相容性獨立性完全性

1、1“相容性、獨立性和完全性相容性、獨立性和完全性”的觀點的觀點2一、相容性、獨立性和完全性一、相容性、獨立性和完全性 組織、表述數(shù)學(xué)知識和理論的經(jīng)典方法，往往是形式的組織、表述數(shù)學(xué)知識和理論的經(jīng)典方法，往往是形式的公理化方法公理化方法，即從一批公理、定義出發(fā)，通過邏輯推理，得，即從一批公理、定義出發(fā)，通過邏輯推理，得到一系列結(jié)論（稱為命題、定理或推論）的方法。到一系列結(jié)論（稱為命題、定理或推論）的方法。 公元前公元前300年歐幾里得的年歐幾里得的 幾何幾何原本原本：5條公理；條公理；5條共設(shè)；條共設(shè)；119個定義；個定義；465個命題個命題 1899年希爾伯特的年希爾伯特的幾何基礎(chǔ)幾何基礎(chǔ)：幾

2、何對象的深刻抽象；公理系統(tǒng)的邏輯要求幾何對象的深刻抽象；公理系統(tǒng)的邏輯要求 20條公理，分為五組：關(guān)聯(lián)公理，順序公理，合同公理，平行公理，連續(xù)公理。條公理，分為五組：關(guān)聯(lián)公理，順序公理，合同公理，平行公理，連續(xù)公理。 形式的公理化方法在邏輯上的要求，是滿足形式的公理化方法在邏輯上的要求，是滿足相容性、獨相容性、獨立性和完全性立性和完全性。31.相容性：不允許從公理系統(tǒng)推出矛盾相容性：不允許從公理系統(tǒng)推出矛盾2.獨立性：每一個公理不可由其它公理獨立性：每一個公理不可由其它公理 推出推出3.完全性：該形式系統(tǒng)中所有命題都能完全性：該形式系統(tǒng)中所有命題都能 判定真?zhèn)闻卸ㄕ鎮(zhèn)? 【含有含有“不可判定命

3、題不可判定命題”的系統(tǒng)是不完全的系統(tǒng)是不完全的。的。 所謂不可判定命題，是指該命題和其反所謂不可判定命題，是指該命題和其反命題都不能由該系統(tǒng)中的公理推導(dǎo)出來。命題都不能由該系統(tǒng)中的公理推導(dǎo)出來。 （A與非與非A都能導(dǎo)出都能導(dǎo)出叫叫“不相容不相容”，A與非與非A都不能導(dǎo)出都不能導(dǎo)出叫叫“不完全不完全”）】5二、哥德爾的不完全性定理二、哥德爾的不完全性定理 1.關(guān)于關(guān)于 數(shù)學(xué)證明數(shù)學(xué)證明 與與 科學(xué)證明科學(xué)證明 的再認識的再認識 公理邏輯推理公理邏輯推理 假說觀察、實驗假說觀察、實驗 （主觀符合客觀）（主觀符合客觀） 不能推翻不能推翻 可能推翻可能推翻6 數(shù)學(xué)證明是依靠邏輯推理導(dǎo)出結(jié)論，定理一經(jīng)數(shù)

4、學(xué)證明是依靠邏輯推理導(dǎo)出結(jié)論，定理一經(jīng)證明證明就永遠是對的，就永遠是對的，除非發(fā)現(xiàn)證明本身有誤。除非發(fā)現(xiàn)證明本身有誤。 而其它學(xué)科的證明，往往是在某些依據(jù)下提出一種而其它學(xué)科的證明，往往是在某些依據(jù)下提出一種假說假說，當(dāng)觀察和，當(dāng)觀察和實驗與該假說相符，就成為假說成立的證據(jù)。如果該假說不僅能描述已實驗與該假說相符，就成為假說成立的證據(jù)。如果該假說不僅能描述已知的現(xiàn)象，而且能預(yù)見未知的事實，就成為假說成立的更強的證據(jù)。證知的現(xiàn)象，而且能預(yù)見未知的事實，就成為假說成立的更強的證據(jù)。證據(jù)積累到一定的數(shù)量，假說就改稱為理論而被人們接受。據(jù)積累到一定的數(shù)量，假說就改稱為理論而被人們接受。 觀察和實驗是可

5、能出錯的，或者可能是不精確的，從而只能提供近觀察和實驗是可能出錯的，或者可能是不精確的，從而只能提供近似的證據(jù)，導(dǎo)出似的證據(jù)，導(dǎo)出相對相對正確的理論。所以其它學(xué)科的理論，可能在后來會正確的理論。所以其它學(xué)科的理論，可能在后來會被證明是錯的，從而導(dǎo)致科學(xué)上的革命，以至用新理論去代替舊理論。被證明是錯的，從而導(dǎo)致科學(xué)上的革命，以至用新理論去代替舊理論。數(shù)學(xué)證明卻與此不同，數(shù)學(xué)證明不是依賴于觀察和實驗，而是依賴于邏數(shù)學(xué)證明卻與此不同，數(shù)學(xué)證明不是依賴于觀察和實驗，而是依賴于邏輯，所以，數(shù)學(xué)證明具有輯，所以，數(shù)學(xué)證明具有“絕對絕對的意義的意義”。7 這些，是我們過去的認識。但是，形式的、公理化的、邏輯

