高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題2.6 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型檢測（教師版）

專題2.6二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春?珠海期末）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．? C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}【解題思路】直接求解一元二次不等式即可．【解答過程】解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，∴原不等式的解集為{x|﹣3＜x＜﹣1}．故選：C．2．（3分）（2022春?小店區(qū)校級月考）若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】解不等式1x＞1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根據(jù)兩不等式的解集判斷p與【解答過程】解：不等式1x＞1可化為1x?1＞0，即1?xx＞0，即x?1x＜0，解得0＜不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化為（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為（﹣∞，1]∪[3，+∞）；因為（0，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要條件．故選：A．3．（3分）（2022春?池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集為（﹣1，t）（t＞﹣1），則k+m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解題思路】依題意可得x＝﹣1為方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入計算可得．【解答過程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集為（﹣1，t）（t＞﹣1），∴x＝﹣1為2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．故選：B．4．（3分）（2022?慈溪市校級開學(xué)）若關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，則m的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）【解題思路】當(dāng)m＝0時，關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；當(dāng)m≠0時，m＞0Δ=4?4【解答過程】解：關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，當(dāng)m＝0時，關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；當(dāng)m≠0時，∵關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，∴m＞0Δ=4?4m2＜0，解得m∴m的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．5．（3分）（2022春?雙鴨山期末）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣2，4），則不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜?12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜?14或x＞12} D．{x【解題思路】由已知結(jié)合二次方程與二次不等式的關(guān)系可得a，b，c的關(guān)系及范圍，然后結(jié)合二次不等式的求法即可求解．【解答過程】解：由題意得a＜所以b＝﹣2a＞0，c＝﹣8a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得?14＜故選：B．6．（3分）（2022?興縣校級開學(xué)）若關(guān)于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(53，74] B．[53【解題思路】關(guān)于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2，轉(zhuǎn)化為（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因為解集中的整數(shù)恰有3個，得到0＜a＜4，令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0的兩根為x=2±a4?a，即可得出不等式（4﹣a）x2﹣4x+1＜0的解集為2?a4?a＜x＜2+a4?a，即12+a【解答過程】解：由題意得（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因為解集中的整數(shù)恰有3個，則4﹣a＞0，Δ＝4a＞0，即0＜a＜4．令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0，則兩根為x=2±不等式的解滿足2?a4?a＜x＜2+a4?a，即12+為使解集中的整數(shù)恰有3個，則必須且只需滿足3＜12?a≤4所以實數(shù)a的取值范圍是(25故選：D．7．（3分）（2022春?遼寧期末）關(guān)于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有兩個正根x1，x2（x1＜x2），下列結(jié)論錯誤的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+x2的取值范圍是D．x12+x22的取值范圍是{【解題思路】利用根的判別式求出m的取值范圍，進而求出0＜x1＜2，2＜x2＜6，判斷AB；由x1x2x1【解答過程】解：∵x2+（m+4）x+2m+20＝0有兩不相等實數(shù)根，∴Δ＝（m+4）2﹣4（2m+20）＝m2﹣64＞0，解得m＜﹣8，或m＞8．∵x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＝﹣（m+4）＞0，x1x2＝2m+20＞0，m的取值范圍為（﹣10，﹣8）．∴4＜x1+x2＜6，0＜x1x2＜4．∵x2＞x1，∴0＜x1＜2，2＜x2＜6，故AB都正確．∵x1∴x1x2x1+x2的取值范圍是{x|0＜故選：D．8．（3分）（2021秋?豐城市校級月考）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若對于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，則t的取值范圍是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}【解題思路】根據(jù)不等式的解集求出b、c的值，代入不等式﹣2x2+bx+c+t≤4，化為關(guān)于t，x不等式恒成立問題，可得出t的取值范圍．【解答過程】解：不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，所以3和﹣1是方程﹣2x2+bx+c＝0的解，所以3﹣1=b﹣1×3=?