醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)二項分布

柏建嶺南京醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)系Medicalstatistics醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)二項分布主要內(nèi)容

數(shù)據(jù)分布二項分布2023/12/52柏建嶺講稿數(shù)據(jù)分布對于一組變量值，若以該變量為橫軸，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)(或頻率)為縱軸作圖，該數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中呈一定的圖形，稱為數(shù)據(jù)的分布。2023/12/53柏建嶺講稿數(shù)據(jù)分布分布是統(tǒng)計方法產(chǎn)生的基礎(chǔ)常用的數(shù)據(jù)分布有正態(tài)分布、二項分布、Poisson分布等2023/12/54柏建嶺講稿二項分布(binomialdistribution)二分類資料：觀察對象的結(jié)局只有相互對立的兩種結(jié)果。

例如：生存、死亡陽性、陰性發(fā)病、不發(fā)病治愈、未愈2023/12/55柏建嶺講稿先看一個例子已知：小白鼠接受某種毒物一定劑量時，死亡概率=80%

生存概率=20%每只鼠獨立做實驗，相互不受影響若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）

3只小白鼠的存亡方式符合二項分布2023/12/56柏建嶺講稿你認(rèn)為實驗結(jié)果將會出現(xiàn)多少種可能的情況所有可能結(jié)果死亡數(shù)生存數(shù)甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生03生生死生死生12死生生生死死死生死21死死生死死死30如果計算生與死的順序，則共有8種排列方式；如果只計生存與死亡的數(shù)目，則只有4種組合方式。2023/12/57柏建嶺講稿概率的乘法法則幾個獨立事件同時發(fā)生的概率，等于各獨立事件的概率之積。一個事件發(fā)生(的概率)對另一個事件發(fā)生(的概率)沒有影響，這兩個事件就是獨立事件。2023/12/58柏建嶺講稿例子甲、乙射擊命中目標(biāo)的概率分別是1/2與1/3，求甲、乙各射擊一次，同時命中目標(biāo)的概率是多少 已知： A＝{甲命中目標(biāo)}，則P(A)=1/2 B＝{乙命中目標(biāo)}，則P(B)=1/3 求A、B同時發(fā)生的概率P(AB)P(AB)＝P(A)*P(B)＝1/2*1/3＝1/62023/12/59柏建嶺講稿概率的加法法則互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和。不可能同時發(fā)生的事件是互不相容事件，又稱互斥事件。2023/12/510柏建嶺講稿例子投擲一枚質(zhì)地均勻的馓子，求“數(shù)字4朝上”或“數(shù)字6朝上”的概率 已知： A＝{數(shù)字4朝上}，則P(A)=1/6 B＝{數(shù)字6朝上}，則P(B)=1/6 求A或者B發(fā)生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1/6＋1/6＝1/32023/12/511柏建嶺講稿出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少3只小白鼠均生存的概率

P=0.20.20.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率

P1=0.20.20.8=0.032

P2=0.20.80.2=0.032P=0.096

P3=0.80.20.2=0.0322023/12/512柏建嶺講稿出現(xiàn)每一種可能結(jié)果的概率是多少3只小白鼠2死1生的概率

P1=0.20.80.8=0.128

P2=0.80.20.8=0.128P=0.384

P3=0.80.80.2=0.1283只小白鼠均死亡的概率

P=0.80.80.8=0.512

2023/12/513柏建嶺講稿所有可能結(jié)果每種結(jié)果的概率死亡數(shù)生存數(shù)不同死亡數(shù)的概率甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生0.2×0.2×0.2030.008生生死0.2×0.2×0.8生死生0.2×0.8×0.2120.096死生生0.8×0.2×0.2生死死0.2×0.8×0.8死生死0.8×0.2×0.8210.384死死生0.8×0.8×0.2死死死0.8×0.8×0.8300.51211.000三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計算2023/12/514柏建嶺講稿二項展開(0.2+0.8)3=0.23+3×0.22×0.8+3×0.2×0.82+0.83生存概率死亡概率

三生二生一死一生二死

三死對應(yīng)于二項展開式：二項式展開式中的各項對應(yīng)于各死亡數(shù)(X)的概率P(X)，二項分布由此得名。

2023/12/515柏建嶺講稿二項分布的定義二項分布是指在只會產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽性”或“陰性”之一的n次獨立重復(fù)實驗中，當(dāng)每次試驗“陽性”概率保持不變時，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)

X=0，1，2，…，n的一種概率分布。2023/12/516柏建嶺講稿Page17二項分布的定義從陽性率為

的總體中隨機抽取含量為n的樣本，恰有X例陽性的概率為：

則稱X服從參數(shù)為

的二項分布(BinomialDistribution)，記為：X~B(n,

)。其中參數(shù)

常常是未知的，而n由實驗者確定。2023/12/517柏建嶺講稿如已知n=3，

=0.8，則恰有1例陽性的概率P(1)為：2023/12/518柏建嶺講稿

例已知某種動物關(guān)于某毒物的50%致死劑量(LD50)，現(xiàn)有5只這樣的動物注射了該劑量，試分別計算死亡動物數(shù)X＝0，l，2，3，4，5的概率。二項分布的概率2023/12/519柏建嶺講稿二項分布二項分布的概率2023/12/520柏建嶺講稿二項分布的性質(zhì)如果X~B(n,