6、的推理方這些，是我們過去的認識。但是，形式的、公理化的、邏輯的推理方法確實是無懈可擊嗎？數(shù)學(xué)真理一定是絕對真理嗎？法確實是無懈可擊嗎？數(shù)學(xué)真理一定是絕對真理嗎？ 1931年，年僅年，年僅25歲的奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家哥德爾（歲的奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家哥德爾（Kurt .Godel 1906年年1978年）在年）在數(shù)學(xué)物理期刊數(shù)學(xué)物理期刊上發(fā)表了一篇題為上發(fā)表了一篇題為“論論數(shù)學(xué)原數(shù)學(xué)原理理和有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題和有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題”的論文。他當(dāng)時在維也納大學(xué)。的論文。他當(dāng)時在維也納大學(xué)。論文剛發(fā)表時并未受到重視，但僅過了幾年，就被數(shù)學(xué)界認為是數(shù)學(xué)和論文剛發(fā)表時并未受到重視，但

7、僅過了幾年，就被數(shù)學(xué)界認為是數(shù)學(xué)和邏輯的基礎(chǔ)方面的劃時代文獻。哥德爾的論文提出了邏輯的基礎(chǔ)方面的劃時代文獻。哥德爾的論文提出了公理化方法的局限公理化方法的局限性性，這是人們始料不及的。哥德爾證明了兩個重要的定理，即哥德爾第，這是人們始料不及的。哥德爾證明了兩個重要的定理，即哥德爾第一定理和哥德爾第二定理。一定理和哥德爾第二定理。89 .哥德爾第一定理哥德爾第一定理：對于包含自然數(shù)對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系，中都有不系的任何相容的形式體系，中都有不可判定命題，從而該體系是可判定命題，從而該體系是“不完全不完全”的。的。 （這里，（這里，“包含自然數(shù)系包含自然數(shù)系”不是特別的要求，不是特

8、別的要求， 一般的形式體系都包含自然數(shù)系。）一般的形式體系都包含自然數(shù)系。）10 哥德爾第一定理表明，相容的體系一哥德爾第一定理表明，相容的體系一定是不完全的，這太令人吃驚了！定是不完全的，這太令人吃驚了！ 例如哥德巴赫猜想，至今未被證明，也例如哥德巴赫猜想，至今未被證明，也未被推翻，它是不可判定的命題嗎？那樣我未被推翻，它是不可判定的命題嗎？那樣我們就永遠也不能證明它了！們就永遠也不能證明它了！11 . . 哥德爾第二定理哥德爾第二定理：對于包含自然數(shù)系的任何相對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系，容的形式體系，“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。 只有有窮個命題的體系，只有有窮

9、個命題的體系，“體系的相容性體系的相容性”原則上是可原則上是可以判定的；但包含自然數(shù)系的形式體系中有無窮個命題以判定的；但包含自然數(shù)系的形式體系中有無窮個命題（因為（因為自然數(shù)有無窮多個）自然數(shù)有無窮多個），而哥德爾又證明了：對于包含自然數(shù)系的，而哥德爾又證明了：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系，任何相容的形式體系，“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。 這就是說，公理化體系對邏輯的三條最基本的要求這就是說，公理化體系對邏輯的三條最基本的要求相容性、獨立性、完全性，是無法同時滿足的相容性、獨立性、完全性，是無法同時滿足的。 公理化體系大廈的基礎(chǔ)崩塌了！公理化體系大廈的基礎(chǔ)崩塌了！

10、據(jù)說，哥德爾對據(jù)說，哥德爾對“形式化形式化”方法的懷疑，方法的懷疑，是受到一個是受到一個 有名的悖論的啟發(fā)有名的悖論的啟發(fā)說謊者悖論：說謊者悖論：“這句話是謊話。這句話是謊話?！备绲聽柕哪７拢焊绲聽柕哪７拢骸斑@句話是不能證明的。這句話是不能證明的?！眴l(fā)：啟發(fā)：任何形式系統(tǒng)中都有這樣的命題任何形式系統(tǒng)中都有這樣的命題 在該系統(tǒng)中既不能證明，也不能證否在該系統(tǒng)中既不能證明，也不能證否1213 .問題的核心仍是問題的核心仍是“自我指謂自我指謂” 在講集合論的在講集合論的“羅素悖論羅素悖論”時，我們提到過時，我們提到過“含有自含有自身的集合身的集合”這樣的詞句，說明過該悖論的要害是這樣的詞句，說明過

