歐姆定律的微分形式課件

1、利用湯姆遜定理：靜電平衡時(shí)，電場(chǎng)能量最小。證明導(dǎo)體球殼，電荷只能分布在外表面，電場(chǎng)能量最小。2、一球形電容器由金屬和外面有厚度的同心金屬球殼構(gòu)成，充電后，兩極分別帶上等量異號(hào)電荷。設(shè)電荷都是球?qū)ΨQ(chēng)分布的，試證明：只有電荷分布在相向的兩個(gè)表面上，電場(chǎng)能量最小。3、一金屬球外有一同心、有厚度的金屬球殼，兩者不帶電。今將相同電荷Q分別放在球和球殼上。設(shè)電荷都是球?qū)ΨQ(chēng)分布的，球上、殼上電荷如何分布，電場(chǎng)能量最小。1：若外表面以?xún)?nèi)有電荷分布：則內(nèi)部電場(chǎng)不為零。2：若靜電平衡時(shí)，Q有部分在導(dǎo)體內(nèi)，-Q有部分在殼體內(nèi)，還有部分在殼外表面，則球與殼間的電場(chǎng)不變，殼外電場(chǎng)為0，球體內(nèi)及殼體內(nèi)電場(chǎng)不為零：若Q，-Q對(duì)稱(chēng)分布在相向的兩個(gè)球表面：3殼內(nèi)表面：-Q球表面：Q殼外表面：2Q球上均勻分布電荷對(duì)球外電場(chǎng)沒(méi)有影響電荷在球表面分布時(shí)，球內(nèi)電場(chǎng)為0，能量最低殼上均勻分布電荷對(duì)殼外電場(chǎng)沒(méi)有影響在殼內(nèi)表面以?xún)?nèi)產(chǎn)生電場(chǎng)為0殼體電場(chǎng)為0時(shí)，能量最低穩(wěn)恒電流1電流和電流密度2穩(wěn)恒電流3歐姆定律和焦耳定律的微分形式4電動(dòng)勢(shì)5金屬導(dǎo)體的經(jīng)典電子理論1電流和電流密度一、電流強(qiáng)度1.電流電流形成條件1)導(dǎo)體內(nèi)可以自由運(yùn)動(dòng)的電荷；2)推動(dòng)電荷作定向流動(dòng)的電場(chǎng)或某種非靜電力。2.電流強(qiáng)度大?。?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)導(dǎo)體某一橫截面的電量。方向：正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，沿電場(chǎng)方向，從高電勢(shì)流向低電勢(shì)。單位：安培A二、電流密度1.電流密度電流密度矢量：描寫(xiě)空間各點(diǎn)電流大小和方向的物理量。某點(diǎn)的電流密度方向：該點(diǎn)正電荷定向運(yùn)動(dòng)的方向。大小：通過(guò)垂直于該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)方向的單位面積上的電流強(qiáng)度。電流場(chǎng)：導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有自己的j，j=j(x,y,z)

dSdS

n電流線(xiàn)單位：安培/米2，A/m22.電流密度和電流強(qiáng)度的關(guān)系1)通過(guò)面元dS的電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是通過(guò)某一面積的電流密度的通量。2)通過(guò)電流場(chǎng)中任一面積S

的電流強(qiáng)度三、電流的連續(xù)性方程電荷的運(yùn)動(dòng)可形成電流，也可引起空間電荷分布的變化。由電荷守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)由S流出的凈電量應(yīng)等于S內(nèi)的電量的減少。電流連續(xù)性方程：若（流入正電荷>流出正電荷）面內(nèi)正電荷增加（流出正電荷>流入正電荷）面內(nèi)正電荷減少則若則電流的連續(xù)性方程負(fù)號(hào)表示減少（微分形式）積分形式2穩(wěn)恒電流一、穩(wěn)恒電流二、穩(wěn)恒條件穩(wěn)恒條件：1.穩(wěn)恒條件則在電流場(chǎng)內(nèi)作一任意閉合S面，有若電流場(chǎng)內(nèi)不隨時(shí)間t變要求空間電荷分布不隨時(shí)間t變電流場(chǎng)中每一點(diǎn)的的大小和方向均不隨時(shí)間改變。穩(wěn)恒電流的閉合性：（微分形式）積分形式穩(wěn)恒條件穩(wěn)恒電流線(xiàn)是連續(xù)的閉合曲線(xiàn)電流線(xiàn)管3歐姆定律和焦耳定律的微分形式一、歐姆定律的微分形式在導(dǎo)體的電流場(chǎng)中設(shè)想取出一小圓柱體（長(zhǎng)dl，橫截面dS）dU

