把銷售單價設(shè)定為多少，才能夠使得半個月內(nèi)獲得的利潤最大，并求出最大利潤。2初步嘗試：（問題給出后，學(xué)生自行完成練習(xí)。教師巡視，及時了解學(xué)生解題中存在的困難：學(xué)生直接設(shè)銷售單價為x元，難以實現(xiàn)推理和列式。）3難度降解：引導(dǎo)學(xué)生何不間接設(shè)定變化的量為x元，即：設(shè)單價提高x元?！驹O(shè)計意圖】教師在給定任務(wù)之后要及時了解學(xué)情，發(fā)現(xiàn)問題后，及時引導(dǎo)和降解，絕不讓訓(xùn)練時間成為無效時間。（三）詳解精講：1積極展示：（請學(xué)生帶作品到展臺講解展示。）解：設(shè)提價x元，那么銷量減少20x件，設(shè)利潤為y元。單件利潤（元/件）數(shù)量（件）總利潤（元）原來104004000提價后10+x400-20xy直接套用練習(xí)題中的結(jié)論，此時，結(jié)合剛才的圖像可以知道當(dāng)x=5時，最大利潤為4500元。銷售單價為35元?！驹O(shè)計意圖】問題給出后，教師給學(xué)生一定的時間讀題，析題，并嘗試解題，整個過程教師充當(dāng)了引導(dǎo)者和組織者。而問題的講解則是作為學(xué)生課堂上數(shù)學(xué)才藝秀的一個方面，鼓勵學(xué)生積極展示，快樂分享！2引導(dǎo)質(zhì)疑：此時原來的函數(shù)圖像還符合題目的要求嗎？3及時分析：x代表的是實際問題中的提價，要滿足：正確的函數(shù)圖像應(yīng)該是：而且觀察圖像可知：點A是圖像中的最高點當(dāng)x=5時，最大利潤為4500元?！驹O(shè)計意圖】借助于函數(shù)將現(xiàn)實生活中的問題建立數(shù)學(xué)（二次函數(shù)）模型，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。題目的分析不應(yīng)該僅僅停留在知識層面的分析，應(yīng)該及時借力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)的熱情。教學(xué)的關(guān)鍵點在于用函數(shù)意識的培養(yǎng)以及建模能力的提升。同時引導(dǎo)學(xué)生借助于表格分析錯綜復(fù)雜的變量之間的關(guān)系，巧妙設(shè)元，有效減低推理難度。而在圖像的分析上，初步引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實際問題中自變量的取值范圍，進而界定圖像的區(qū)域。4變式訓(xùn)練：如果直接設(shè)元呢？模仿，并嘗試解題。5小組合作：獨立思考后，由組長帶領(lǐng)組員列表推理，挑戰(zhàn)問題：6有效展示：解：設(shè)銷售單價為x元，那么提價（x-30）元，銷售量減少20（x-30）元，設(shè)利潤為y元。單件利潤（元/件）數(shù)量（件）總利潤（元）原來104004000提價后x-20400-20（x-30）y得到：x=35元時，銷售利潤的最大值4500元?！驹O(shè)計意圖】實際問題中分析變量之間關(guān)系對學(xué)生而言難度極大。如果在一開始就讓學(xué)生直接設(shè)銷售單價為x元，難度偏大。在問題一分析并理解的基礎(chǔ)上要求學(xué)生完成該問題，一則是在模仿中提高：熟悉列表+推理模式在解決降價促銷問題中的應(yīng)用二則強化學(xué)生界定自變量取值范圍能力。設(shè)計的學(xué)生活動為小組合作，意在通過互幫互助，提升課堂學(xué)生的參與性（變式問題對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生困難重重）。7拓展升華：如果物價局規(guī)定單件貨品利潤率不得超過70%，最大利潤還是4500元嗎？8爭論辨析：（學(xué)生積極參與討論問題，發(fā)表自己的觀點。）9關(guān)鍵點撥：當(dāng)利潤率不超過70%時，借助于題目中的第一種設(shè)法：設(shè)提價x元結(jié)合圖象分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=4時，函數(shù)有最高點。函數(shù)的最大值為4480元。【設(shè)計意圖】通過問法的改變：（求此時的最大利潤？改成請問最大利潤還是4500嗎？）激發(fā)學(xué)生參與辯論的熱情。（課程過半，學(xué)生疲勞程度較高。）同時借助于貼切的有意義的實際情景創(chuàng)設(shè)，再一次提升學(xué)生應(yīng)用自變量取值范圍畫函數(shù)圖像和求最值的能力水平。同時，有力顛覆學(xué)生對于二次函數(shù)最值的理解。讓學(xué)生形成分析二次函數(shù)最值時必須要借助于函數(shù)圖象的思想觀念。通過這三個圖像借助幾何畫板的動態(tài)展示，直觀，易懂，體現(xiàn)了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的深度融合。9應(yīng)變訓(xùn)練：請畫出二次函數(shù)的簡圖，并求當(dāng)時，函數(shù)的最值。（學(xué)生按照要求畫出簡圖后，3分鐘后安排小組合作討論，取長補短，同伴互助。6分鐘后展示學(xué)生的作品，并予以嘉許?。驹O(shè)計意圖】及時通過變式訓(xùn)練，鞏固所學(xué)的技能。同時在問題設(shè)計時有意改變開口方向，并人為設(shè)定閉區(qū)間求最值。對學(xué)生的識圖能力作了必要的拓展！在問題的解決過程中，安排小組合作，讓組內(nèi)優(yōu)秀的學(xué)生充當(dāng)小老師，提升的課堂的教學(xué)效率。10及時小結(jié)：函數(shù)實際問題的研究，務(wù)必關(guān)注自變量的取值范圍，結(jié)合直觀的函數(shù)圖像進行分析，這就是數(shù)學(xué)中常說的數(shù)形結(jié)合思想。（四）精練反饋：1布置練習(xí)：某興趣小組想借助于如圖的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB,CB兩邊），設(shè)AB=xm。(1)當(dāng)x=_______m，圍成的矩形花園面積最大，最大面積是_________.（2）若在點P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），求花園面積S的最大值。2成果監(jiān)測：（要求學(xué)生獨立完成題目，在第5分鐘時，公布第一小題答案。在第7分鐘時，幫助學(xué)生理解題意，界定自變量的取值范圍。）【設(shè)計意圖】練習(xí)中問題的設(shè)計有梯度，第一小題屬于常規(guī)問題，難度較小，絕大多數(shù)學(xué)生能夠借助于函數(shù)表達式求出最大值。第二小題巧妙地借助了樹的位置，確定了自變量的范圍，進而結(jié)合圖像獲得函數(shù)的區(qū)間。（五）領(lǐng)悟小結(jié)：1函數(shù)模型：善于借力于列表+推理方式分析錯綜復(fù)雜的變量之間的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系。2數(shù)形結(jié)合：實際問題中多注意關(guān)注自變量的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