11、該悖論的要害是“自我自我指謂指謂”，即命題中又說到命題本身。，即命題中又說到命題本身。 還有還有“說謊者悖論說謊者悖論”的要害也是的要害也是“自我指謂自我指謂” （說謊者說：（說謊者說：“這句話是謊話這句話是謊話”，則，說，則，說“這句話是實話這句話是實話”將導(dǎo)致這句話是謊話，將導(dǎo)致這句話是謊話，說說“這句話是謊話這句話是謊話”又將導(dǎo)致這句話是實話，左右為難）（命題中又將導(dǎo)致這句話是實話，左右為難）（命題中有有“這句話這句話”一詞）。一詞）。 “這句話是不能證明的。這句話是不能證明的?！?該悖論要害也是該悖論要害也是“自我指謂自我指謂” 。 14 哥德爾第一定理說，相容的體系中存在不可判定的命

12、哥德爾第一定理說，相容的體系中存在不可判定的命題。這就是，如果只從體系內(nèi)去判斷體系里的命題，這就題。這就是，如果只從體系內(nèi)去判斷體系里的命題，這就是是“自我指謂自我指謂”。古詩說。古詩說“不識廬山真面目，只緣身在此不識廬山真面目，只緣身在此山中山中”，也是這個道理。，也是這個道理。 哥德爾第二定理說，公理體系的相容性不能在體系中哥德爾第二定理說，公理體系的相容性不能在體系中被證明。這就是，如果只想從體系中去證明體系本身的相被證明。這就是，如果只想從體系中去證明體系本身的相容性，這就是容性，這就是“自我指謂自我指謂”。俗話說：。俗話說：“老王賣瓜，自賣老王賣瓜，自賣自夸自夸”。人們不能只聽他自己

13、的宣傳，就判定他的瓜是好。人們不能只聽他自己的宣傳，就判定他的瓜是好的；也不能只從公理體系自己的邏輯推理，就推出體系自的；也不能只從公理體系自己的邏輯推理，就推出體系自己的相容性來。己的相容性來。15 當(dāng)然，這里所說的當(dāng)然，這里所說的“自我指謂自我指謂”，與羅素悖論，與羅素悖論的的“自我指謂自我指謂”還不完全一樣，因為形式的公理化還不完全一樣，因為形式的公理化方法本來就是自成系統(tǒng)的。所以這種方法本來就是自成系統(tǒng)的。所以這種“自我指謂自我指謂”的毛病，來自公理系統(tǒng)自身。的毛病，來自公理系統(tǒng)自身。 這表明，公理化方法確有局限性，公理化方法這表明，公理化方法確有局限性，公理化方法在邏輯方面的三大基本

14、要求，本身是無法完全滿足在邏輯方面的三大基本要求，本身是無法完全滿足的。的。16 .哥德爾的重大貢獻哥德爾的重大貢獻 哥德爾的兩條定理可以說是所有數(shù)學(xué)定理中哥德爾的兩條定理可以說是所有數(shù)學(xué)定理中最具重要意義的定理之一。由此，人類對于宇最具重要意義的定理之一。由此，人類對于宇宙的認識和對于數(shù)學(xué)地位的認識，被迫作出了宙的認識和對于數(shù)學(xué)地位的認識，被迫作出了根本性的改變：數(shù)學(xué)不再是精確論證的頂峰，根本性的改變：數(shù)學(xué)不再是精確論證的頂峰，不再是絕對真理的化身，數(shù)學(xué)也有它自己的局不再是絕對真理的化身，數(shù)學(xué)也有它自己的局限性。限性。17 具體地，哥德爾的貢獻可以簡要地從三個方面來闡述：具體地，哥德爾的貢獻

15、可以簡要地從三個方面來闡述： ）把）把“正確正確”與與“可證明可證明”區(qū)別開來區(qū)別開來 按照哥德爾的定理，任一個形式系統(tǒng)中都存在不可判定的命題。而按照哥德爾的定理，任一個形式系統(tǒng)中都存在不可判定的命題。而邏輯里的邏輯里的排中律排中律告訴我們：一個命題和它的否命題非必有一個是正告訴我們：一個命題和它的否命題非必有一個是正確的；現(xiàn)在又說：對于不可判定命題，和非在系統(tǒng)中都不可證明。確的；現(xiàn)在又說：對于不可判定命題，和非在系統(tǒng)中都不可證明。這就表明：這就表明：“正確正確”與與“可證明可證明”是兩回事，而且是兩回事，而且“正確正確”弱于弱于“可證可證明明”“可證明可證明”一定一定“正確正確”，“正確正確

16、”不一定不一定“可證明可證明”。 這是極其深刻的：一方面把這是極其深刻的：一方面把邏輯真邏輯真與與“主觀符合客觀主觀符合客觀”之謂真，區(qū)之謂真，區(qū)別開來了；另一方面，又把別開來了；另一方面，又把邏輯真邏輯真與邏輯的與邏輯的可證明可證明區(qū)別開來了。區(qū)別開來了。18 ）清醒地提出）清醒地提出 “數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題能否徹底解決的問題能否徹底解決” 的問題的問題 從世紀起，數(shù)學(xué)家就在尋求從世紀起，數(shù)學(xué)家就在尋求“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”，極限理論和實數(shù)，極限理論和實數(shù)理論的建立，康托的集合論，希爾伯特的公理化思想，使人們看到了解理論的建立，康托的集合論，希爾伯特的公理化思想，使人們看到了解決這一問題的希