)，則：

X的均數(shù)：

X的方差：

X的標(biāo)準(zhǔn)差：2023/12/521柏建嶺講稿二項分布的性質(zhì)

若均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不用絕對數(shù)而用率表示時

2023/12/522柏建嶺講稿從陽性率為

的總體中隨機抽取n個個體，則①最多有k例陽性的概率：

二項分布的累計概率2023/12/523柏建嶺講稿從陽性率為

的總體中隨機抽取n個個體，則②最少有k例陽性的概率：二項分布的累計概率其中，X=0，1，2，…，k，…，n。2023/12/524柏建嶺講稿二項分布的累計概率例據(jù)以往經(jīng)驗，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85%，今有5個患者用該藥治療，問：①最多1人有效的概率為多少②至少3人有效的概率為多少2023/12/525柏建嶺講稿本例

=0.85，l-

=0.15，n=5，依題意，最多1人有效的概率為：至少3人有效的概率為：

P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)則P(X≥3)=0.138178125＋0.391504688＋0.443705313=0.9733881262023/12/526柏建嶺講稿三只小白鼠死亡的二項分布(n=3,

=0.8)二項分布的圖形2023/12/527柏建嶺講稿某毒物的50%致死劑量后5只動物死亡數(shù)的二項分布(n=5,

=0.5)二項分布的圖形2023/12/528柏建嶺講稿二項分布的圖形2023/12/529柏建嶺講稿二項分布的圖形當(dāng)

=0.5，分布對稱；當(dāng)

0.5，分布呈偏態(tài)；當(dāng)

<0.5時分布呈正偏態(tài)；當(dāng)

>0.5時分布呈負(fù)偏態(tài)；特別是當(dāng)n值不是很大時，

偏離0.5愈遠(yuǎn)，分布愈偏。隨著n的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布。一般地說，如果n

和n(1-

)大于5時，?？捎谜龖B(tài)近似原理處理二項分布問題。2023/12/530柏建嶺講稿二項分布的應(yīng)用條件

各觀察單位只能有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等。已知發(fā)生某一結(jié)果(如陰性)的概率

不變，其對立結(jié)果(如陽性)的概率則為1-

。

n次試驗在相同條件下進行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨立。2023/12/531柏建嶺講稿率的抽樣誤差

=0.30101100001

p=0.42023/12/532柏建嶺講稿率的抽樣誤差樣本號x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Xp1001001010030.32010011100150.53001000000010.14010110000140.45100000010020.26000010011030.37100010100140.48000000101020.29111101001170.710010000000010.1從

=0.3中隨機抽樣，樣本含量為10的10份獨立樣本的樣本率2023/12/533柏建嶺講稿率的抽樣誤差從

=0.3中隨機抽樣，樣本含量為10的10000個樣本率的頻率分布圖2023/12/534柏建嶺講稿率的抽樣誤差從

=0.3中隨機抽樣，樣本含量為100的10000個樣本率的頻率分布圖2023/12/535柏建嶺講稿率的抽樣分布特點當(dāng)總體率

<0.5時為正偏態(tài)；當(dāng)

>0.5時為負(fù)偏態(tài)，當(dāng)

=0.5時為對稱分布。在n較大，且率

和(1-

)都不太小時即n

和n(1-

)均大于5，率的抽樣分布近似正態(tài)分布。2023/12/536柏建嶺講稿率的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本率的均數(shù)樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差率的標(biāo)準(zhǔn)誤2023/12/537柏建嶺講稿率的可信區(qū)間估計

=?n,Xp=X/n2023/12/538柏建嶺講稿n

較大時,可用正態(tài)近似法：率的95%的CI:例4.4n=144,p=9.02%，X=13

9.02%±1.96×2.388%=(0.0435,0.1371)

(4.35%,13.71%)

2023/12/539柏建嶺講稿n

較小時,查表法(直接計算概率法)例4.5n=29,X=1。p=3.4%.

查附表6.1百分率的可信區(qū)間

n=29行

X=1列95%可信區(qū)間：0.1－17.8(%)2023/12/540柏建嶺講稿n

較小時,查表法(直接計算概率法)例n=10,X=8。p=80%.

先查n=10,X1=2。p1=20%.

得95%可信區(qū)間為：(3%,56%)

從而：

(1-56%,1-3%)=(44%,97%)2023/12/541柏建嶺講稿率的可信區(qū)間的不對稱性

p＝10% p＝30% p＝50%n＝10 0.3~44.5 6.7~65.2 18.7~81.3n＝20 1.2~31.7 11.9~54.3 27.2~72.8n＝30 2.1~26.5 14.7~49.4 31.3~68.7 n＝40 2.8~23.7 16.6~46.5 33.8~66.2n＝50 3.3~21.8 17.9~44.6 35.5~64.5

2023/12/542柏建嶺講稿率的可信區(qū)間的性質(zhì)只有

=0.5時是對稱的；n越大，區(qū)間越窄；對同一n，越接近0.5，分布越寬，越接近0或1，分布越窄。2023/12/543柏建嶺講稿樣本率與總體率的比較(n

較大時)2023/12/544柏建嶺講稿樣本率與總體率的比較(n

較大時)例7.1

0＝20%,n=306,X=96，p=31.58%H0：

=

0，老年胃潰瘍病患者的胃出血率等于20%；H1：

>

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