高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（必修二）：專題6.11 解三角形（重難點題型精講）（教師版）

專題6.11解三角形（重難點題型精講）1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示(2)對余弦定理的理解①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關系

由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

③已知三邊，求三角形的三個角.(3)正弦定理在解三角形中的應用公式==反映了三角形的邊角關系.

由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.4．測量問題(1)測量距離問題的基本類型和解決方案

當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：(2)測量高度問題的基本類型和解決方案

當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：(3)測量角度問題測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據(jù)題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.5．對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個值，一個大于，一個小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時需進行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：6．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長.

②=，=，=.【題型1三角形的解的個數(shù)問題】【方法點撥】方法一：從代數(shù)的角度分析，利用正弦定理進行分析；方法二：從幾何的角度分析，結(jié)合幾何圖形進行分析求解.【例1】（2022秋·陜西寶雞·高二期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定【解題思路】根據(jù)bsin【解答過程】因為bsin所以122<18<24，即故選：B.【變式1-1】（2022·高一課時練習）在△ABC中，若b=3，c=322，B=A．無解 B．兩解C．一解 D．解的個數(shù)不能確定【解題思路】根據(jù)正弦定理求出sinC【解答過程】由正弦定理，得bsin得sinC=因為c<b，則C<B，故C為銳角，故滿足條件的△ABC只有一個.故選：C.【變式1-2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三階段練習）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．a(chǎn)=5,b=4,A=B．a(chǎn)=4,b=5,A=C．a(chǎn)=5,b=4,A=D．a(chǎn)=4,b=5,A=【解題思路】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【解答過程】對于A：由正弦定理可知，a∵a>b，∴B<A=π6，故三角形對于B：由正弦定理可知，asin∵b>a，∴B>A=π4，故三角形對于C：由正弦定理可知，a∵A為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形△ABC有一解；對于D：由正弦定理可知，asinA=故選：B.【變式1-3】（2022秋·陜西咸陽·高二階段練習）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a=23,b=6,A=πA．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數(shù)不確定【解題思路】利用正弦定理結(jié)合已知條件分析判斷即可.【解答過程】由正弦定理asinA=bsin因為a<b，所以A<B.又因為B∈(0,π)，所以B=π3或故此三角形有兩解，故選：C.【題型2利用正弦定理解三角形】【方法點撥】事實上，所謂解三角形本質(zhì)上就是解基于邊角的內(nèi)蘊方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時，(1)由三角形內(nèi)角和定理A+B+C=，可以計算出三角形的第三個角；(2)由正弦定理==，可計算出三角形的另兩邊.【例2】（2022春·河北唐山·高一階段練習）在△ABC中，sinA=13，b=3sinA．32 B．33 C．3 【解題思路】利用正弦定理即可求解.【解答過程】由asin得a=b故選：B.【變式2-1】（2022春·廣西貴港·高一期中）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=2,b=5,B=45°，則A．25 B．105 C．55【解題思路】根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果.【解答過程】由正弦定理asin得sinA=故選：B.