解得：b＝4，c＝6，故任意x∈{x|﹣1≤x≤0}時，﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，化為任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，﹣2x2+4x+6+t≤4恒成立，即任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，t≤（2x2﹣4x﹣2）min，因為2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，在x∈[﹣1，0]內(nèi)，當(dāng)x＝0時取得最小值﹣2，所以t的取值范圍是{t|t≤﹣2}，故選：B．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022?天元區(qū)校級開學(xué)）與不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞0【解題思路】先求出已知不等式的解集，然后根據(jù)一元二次不等式的解法對各個選項逐個求解判斷即可．【解答過程】解：不等式x2﹣x+2＞0的解集為R，A：不等式可以化為x2﹣x+2＞0，與已知不等式相同，所以解集也相同，故A正確，B：因為Δ＝9﹣2×4×2＝﹣7＜0，所以不等式的解集為R，故B正確，C：因為Δ＝1﹣1×4×3＝﹣11＜0，所以不等式的解集為R，故C正確，D：不等式x2+x﹣2＞0的解集為{x|x＞1或x＜﹣2}，故D錯誤，故選：ABC．10．（4分）（2022春?安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣1，2），則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣3，1） D．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解題思路】將不等式轉(zhuǎn)化為方程，再利用圖象即可求解．【解答過程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），則a＜0，正確．B：由題意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正確．C：由題意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，則由韋達(dá)定理得ba=?1，ca=?2，即bx2+cx+3a＞0變?yōu)椹乤x2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C錯誤，D正確．故選：ABD．11．（4分）（2021秋?上饒期末）下列關(guān)于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集討論正確的是（）A．當(dāng)a＝1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為? B．當(dāng)a＞1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為（a，+∞） C．當(dāng)a＜1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為{x|x＜a或x＞1} D．無論a取何值時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不為空集【解題思路】根據(jù)題意，分別求解各選項的解集即可．【解答過程】解：a＝1時，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化為（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以不等式的解集為{x|x≠1}，選項A錯誤；a＞1時，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化為（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，所以不等式的解集為（﹣∞，1）∪（a，+∞），選項B錯誤；a＜1時，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化為（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，所以不等式的解集為{x|x＜a或x＞1}，選項C正確；由選項A、B、C知，無論a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不為空集，選項D正確．故選：CD．12．（4分）（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集為{x|x＜12或xB．若實數(shù)a，b，c滿足ac2＞bc2，則a＞b C．若x∈R，則函數(shù)y=x2+4D．當(dāng)x∈R時，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是（0，4）【解題思路】A中，求出不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集即可；B中，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可；C中，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式，即可判斷正誤；D中，分類討論求出不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立時k的取值范圍．【解答過程】解：對于A，不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0可化為（2x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x＜12或x＞1，所以該不等式的解集為{x|x＜12或x對于B，當(dāng)ac2＞bc2時，c2＞0，所以a＞b，選項B正確；對于C，因為x2≥0，所以x2+4≥4，所以x2+4所以y=x2+4+1x對于D，k＝0時，不等式kx2﹣kx+1＞0為1＞0，恒成立，k≠0時，應(yīng)滿足k＞0△=k2?4k＜所以k的取值范圍是[0，4），選項D錯誤．故選：AB．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022春?商洛期末）不等式x2+2x﹣8≤0的解集是[﹣4，2]．【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解．【解答過程】解：由x2+2x﹣8≤0得，（x﹣2）（x+4）≤0，∴﹣4≤x≤2，∴故答案為：[﹣4，2]．14．（4分）（2021秋?山西月考）已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是[32【解題思路】解不等式2x2﹣3x﹣2≥0得x≥2或x≤?12，解不等式x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0x≥a或x≤a﹣2，由題意得?12≤a﹣【解答過程】解：∵2x2﹣3x﹣2≥0，∴x≥2或x≤?∵x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，∴（x﹣a）（x﹣（a﹣2））≥0，∴x≥a或x≤a﹣2，∵p是q的充分不必要條件，∴?12≤a﹣2且a解得32≤a≤故答案為：[32，2]15．（4分）（2022春?京口區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，則cx2﹣bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（?13，+【解題思路】根據(jù)關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的關(guān)系，即可解之．