小柱體兩端的電壓；dI

小柱體中的電流強(qiáng)度由歐姆定律dSdl

jdU電導(dǎo)率：導(dǎo)體中任一點(diǎn)電流密度的方向（正電荷運(yùn)動(dòng)方向）和該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向相同，有歐姆定律的微分形式。

二、焦耳定律的微分形式在導(dǎo)體內(nèi)取一小柱體dSdl

jdUEdI小柱體的發(fā)熱功率由有焦耳定律的微分形式對(duì)導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)5金屬體的經(jīng)典電子理論一、基本概念1.自由電子氣金屬導(dǎo)體具有晶體結(jié)構(gòu)，正離子排列成整齊的空間點(diǎn)陣。自由電子在點(diǎn)陣間熱運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)圖象與容器中的氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)相似。金屬中自由電子的整體自由電子氣。古典電子論的基本觀(guān)點(diǎn)：氣體分子運(yùn)動(dòng)論的規(guī)律同樣適應(yīng)于金屬中的自由電子氣。2.金屬導(dǎo)體中電流形成的微觀(guān)過(guò)程1)金屬中無(wú)電場(chǎng)時(shí)2)金屬中存在電場(chǎng)時(shí)電子受電場(chǎng)力在熱運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上疊加一定向運(yùn)動(dòng)（漂移運(yùn)動(dòng)）。自由電子速度=熱運(yùn)動(dòng)速度+定向速度自由電子平均速度=定向速度平均值（漂移速度）大量電子的漂移運(yùn)動(dòng)形成金屬中的電流E漂移方向3.電流密度和漂移速度的關(guān)系設(shè)導(dǎo)體內(nèi)某點(diǎn)處自由電子數(shù)密度

n

t時(shí)間內(nèi)穿過(guò)左端面的電量的大小電流強(qiáng)度電流密度在該點(diǎn)附近取小圓柱體（截面垂直）

S

j

uu

t二、由古典電子論推導(dǎo)歐姆定律1.推導(dǎo)歐姆定律微分形式設(shè)導(dǎo)體內(nèi)有電場(chǎng)每個(gè)自由電子受力加速度由于電子與點(diǎn)陣碰撞，電子不能一直加速，電子定向速度增加受到限制。由于熱運(yùn)動(dòng)速度>>定向速度電子與點(diǎn)陣碰撞所受沖力>>電場(chǎng)力設(shè)兩次碰撞間電子平均自由飛行時(shí)間為下次碰撞前的定向速度u0=0ut

某次碰撞下一次碰撞··碰撞后電子向各方向運(yùn)動(dòng)概率相等每次碰撞后瞬間平均而言，定向速度為零，即此后運(yùn)動(dòng)中的定向初速度u0=0內(nèi)平均定向速度，即漂移速度有由可見(jiàn)電導(dǎo)率2.古典電子論的困難上式中可近似寫(xiě)作

平均自由程[和T

無(wú)關(guān)]