17、望，以致年龐加萊在國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱決這一問題的希望，以致年龐加萊在國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱“完全的嚴格性已經(jīng)達到了！完全的嚴格性已經(jīng)達到了！” 年的年的“羅素悖論羅素悖論”，曾對此給以，曾對此給以“當(dāng)頭棒喝當(dāng)頭棒喝”，引起了歷史，引起了歷史上的第三次數(shù)學(xué)危機；雖然危機后來由集合論的公理化而局部化解了。上的第三次數(shù)學(xué)危機；雖然危機后來由集合論的公理化而局部化解了。19 但哥德爾的兩條定理出世以后，有誰敢說，數(shù)學(xué)已經(jīng)但哥德爾的兩條定理出世以后，有誰敢說，數(shù)學(xué)已經(jīng)得到嚴格的基礎(chǔ)了？相反，現(xiàn)在比較有共識的看法是，關(guān)于得到嚴格的基礎(chǔ)了？相反，現(xiàn)在比較有共識的看法是，關(guān)于“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問題，很可能

18、不會有一個最終的、為一切人的問題，很可能不會有一個最終的、為一切人所接受的解決。所接受的解決。 實際上，在公理化集合論建立、實際上，在公理化集合論建立、“羅素悖論羅素悖論”被化解被化解以后，同一個龐加萊就打過比喻，說：現(xiàn)在以后，同一個龐加萊就打過比喻，說：現(xiàn)在“羅素悖論羅素悖論”這這樣的樣的“狼狼”是被圈在外面了，但圈內(nèi)有沒有隱藏的是被圈在外面了，但圈內(nèi)有沒有隱藏的“狼狼”，并不知道。并不知道。20 3）數(shù)學(xué)的任務(wù)不能僅僅是邏輯推理）數(shù)學(xué)的任務(wù)不能僅僅是邏輯推理 數(shù)學(xué)的任務(wù)不僅僅是形式化的邏輯推理，還必須對數(shù)學(xué)的任務(wù)不僅僅是形式化的邏輯推理，還必須對外界進行觀察和研究，不斷用對客觀世界的新發(fā)現(xiàn)

19、來外界進行觀察和研究，不斷用對客觀世界的新發(fā)現(xiàn)來豐富數(shù)學(xué)；而這些新的發(fā)現(xiàn)，可以是不能使用原來的豐富數(shù)學(xué)；而這些新的發(fā)現(xiàn)，可以是不能使用原來的數(shù)學(xué)知識去證明的。數(shù)學(xué)知識去證明的。 這為數(shù)學(xué)研究大大拓寬了視野。這為數(shù)學(xué)研究大大拓寬了視野。21三、對數(shù)學(xué)如何三、對數(shù)學(xué)如何“補救補救” . .算術(shù)相容性的證明算術(shù)相容性的證明 “算術(shù)相容性算術(shù)相容性”，本來在希爾伯特的，本來在希爾伯特的“元數(shù)學(xué)元數(shù)學(xué)”體系中是一個不體系中是一個不可判定命題，但是根岑（可判定命題，但是根岑（Gentzen,Gerhard,1909年年-1945年）在年）在年證明了它。年證明了它。 根岑是擴大了希爾伯特的元數(shù)學(xué)中所允許采用

20、的邏輯而應(yīng)用了根岑是擴大了希爾伯特的元數(shù)學(xué)中所允許采用的邏輯而應(yīng)用了超限歸納法，從而完成了這一證明。超限歸納法，從而完成了這一證明。 哥德爾第一定理是說，在一個相容的形式系統(tǒng)內(nèi)，有該系統(tǒng)無法哥德爾第一定理是說，在一個相容的形式系統(tǒng)內(nèi)，有該系統(tǒng)無法證明也無法證否的命題。但根岑想到，在一個擴大的形式系統(tǒng)中該命題證明也無法證否的命題。但根岑想到，在一個擴大的形式系統(tǒng)中該命題是可能被證明或證否的。這使我們找到了是可能被證明或證否的。這使我們找到了“補救補救”數(shù)學(xué)的途徑。數(shù)學(xué)的途徑。22 .擴大形式系統(tǒng)去擴大形式系統(tǒng)去“補救補救” 上面上面“算術(shù)相容性算術(shù)相容性”被證明的例子，使我們了解了被證明的例子，