【解答過程】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3?ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化為3x2+4x+1＞故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（?13，16．（4分）（2021秋?臨沂期中）對任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x?38＜0都成立，則實數(shù)k的取值范圍為（?1【解題思路】由二次不等式恒成立結(jié)合圖象求解即可．【解答過程】解：因為對任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x?38所以k?解得?12＜k即實數(shù)k的取值范圍為（?12，故答案為：（?12，四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022?南京模擬）解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤0【解題思路】（1）（3）（4）對不等式的左邊分解因式求解，（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，然后對不等式的左邊分解因式求解．【解答過程】解：（1）由2x2﹣3x+1≤0，得（x﹣1）（2x﹣1）≤0，解得12所以不等式的解集為{x|12≤x≤1（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，則（x﹣1）（x+6）＞0，解得x＜﹣6或x＞1，所以不等式的解集為{x|x＜﹣6或x＞1}；（3）由4x2﹣4x+1＞0，得（2x﹣1）2＞0，解得x≠所以不等式的解集為{x|x≠1（4）由x2﹣6x+9≤0，得（x﹣3）2≤0，得x＝3，所以不等式的解集為{x|x＝3}．18．（6分）（2022?天元區(qū)校級開學(xué)）解下列關(guān)于x的不等式：（a為實數(shù)）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax?1x?2＞【解題思路】（1）分類討論判別式Δ的符號，數(shù)形結(jié)合即可求解；（2）先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再分類討論a的符號及1a與2【解答過程】解：（1）①當(dāng)Δ＝4﹣4a≤0，即a≥1時，原不等式的解集為?；②當(dāng)Δ＝4﹣4a＞0，即a＜1時，原不等式的解集為（?1?1?a綜合可得：當(dāng)a≥1時，原不等式的解集為?；當(dāng)a＜1時，原不等式的解集為（?1?1?a（2）∵原不等式可化為（ax﹣1）（x﹣2）＞0，①當(dāng)a＝0時，原不等式可化為x﹣2＜0，∴x＜2，∴原不等式的解集為（﹣∞，2）；②當(dāng)a＜0時，1a∴原不等式的解集為（1a，2③當(dāng)a＞0時，若1a＜2，即a＞12時，原不等式的解集為（﹣∞，1若1a=2，即a=12時，原不等式的解集為{x|若1a＞2，即0＜a＜12時，原不等式的解集為（﹣∞，2綜合可得：當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為（1a，2當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為（﹣∞，2）；當(dāng)0＜a＜12時，原不等式的解集為（﹣∞，2）∪（1a當(dāng)a=12時，原不等式的解集為{x|x≠當(dāng)a＞12時，原不等式的解集為（﹣∞，1a）∪（219．（8分）（2022?天元區(qū)校級開學(xué)）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x＜13【解題思路】利用一元二次不等式的解法建立方程求出a，b的值，然后代入所求不等式，再利用分式不等式的解法即可求解．【解答過程】解：因為不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x則?12，13是方程ax2+bx+1＝0的兩根，則?12+1所以不等式ax+3x?b≤0可以化為：?6x+3即2x?1x+1≥0，則解不等式可得：x＜﹣1或x所以不等式的解集為{x|x＜﹣1或x≥1220．（8分）（2021秋?漢中月考）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣x﹣a﹣1．（1）若?x∈（2，+∞），f（x）+3＞0，求a的取值范圍；（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．【解題思路】（1）當(dāng)a＝0時不成立，當(dāng)a≠0時，不等式化為a＞x?2x2?1在x＞2時恒成立，只需a＞（x?2x2?1）max，然后利用基本不等式即可求解；（2）對a＝0【解答過程】解：（1）當(dāng)a＝0時，f（x）+3＝﹣x﹣1+3＝﹣x+2＞0，解得x＜2與已知矛盾，故a≠0，則當(dāng)x＞2時，f（x）+3＝ax2﹣x﹣a﹣1+3＝a（x2﹣1）﹣x+2＞0恒成立，即a＞x?2x2?1在x＞2時恒成立，只需a＞（又因為x?2x當(dāng)且僅當(dāng)x﹣2=3x?2，即x＝2+3時取等號，此時（x?2所以a＞1?32，即實數(shù)a（2）原不等式可化為（x+1）[ax﹣（a+1）]＞0，當(dāng)a＝0時，不等式為﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1，當(dāng)a＞0時，解不等式可得x＞a+1a或x＜﹣當(dāng)a＜0時，令﹣1=a+1a，解得a所以當(dāng)?12＜a=?12時，不等式化為（x+1）2＜0當(dāng)a＜?12時，解不等式可得﹣綜上：a＝0時，不等式解集為（﹣∞，﹣1），a＞0時，不等式解集為（﹣∞，﹣1）∪(?12＜a=?12a＜?12時，不等式解集為（﹣121．（8分）（2022春?滄州期末）已知函數(shù)f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6，a∈R．（1）解關(guān)于a的不等式f（﹣3）＜0；（2）若m∈R，a＞0，關(guān)于x的不等式f（x）+a3+21＞0的解集為（m﹣4，m+5），求a的值．【解題思路】（1）f（﹣3）＝﹣27﹣3a（6﹣a）+6＜0，由此能求出所求不等式的解集．（2）法一：不等式f（x）+a3+21＞0可化為3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＜0，利用根的判別式、韋達(dá)定理能求出a．法二：不等式f（x）+a3+21＞0可化為3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＜0，利用根的判別式、韋達(dá)定理能求出a．【解答過程】解：（1）函數(shù)f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6，a∈R，關(guān)于a的不等式f（﹣3）＜0，∴由題意知f（﹣3）＝﹣27﹣3a（6﹣a）+6＜0，化簡得a2﹣6a﹣7＜0，解得﹣1＜a＜7．所以所求不等式的解集為{a|﹣1＜a＜7}．（2）解法一：不等式f（x）+a3+21＞0可化為3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＜0．關(guān)于x的方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣a3﹣27＝0的判別式：Δ＝[a（6﹣a）]2+12（