湖南省長沙外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

長沙外國語學(xué)校2023年下學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)命題人：吳逸凡審題人：付文強(qiáng)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．若直線的斜率大于1，則的傾斜角的取值范圍為（）A． B． C． D．3．“”的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．4．已知橢圓的離心率為是的兩個焦點，為上一點，若的周長為，則橢圓的焦距為（）A． B． C． D．5．圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．6．已知，且，則（）A． B． C． D．7．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他認(rèn)為最滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)——圓柱容球定理．如右圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊（即圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑），則圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B．2 C． D．8．已知，點為直線上的一點，點為圓上的一點，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9．若直線過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則該直線的一般式方程可能為（）A． B． C． D．10．已知直線和圓，則（）A．直線恒過定點 B．存在使得直線與直線垂直C．直線與圓相交 D．直線被圓截得的最短弦長為11．如圖，在正方體中，，點分別在棱和上運動（不含端點），若，則下列命題正確的是（）A． B．平面C．線段長度的最大值為1 D．三棱錐體積不變12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，為頂點，為焦點，為橢圓上一點，下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A．長軸長為4，短軸長為 B．C．軸，且 D．四邊形的內(nèi)切圓過焦點三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為______．14．從長度為的4條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為______．15．圓上點到直線距離的最小值是______．16．如圖所示，已知橢圓的方程為，若點為橢圓上的點，且，則的面積是______．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知兩圓和．（1）求兩圓的公共弦所在直線的方程；（2）求過兩圓交點且圓心在直線上的圓的方程．18．已知分別為三個內(nèi)角得對邊，且．（1）求；（2）若，求的面積．19．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求二面角的余弦值．20．為了調(diào)查疫情期間物理網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，某校組織了高一年級學(xué)生進(jìn)行了物理測試．根據(jù)測試成績（總分100分），將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中的值；（2）試估計本次物理測試成績的平均分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（3）該校準(zhǔn)備對本次物理測試成績優(yōu)異（將成績從高到低排列，排在前的為優(yōu)異）的學(xué)生進(jìn)行嘉獎，則受嘉獎的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于多少？21．已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．22．已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）解關(guān)于的不等式；（3）設(shè)，若函數(shù)與圖象有2個公共點，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）12345678CBDABDCD二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9101112BCBCDADBD1．C【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可．【詳解】由于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：．，所以，則．又，所以焦點在軸上，故焦點坐標(biāo)為：．故選：C．2．B【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)的傾斜角為，易得，由，且得．故選：B3．D【分析】結(jié)合絕對值不等式的解法，利用充分條件、必要條件的概念判斷即可．【詳解】由解得或，對于A，由得不到，由得不到，所以是的既不充分也不必要條件，不合題意；對于B，由得不到，由得不到，所以是的既不充分也不必要條件，不合題意；對于C，由得不到，由得不到，所以是的既不充分也不必要條件，不合題意；對于D，當(dāng)成立時，一定有，但是成立時，不一定有成立，所以是的一個充分不必要條件．故選：D．4．A【分析】由橢圓的離心率和焦點三角形的周長，列方程組求，可得橢圓的焦距．【詳解】設(shè)橢圓方程為，依題意可知，，解得，所以橢圓的焦距為．故選：A5．B【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的高，再由圓錐的體積公式，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，所以，所以圓錐的體積為．故選：B6．D【分析】由倍角余弦公式并整理得，結(jié)合角的范圍得，進(jìn)而求，應(yīng)用倍角正切公式求值即可．【詳解】由，即，所以或，又，則，所以，則，由．故選：D7．C【分析】設(shè)球的半徑為，從而得到圓柱的底面半徑為，高為，從而求出圓柱的表面積和球的表面積，得到答案．【詳解】設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意可得圓柱的底面半徑為，高為，設(shè)圓柱的表面積為，球的表面積為，故圓柱的表面積與球的表面積之比為．故選：C8．D【分析】令，可得點的坐標(biāo)為，則，即可得答案．【詳解】設(shè)，令，則，則．如圖，當(dāng)三點共線時，且垂直于直線時，有最小值，為，即直線到點距離，為．