21、使我們了解了公理化方法的局限性和補救的一種辦法：對每一個具體的公理化方法的局限性和補救的一種辦法：對每一個具體的公理化形式系統(tǒng)，總有不可判定的命題；但是，適當(dāng)擴大公理化形式系統(tǒng)，總有不可判定的命題；但是，適當(dāng)擴大這個形式系統(tǒng)，又可以證明或證否該命題。這個形式系統(tǒng)，又可以證明或證否該命題。23例例1）關(guān)于非歐幾何）關(guān)于非歐幾何 對歐幾里得的對歐幾里得的第五公設(shè)第五公設(shè)，在，在“去掉第五公設(shè)的歐去掉第五公設(shè)的歐氏幾何系統(tǒng)氏幾何系統(tǒng)”內(nèi)，用歐氏幾何的其它公理公設(shè)，不能內(nèi)，用歐氏幾何的其它公理公設(shè)，不能證明、也不能證否。證明、也不能證否?！叭切稳齼?nèi)角之和為三角形三內(nèi)角之和為”這一命題，也是這一命題，

22、也是 既不能證明又不能證否的命題。既不能證明又不能證否的命題。24 現(xiàn)在，把該形式系統(tǒng)擴大，現(xiàn)在，把該形式系統(tǒng)擴大，增加第五公設(shè)增加第五公設(shè)：過直線外：過直線外一點，能作且只能作一條直線與已知直線平行。這樣就產(chǎn)一點，能作且只能作一條直線與已知直線平行。這樣就產(chǎn)生了生了歐幾里得幾何歐幾里得幾何的系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)內(nèi)，的系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)內(nèi)，“三角形三內(nèi)三角形三內(nèi)角之和為角之和為”的命題，就可以得到證明。的命題，就可以得到證明。25 如用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第五公設(shè)，如用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第五公設(shè)，而是而是增加增加下邊的公理（稱為下邊的公理（稱為羅巴契夫斯基公理羅巴契夫斯基公

23、理）：過直線）：過直線外一點，至少能作兩條直線與已知直線平行（從而可作無外一點，至少能作兩條直線與已知直線平行（從而可作無窮條直線與已知直線平行）。窮條直線與已知直線平行）。 這樣就產(chǎn)生了非歐幾里得幾何的系統(tǒng)（叫這樣就產(chǎn)生了非歐幾里得幾何的系統(tǒng)（叫羅氏幾何羅氏幾何，也叫雙曲幾何）。在這一系統(tǒng)內(nèi)，也叫雙曲幾何）。在這一系統(tǒng)內(nèi)，“三角形三內(nèi)角之和為三角形三內(nèi)角之和為”的命題，就可以被證否。而的命題，就可以被證否。而“三角形三內(nèi)角之三角形三內(nèi)角之和小于和小于”的命題，卻可以得到證明。的命題，卻可以得到證明。26 如果再用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第五公如果再用另一種方式把該系統(tǒng)擴大：不是增加第

24、五公設(shè)，而是設(shè)，而是增加增加下邊的公理（不妨稱為下邊的公理（不妨稱為黎曼公理黎曼公理）：過直線）：過直線外一點，不能作任何直線與已知直線平行。外一點，不能作任何直線與已知直線平行。 這樣就產(chǎn)生了另一種非歐幾何的系統(tǒng)（叫這樣就產(chǎn)生了另一種非歐幾何的系統(tǒng)（叫黎曼幾何黎曼幾何，也叫橢球幾何）。在這一系統(tǒng)內(nèi)，也叫橢球幾何）。在這一系統(tǒng)內(nèi)，“三角形三內(nèi)角之和為三角形三內(nèi)角之和為 ”的命題，就可以被證否，而的命題，就可以被證否，而“三角形三內(nèi)角之三角形三內(nèi)角之和大于和大于”的命題，卻可以得到證明。的命題，卻可以得到證明。27例例2）關(guān)于）關(guān)于“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)” 在康托的集合論的系統(tǒng)內(nèi)，有一個在康托的

25、集合論的系統(tǒng)內(nèi)，有一個“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”，是說，是說，“無窮勢中無窮勢中可數(shù)無窮勢可數(shù)無窮勢是最小的勢，是最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢連續(xù)統(tǒng)勢是是次小的勢次小的勢”。證明這一命題為真，被列為希爾伯特。證明這一命題為真，被列為希爾伯特個問題中的第一個問題。后來的研究表明，個問題中的第一個問題。后來的研究表明，“連續(xù)統(tǒng)假連續(xù)統(tǒng)假設(shè)設(shè)”在上述系統(tǒng)內(nèi)，既不能被證明，也不能被證否。在上述系統(tǒng)內(nèi)，既不能被證明，也不能被證否。28 年，哥德爾證明，把年，哥德爾證明，把“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”加進該加進該系統(tǒng)（集合論的系統(tǒng)）中是相容的，不會導(dǎo)出矛盾。系統(tǒng)（集合論的系統(tǒng)）中是相容的，不會導(dǎo)出矛盾。我們把這樣擴充后得