【變式2-2】（2022秋·甘肅定西·高二開學考試）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則a：b：c=（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：3：1 D．1：3：2【解題思路】根據(jù)題意利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為π運算求解.【解答過程】∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=π∴∠A=π6，∠B=π3，故a:b:c=故選：D.【變式2-3】（2022秋·遼寧葫蘆島·高三階段練習）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=2，cosB=13，則△ABCA．324 B．322 C．【解題思路】利用三角函數(shù)基本關系式求出sinB=【解答過程】因為cosB=13，0<B<因為b=2，所以bsinB=32故選：A.【題型3利用余弦定理解三角形】【方法點撥】根據(jù)具體題目，利用余弦定理或其推論，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022春·山東聊城·高一期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a:b:c=3:7:2，則B等于（A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】由a:b:c=3:7:2，設【解答過程】解：在△ABC中，a:b:c=3:7設a=3t,b=7由余弦定理得cosB=因為B∈0,π所以B=π故選：B.【變式3-1】（2022春·浙江麗水·高一階段練習）在△ABC中，a=7,b=43,c=13A．π3 B．π4 C．π6【解題思路】由已知，根據(jù)條件給出的三邊確定△ABC的最小角為C，直接利用余弦定理計算cosC【解答過程】由已知，在△ABC中，a=7,b=43因為a>b>c，所以△ABC的最小角為C，所以cosC=又因為C∈0,所以C=π故選：C.【變式3-2】（2022秋·陜西西安·高二期中）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若sinA=32，b=3，c=5，則a=A．7 B．19 C．7或19 D．19【解題思路】根據(jù)正弦值，分別在A=π3和【解答過程】∵A∈0,π，sinA=32當A=π3時，a2當A=2π3時，a2綜上所述：a=7或19.故選：C.【變式3-3】（2022秋·河南·高三階段練習）在△ABC中，A=34π,AB=6,AC=32，點D在BC邊上，且AD=BD，則A．22 B．23 C．10 【解題思路】先利用余弦定理求出BC，設∠ADB=θ，AD=x，在△ABD,△ACD分別利用余弦定理列方程，解方程組可求出x，從而可求得結(jié)果.【解答過程】由余弦定理知BC所以BC=310在△ABD中，設∠ADB=θ，則∠ADC=180設AD=x，則BD=x,DC=310由余弦定理AB即36=2x2AC即18=x2由①②解得x=10，即AD=故選：C.【題型4三角形的面積問題】【方法點撥】根據(jù)具體條件，結(jié)合三角形面積公式，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·陜西·高三階段練習）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=217,b=52,cosA．362 B．183 C．27【解題思路】根據(jù)余弦定理求出c，再根據(jù)cos2A+sin【解答過程】由余弦定理得：a即4×17=50+c2?2×52?所以c=92，又因為cos2所以△ABC的面積為1故選：C.【變式4-1】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三階段練習）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinB=bsinC，則A．a(chǎn)2sin2CC．c2sin2B【解題思路】根據(jù)題意和正弦定理可得sinA=sinC，進而a=c,A=C【解答過程】asin得sinAsinB=sinB所以sinA=sinC所以sinB=所以△ABC的面積為S=1故選：A.【變式4-2】（2022秋·甘肅武威·高三階段練習）已知△ABC中，a?b?c分別是角A?B?C所對的邊，已知bc=b2?2c2，若a=3，A．154 B．374 C．9【解題思路】根據(jù)條件求出b=2c，結(jié)合余弦定理求出b，c的值，然后利用三角形的面積公式進行求解即可.【解答過程】∵bc=b2?2c2∵b?c均為三角形的邊，b+c≠0，∴b?2c=0，即b=2c，∵a=3，cos∴由余弦定理：a2=b2+c再將b=2c代入?式可得：c2得c=62，又由cosA=34所以，三角形ABC的面積是：S=1故選：D.【變式4-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三階段練習）已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，則△ABC的面積的最大值為（