故選：D9．BC【分析】利用排除法，逐一驗證選項是否滿足題設(shè)條件即可得解，或利用直線的截距式方程、斜截式方程、一般式方程分類討論運算即可得解．【詳解】解法一：對于選項A，直線不過點，故A錯誤；對于選項B，直線過點，又直線過原點，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，故B正確；對于選項C，直線過點，又直線的截距式方程為，直線在軸、軸上的截距分別為和7，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，故C正確；對于選項D，直線的截距式方程為，直線在軸、軸上的截距均為1，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不是相反數(shù)，故D錯誤；解法二：由題意，直線過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則（?。┊?dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時，設(shè)直線方程為：，直線過點，解得：，直線方程為：，即為．（ⅱ）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，設(shè)直線方程為：，直線過點，解得：，直線方程為：，即為．綜上知，該直線的一般式方程為或．故選：BC．10．BCD【分析】利用直線方程求定點可判斷選項A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項B；利用直線恒過定點在圓內(nèi)可判斷選項C；利用弦長公式可判斷選項D．【詳解】對于A，由可得，，令，即，此時，所以直線恒過定點，A錯誤；對于B，因為直線的斜率為，所以直線的斜率為，即，此時直線與直線垂直，滿足題意，B正確；對于C，因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，C正確；對于D，設(shè)直線恒過定點，圓心到直線的最大距離為，此時直線被圓截得的弦長最短為，D正確；故選：BCD．11．AD【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示條件中的垂直關(guān)系，即可判斷選項ABC；利用等體積轉(zhuǎn)化，即可判斷D．【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，且，，得，，所以，故，故A正確；，所以與不垂直，則不垂直與平面，故B錯誤；所以時，的最大值為，故C錯誤；，故D正確．故選：AD12．BD【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形一一計算判定即可．【詳解】對于A項，若長軸長為4，短軸長為，可知此時，即A錯誤；對于B項，若，此時，即，符合定義，即B正確；對于C項，若軸，且，易得，且，則，即C錯誤；對于D項，若四邊形的內(nèi)切圓過焦點，則到直線的距離為，此時，解之得，又，符合定義，即D正確．故選：BD13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以的虛部為，故答案為：．14．【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果．【詳解】從4條線段中任取3條，則有共4個基本事件；其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：共1個；所求概率．故答案為：15．1【分析】求出圓心到直線的距離后減去半徑可得．【詳解】由題意圓心為，半徑為1，圓心到已知直線的距離為，所以所求距離最小值為．故答案為：1．16．【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識求得，從而求得的面積．【詳解】由已知，得，則，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化簡解得，所以的面積為．故答案為：．17．（1） （2）【分析】（1）兩圓的方程相減，即可得公共弦所在直線的方程；（2）根據(jù)題意，得到所求圓的圓心在直線上，聯(lián)立方程組求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可的圓的方程．【詳解】（1）解：由圓和，兩個圓的方程相減，可得，即兩圓的公共弦所在直線的方程為．（2）解：由兩圓方程，可得圓心，可得圓心連線所在直線的方程為，由圓的性質(zhì)，可得所求圓的圓心在直線上，由方程組，解得，又由方程組，解得或，即兩個圓的交點為或，即所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以所求圓的方程為．18．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知由余弦定定理化簡得，再利用余弦定理求得，從而可求角；（2）利用余弦定理及已知條件求得，代入三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）因為，由余弦定理得：，整理得：，所以，即，所以又，所以．（2）由余弦定理得：，化簡得，解得，所以，所以的面積為．19．（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)可得，根據(jù)平面可得，進(jìn)而得到平面，最后根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）過作于，連結(jié)，通過證明平面平面，找到二面角的平面角，進(jìn)而計算即可．【詳解】（1）證明：是圓的直徑，，又平面平面，，，且平面，平面，又平面，平面平面．（2）過作于，連結(jié)，平面平面，，，且平面，平面，又平面，，為二面角的平面角，在中，，，則，二面角的余弦值為．20．（1）；（2）71；（3）88．【分析】（1）由直方圖區(qū)間頻率和為1求參數(shù)；（2）根據(jù)直方圖求物理測試成績的平均分即可；（3）根據(jù)直方圖求出成績從高到低排列且頻率為對應(yīng)分?jǐn)?shù)即可．【詳解】（1）由，解得；（2），故本次防疫知識測試成績的平均分為71；（3）設(shè)受嘉獎的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于分，因為對應(yīng)的頻率分別為，所以，解得，故受嘉獎的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于88分．21．（1）（2）證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗證為定值即可．【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為．（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即，同理可得，則所以線段的中點是定點．【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．22．（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)