26、到的公理化集合論，叫我們把這樣擴充后得到的公理化集合論，叫康托集合論康托集合論。 年，科恩又證明，年，科恩又證明，“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”在系在系統(tǒng)中是獨立的，即不能從其它公理導(dǎo)出。這樣，如果把統(tǒng)中是獨立的，即不能從其它公理導(dǎo)出。這樣，如果把“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”的否命題加進該系統(tǒng)中也是相容的，不會的否命題加進該系統(tǒng)中也是相容的，不會導(dǎo)出矛盾。我們把這樣擴充后得到的公理化集合論，叫導(dǎo)出矛盾。我們把這樣擴充后得到的公理化集合論，叫非非康托集合論康托集合論。29 .用非形式的數(shù)學(xué)方法去用非形式的數(shù)學(xué)方法去“補救補救” 剛才說的擴大形式系統(tǒng)，仍是采用剛才說的擴大形式系統(tǒng)，仍是采用“形式系統(tǒng)形式系統(tǒng)

27、”的的方法去方法去“補救補救”數(shù)學(xué)，希望每一個具體的命題（在擴大的數(shù)學(xué)，希望每一個具體的命題（在擴大的形式系統(tǒng)中）總可以證明或證否。這樣，雖然不是在同一形式系統(tǒng)中）總可以證明或證否。這樣，雖然不是在同一個形式系統(tǒng)中做到的，人們也可以滿足了。個形式系統(tǒng)中做到的，人們也可以滿足了。 但是，除了形式的方法外，也還可以有非形式的數(shù)學(xué)但是，除了形式的方法外，也還可以有非形式的數(shù)學(xué)方法，去解決具體的數(shù)學(xué)問題。例如方法，去解決具體的數(shù)學(xué)問題。例如構(gòu)造構(gòu)造的方法、的方法、問題問題的的方法。我們是否可以用非形式的數(shù)學(xué)方法去解決問題，以方法。我們是否可以用非形式的數(shù)學(xué)方法去解決問題，以“補救補救”數(shù)學(xué)呢？數(shù)學(xué)呢？

28、30 .用非數(shù)學(xué)的方法去用非數(shù)學(xué)的方法去“補救補救” 數(shù)學(xué)是為認識宇宙產(chǎn)生的，但解決宇宙中的問題，數(shù)學(xué)是為認識宇宙產(chǎn)生的，但解決宇宙中的問題，判斷一個命題的真?zhèn)?，除了?shù)學(xué)的方法外，還可以有非數(shù)判斷一個命題的真?zhèn)?，除了?shù)學(xué)的方法外，還可以有非數(shù)學(xué)的方法。采用多種方法，我們總可以一步步前進，逐漸學(xué)的方法。采用多種方法，我們總可以一步步前進，逐漸地認識世界。地認識世界。 例如，觀察、實驗、實踐等等方法。例如，觀察、實驗、實踐等等方法。31 .數(shù)學(xué)家并未失去信心，也未停止工作數(shù)學(xué)家并未失去信心，也未停止工作 數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，雖然從世紀三十年代起就由哥德爾定理發(fā)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，雖然從世紀三十年代起就由哥

29、德爾定理發(fā)現(xiàn)了問題，但數(shù)學(xué)仍然有力地解決著各種實際問題，發(fā)揮著越來越大現(xiàn)了問題，但數(shù)學(xué)仍然有力地解決著各種實際問題，發(fā)揮著越來越大的作用。衛(wèi)星上了天，人類也登上月球。數(shù)學(xué)不但得到認可，而且深的作用。衛(wèi)星上了天，人類也登上月球。數(shù)學(xué)不但得到認可，而且深入各個角落。這與世紀微積分誕生以后的情形很相似。當(dāng)時，雖入各個角落。這與世紀微積分誕生以后的情形很相似。當(dāng)時，雖然有然有“貝克萊悖論貝克萊悖論”，但數(shù)學(xué)仍然有力地解決著機械、航海、天文等，但數(shù)學(xué)仍然有力地解決著機械、航海、天文等各領(lǐng)域的大量實際問題，發(fā)揮著巨大的作用。各領(lǐng)域的大量實際問題，發(fā)揮著巨大的作用。 所以說，數(shù)學(xué)家并未因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題尚未解

30、決而失去信心，也從所以說，數(shù)學(xué)家并未因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題尚未解決而失去信心，也從來沒有停止他們的數(shù)學(xué)工作。來沒有停止他們的數(shù)學(xué)工作。32四、四、數(shù)學(xué)：確定性的喪失數(shù)學(xué)：確定性的喪失 .克萊因的一本材料豐富的書克萊因的一本材料豐富的書 美國著名數(shù)學(xué)家美國著名數(shù)學(xué)家克萊因年出版了一本克萊因年出版了一本名為名為數(shù)學(xué)：確定性的喪失數(shù)學(xué)：確定性的喪失的書。的書。 這是一本材料十這是一本材料十分豐富的書。這本書早已有了中譯本。分豐富的書。這本書早已有了中譯本。 但對這一書的書名，有不少數(shù)學(xué)家說：但對這一書的書名，有不少數(shù)學(xué)家說：“實在不敢實在不敢茍同茍同”。3334 .確定性并未喪失確定性并未喪失 不敢茍同不