）A．3 B．33 C．9 D．【解題思路】法一：根據(jù)正弦定理，將角化邊，從而利用三角形面積公式，半角公式及三角函數(shù)有界性求出面積的最大值；法二：根據(jù)正弦定理，將邊化角，得到tanB=2tanC，畫出圖形，作出輔助線，設AD=?,BD=x【解答過程】法一：由正弦定理得：a=3S△ABC法二：由正弦定理得：sinB所以sin故tanB=2tanC，如圖所示：過點A作AD⊥BC設AD=?,BD=x，則CD=2x，由勾股定理得：x2所以S△ABC當且僅當x=故選：A.【題型5正、余弦定理在幾何圖形中的應用】【方法點撥】正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關鍵是尋找相應的三角形，并在三角形中運用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊創(chuàng)造的互補或互余關系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關于角的關系的方程.【例5】（2023秋·北京東城·高三期末）如圖，在銳角△ABC中，B=π4，AB=36，AC=6，點D在BC(1)求∠ACB；(2)求△ACD的周長.【解題思路】（1）在△ABC中，利用正弦定理即可求解；（2）由（1）可求得∠ACD=2π3，在△ACD中，利用余弦定理可求CD，從而可求【解答過程】（1）在△ABC中，B=π4，AB=36由正弦定理可得ABsin∠ACB=因為△ABC是銳角三角形，所以∠ACB=π（2）由（1）得∠ACB=π3，所以在△ACD中，AC=6，CD=10，∠ACD=2π所以AD=A所以△ACD的周長為6+10+14=30.【變式5-1】（2022秋·陜西渭南·高二期末）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=3，b=2，cosA=(1)求c的值；(2)求sinC的值及△ABC【解題思路】(1)直接利用余弦定理計算即可；(2)由題意可知sinA=32，利用正弦定理求sin【解答過程】（1）∵a=3，b=2，cosA=∴由余弦定理，得a2解得c=6（2）在△ABC中，∵cosA=12,0<A<∵asin∴sinC=∴S△ABC【變式5-2】（2022秋·廣東揭陽·高二期末）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，ca(1)求A；(2)若角A的平分線AD交BC于D，且BD=2DC，AD=23，求a【解題思路】（1）利用正弦定理進行邊角互換得到sinCsinAcosB+sinB（2）根據(jù)角平分線定理得到c=2b，然后利用等面積的思路得到bc=2b+c，解方程即可得到b=3，c=6，最后利用余弦定理求a【解答過程】（1）因為ca所以sinC即sin2即c2+b因為A∈0,π，所以A=（2）因為角A?的平分線AD?交BC?于D?，且BD=2DC，由角平分線定理得：c=2b，又S△ABC即12所以AD=3bcb+c=23，即bc=2由余弦定理得，a2=c【變式5-3】在銳角△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周長的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理得到a2+c（2）根據(jù)正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cosA【解答過程】（1）sinA?sinB即a2由余弦定理得：cosB=因為B∈0,所以B=π（2）銳角△ABC中，a=2，B=π由正弦定理得：2sin故b=1則b+c==3因為銳角△ABC中，B=π則A∈0,π2解得：A∈π故tanA∈3,+則1tan故b+c∈1+3,2所以三角形周長的取值范圍是3+3【題型6解三角形的實際應用】【方法點撥】正、余弦定理在解決實際問題中的應用，本質(zhì)上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)問題中的應用，因此利用幾何圖形本身及實際問題中涉及的術語(如方位角等)構(gòu)建恰當?shù)娜切危谌切沃羞\用正弦定理或余弦定理即可.【例6】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經(jīng)測量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，CD=32，DE＝8，且cos(1)求BE的長度；(2)景區(qū)擬規(guī)劃△ABE區(qū)域種植花卉，應該如何設計，才能使種植區(qū)域△ABE面積最大，并求此最大值．【解題思路】（1）在△BCD中，根據(jù)正弦定理，可得BD的長，在△BDE中，根據(jù)余弦定理，即可得答案.（2）在△ABE中，由余弦定理及基本不等式，可得AB×AE≤1003【解答過程】（1）在△BCD中，由正弦定理得CDsin所以BD=CD?在△BDE中，由余弦定理得cos∠DBE=所以35=36+BE2（2）在△ABE中，由余弦定理得cos∠BAE=所以AB所以AB×AE≤100當且僅當AB=AE=10此時△ABE面積最大值S=1所以當步行觀光旅游路線AB=AE=1033時，種植區(qū)域△ABE【變式6-1】（2022·高一課時練習）江西浮梁地大物博，山清水秀；據(jù)悉，某建筑公司在浮梁投資建設玻璃棧道?摩天輪等項目開發(fā)旅游產(chǎn)業(yè)，考察后覺得當?shù)貎勺街g適合建造玻璃棧道，現(xiàn)需要測量兩山頂M，N之間的距離供日后施工需要，特請昌飛公司派直升機輔助測量，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖）.飛機測量的數(shù)據(jù)有在A處觀察山頂M，N的俯角為：α1=60°,β1=30°，在B處觀察山頂M，N的俯角為；α2=45°,β2=75°，飛機飛行的距離（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,【解題思路】由正