31、敢茍同“數(shù)學(xué)喪失了確定性數(shù)學(xué)喪失了確定性”的原因有二：的原因有二： ）哥德爾定理乃至）哥德爾定理乃至“確定性的喪失確定性的喪失”，本身是非常確定，本身是非常確定的，是用非常確定的數(shù)學(xué)方法得出的非常確定的結(jié)果。的，是用非常確定的數(shù)學(xué)方法得出的非常確定的結(jié)果。 ）是的，數(shù)學(xué)的）是的，數(shù)學(xué)的“確定性確定性”不是絕對的，是有局限性的；不是絕對的，是有局限性的；但這種局限性不是含糊的，數(shù)學(xué)是但這種局限性不是含糊的，數(shù)學(xué)是“非常確定非常確定”地闡明了自地闡明了自己的不確定性。即，局限性在哪里，是己的不確定性。即，局限性在哪里，是“確定的確定的”。35 .新境界的開辟新境界的開辟 數(shù)學(xué)上要求的數(shù)學(xué)上要求的“

32、確定性確定性”，是歷史上長，是歷史上長期形成的一種定見或者說是成見（這不免期形成的一種定見或者說是成見（這不免就有些貶意了）。這種帶引號的就有些貶意了）。這種帶引號的“確定性確定性”的喪失，其實常常意味著新境界的開辟。的喪失，其實常常意味著新境界的開辟。36 ）數(shù)學(xué)的新學(xué)科體系的誕生）數(shù)學(xué)的新學(xué)科體系的誕生 例如歐幾里得第五公設(shè)既不能被證明，也不能被證例如歐幾里得第五公設(shè)既不能被證明，也不能被證否，看起來喪失了確定性，成為不可判定命題。否，看起來喪失了確定性，成為不可判定命題。 但是，但是，由此卻誕生了兩種非歐幾何的新學(xué)科體系由此卻誕生了兩種非歐幾何的新學(xué)科體系羅巴契夫羅巴契夫斯基幾何和黎曼幾

33、何。所以，這究竟是斯基幾何和黎曼幾何。所以，這究竟是“確定性的喪失確定性的喪失”呢，還是開辟了新的境界呢？呢，還是開辟了新的境界呢？37 ）新的邏輯體系有可能誕生）新的邏輯體系有可能誕生 前面講到前面講到“正確正確”與與“可證明可證明”的差別時說，如果承認邏輯上的差別時說，如果承認邏輯上的的“排中律排中律”，則命題與非必有一個為，則命題與非必有一個為“真真”；當(dāng)兩者均不可；當(dāng)兩者均不可證明時，就出現(xiàn)了不可判定命題，系統(tǒng)就是不完全的。但是，我們證明時，就出現(xiàn)了不可判定命題，系統(tǒng)就是不完全的。但是，我們?yōu)槭裁匆欢ㄒ獔猿诌壿嬌系臑槭裁匆欢ㄒ獔猿诌壿嬌系摹芭胖新膳胖新伞蹦?？如果不承認呢？如果不承認“排

34、中律排中律”，則命題與非均不可證明時，可以認為可能存在則命題與非均不可證明時，可以認為可能存在“真真”與與“非真非真”之外的另一個邏輯概念。當(dāng)數(shù)學(xué)中像公理化體系這樣過去認為之外的另一個邏輯概念。當(dāng)數(shù)學(xué)中像公理化體系這樣過去認為“明明顯顯”的的“真理真理”都已都已“崩潰崩潰”了的時候，邏輯的法則為什么一定不了的時候，邏輯的法則為什么一定不能改變呢？新的邏輯體系為什么不可能誕生呢？能改變呢？新的邏輯體系為什么不可能誕生呢？38五、嚴肅的反思五、嚴肅的反思 本節(jié)討論的問題，有些是學(xué)術(shù)界正在研究的問本節(jié)討論的問題，有些是學(xué)術(shù)界正在研究的問題。把材料介紹給大家，并不是定論，只是希望開題。把材料介紹給大家

35、，并不是定論，只是希望開闊大家的眼界。闊大家的眼界。 有些論點互相也不一致。這些問題真正的意義有些論點互相也不一致。這些問題真正的意義是什么，也許再過許多年才能看清楚。我們僅以以是什么，也許再過許多年才能看清楚。我們僅以以下三點下三點反思反思結(jié)束這一節(jié)。結(jié)束這一節(jié)。 39 1.1.是否有是否有“現(xiàn)有條件下不可解決的問題現(xiàn)有條件下不可解決的問題”？ 當(dāng)我們用數(shù)學(xué)方法去解決一個問題，去預(yù)測一件事情當(dāng)我們用數(shù)學(xué)方法去解決一個問題，去預(yù)測一件事情時，我們有必要問自己：我們是不是在試圖解決現(xiàn)有條件時，我們有必要問自己：我們是不是在試圖解決現(xiàn)有條件下不可解決的問題？是不是在預(yù)測現(xiàn)有條件下不可預(yù)測的下不可解

36、決的問題？是不是在預(yù)測現(xiàn)有條件下不可預(yù)測的事情？我們自認為已經(jīng)懂得的東西，是不是包含了某些超事情？我們自認為已經(jīng)懂得的東西，是不是包含了某些超出我們當(dāng)前智力的困難？出我們當(dāng)前智力的困難？ 其實，牛頓創(chuàng)立微積分的時代，這些問題就已經(jīng)十分其實，牛頓創(chuàng)立微積分的時代，這些問題就已經(jīng)十分尖銳地存在了。正因為此，英國大主教貝克萊關(guān)于牛頓尖銳地存在了。正因為此，英國大主教貝克萊關(guān)于牛頓“無窮小量無窮小量”的責(zé)難，才在兩百年間無人能夠徹底批駁。的責(zé)難，才在兩百年間無人能夠徹底批駁。40 2.對一個哲學(xué)觀點的印證對一個哲學(xué)觀點的印證 哲學(xué)是對整個世界的普遍規(guī)律的研究。很多哲學(xué)觀點哲學(xué)是對整個世界的普遍規(guī)律的研

37、究。很多哲學(xué)觀點是十分深刻的。本節(jié)關(guān)于數(shù)學(xué)的討論就印證了以下的哲學(xué)觀是十分深刻的。本節(jié)關(guān)于數(shù)學(xué)的討論就印證了以下的哲學(xué)觀點。點。 真理是無限的、絕對的，人對真理的認識是有限的、真理是無限的、絕對的，人對真理的認識是有限的、相對的。相對的。 在有限的時間里、有限的范圍內(nèi)、有限的條件下，人類在有限的時間里、有限的范圍內(nèi)、有限的條件下，人類對真理的認識是有局限性的。隨著時間的推移，人類對真理對真理的認識是有局限性的。隨著時間的推移，人類對真理的認識，會逐步地接近真理，如同古人所說：的認識，會逐步地接近真理，如同古人所說：“路漫漫其修路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索遠兮，吾將上下而求索”。41 3.數(shù)學(xué)

38、文化的地位數(shù)學(xué)文化的地位 ）認識宇宙和人類自身）認識宇宙和人類自身數(shù)學(xué)是向數(shù)學(xué)是向兩個方向生長的大樹兩個方向生長的大樹 為什么大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不太擔(dān)心哥德爾定理所造成為什么大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不太擔(dān)心哥德爾定理所造成的陰影呢？因為數(shù)學(xué)這棵大樹是向兩個方向生長的。它的陰影呢？因為數(shù)學(xué)這棵大樹是向兩個方向生長的。它既向上生長，去研究宇宙的深度；也向下生長，去研究既向上生長，去研究宇宙的深度；也向下生長，去研究人類自身理性思維的深度。人類自身理性思維的深度。42 如果不是這樣，而只向上生長，一旦細微的須根如果不是這樣，而只向上生長，一旦細微的須根出了問題，基礎(chǔ)就要崩潰，大樹就會倒下?，F(xiàn)在，枝出了問題，基礎(chǔ)就

39、要崩潰，大樹就會倒下?，F(xiàn)在，枝葉也在生長，根須也在生長，大樹就不會因為少許須葉也在生長，根須也在生長，大樹就不會因為少許須根的根的“問題問題”而倒下。因為，認識宇宙的過程中會有而倒下。因為，認識宇宙的過程中會有許多一時不能解決的問題（如宇宙大爆炸的問題、黑許多一時不能解決的問題（如宇宙大爆炸的問題、黑洞的問題），我們并未因此而氣餒；認識人類自身理洞的問題），我們并未因此而氣餒；認識人類自身理性思維的過程中也會遇到許多一時難以解決的問題，性思維的過程中也會遇到許多一時難以解決的問題，我們又何必氣餒而懷疑整個數(shù)學(xué)的價值呢？我們又何必氣餒而懷疑整個數(shù)學(xué)的價值呢？43 哥德爾定理是人類認識自身理性思維的記錄，哥德爾定理是人類認識自身理性思維的記錄，但，這不是失敗的記錄，而是勝利的記錄。但，這不是失敗的記錄，而是勝利的記錄。 如果說哥德爾定理揭示了形式的公理系統(tǒng)的深如果說哥德爾定理揭示了形式的公理系統(tǒng)的深刻矛盾，則問題在于，我們是在探索世界的過程中，刻矛盾，則問題在于，我們是在探索世界的過程中，自己把數(shù)學(xué)變成形式系統(tǒng)的，數(shù)學(xué)本身并不一定非自己把數(shù)學(xué)變成形式系統(tǒng)的，數(shù)學(xué)本身并不一定非要是形式系