熱運(yùn)動(dòng)平均速率[T1/2]有電阻率這就定性說(shuō)明了

隨T

增加的事實(shí)。但實(shí)驗(yàn)指出，對(duì)大多數(shù)金屬，例：銅線(xiàn)中有電流密度：2.4A/mm2,自由電子數(shù)密度：n=8.4X1028m3,求自由電子的漂移速度。近代物理學(xué)指出，只有根據(jù)量子力學(xué)來(lái)研究金屬導(dǎo)電時(shí)，才能得到與實(shí)驗(yàn)一致的結(jié)果。電場(chǎng)很大：J與E是非線(xiàn)性的非線(xiàn)性元件：低電壓：平均自由程很長(zhǎng)J與E是非線(xiàn)性的超導(dǎo)體：穩(wěn)恒電流電場(chǎng)性質(zhì)電流是閉合的。電荷密度不隨時(shí)間變化。穩(wěn)恒電流電場(chǎng)：環(huán)路定理、高斯定理成立。歐姆定律成立的導(dǎo)體：內(nèi)部電場(chǎng)：當(dāng)閉合曲面S上各點(diǎn)電導(dǎo)率都相等時(shí)，S內(nèi)全部電量代數(shù)和等于零。均勻?qū)w的內(nèi)部界面上出現(xiàn)宏觀(guān)的面電荷分布。電導(dǎo)率不同的兩種導(dǎo)體的分界面：一側(cè)絕緣體：導(dǎo)體側(cè)電場(chǎng)與界面平行。彎曲導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部電場(chǎng)始終沿導(dǎo)線(xiàn)方向兩同軸長(zhǎng)園柱形銅管間填滿(mǎn)石墨。求管間電阻。導(dǎo)體表面可以有面電荷：導(dǎo)體外側(cè)電場(chǎng)有垂直分量。r1r2σEU1U2石墨電阻率大于銅的千倍穩(wěn)恒電路中接入銅球，分析發(fā)熱情況。限流電阻位置關(guān)系分析。AB間總電阻為1歐姆，求未知電阻。ABcdefgh11111xxxxx1x電動(dòng)勢(shì)一、非靜電力凡電源內(nèi)部都有非靜電力；非靜電力使正電荷由負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到達(dá)正極。單位正電荷所受的非靜電力引入：非靜電力場(chǎng)強(qiáng)普遍形式歐姆定律：

F非RI把單位正電荷經(jīng)電源內(nèi)部由負(fù)極移向正極過(guò)程中，非靜電力所作的功若電動(dòng)勢(shì)存在于整個(gè)電流回路L，可寫(xiě)作把電荷q由負(fù)極移向正極（經(jīng)電源內(nèi)部）非靜電力作功電動(dòng)勢(shì)單位：伏特路端電壓：斷路：放電：充電：例：20A充電，U1＝2.30V；12A放電,U2=1.98V,求電動(dòng)勢(shì)，內(nèi)阻。一、化學(xué)電池

chemicalcell電極：將金屬放入對(duì)應(yīng)的溶液后所組成的系統(tǒng)?；瘜W(xué)電池：由兩支電極構(gòu)成的系統(tǒng)；化學(xué)能與電能的轉(zhuǎn)換裝置；電化學(xué)分析法中涉及到兩類(lèi)化學(xué)電池：原電池：自發(fā)地將化學(xué)能轉(zhuǎn)變成電能；電解電池：由外電源提供電能，使電流通過(guò)電極，在電極上發(fā)生電極反應(yīng)的裝置。電池工作時(shí)，電流必須在電池內(nèi)部和外部流過(guò)，構(gòu)成回路。溶液中的電流：正、負(fù)離子的移動(dòng)。原電池陽(yáng)極：發(fā)生氧化反應(yīng)的電極（負(fù)極）；陰極：發(fā)生還原反應(yīng)的電極（正極）；陽(yáng)極≠正極陰極≠負(fù)極電極電位較高的為正極1.平衡電極電位

可以將金屬看成離子和自由電子構(gòu)成。以鋅-硫酸鋅為例當(dāng)鋅片與硫酸鋅溶液接觸時(shí)，金屬鋅中Zn2+的化學(xué)勢(shì)大于溶液中Zn2+的化學(xué)勢(shì)，則鋅不斷溶解到溶液中，而電子留在鋅片上。結(jié)果：金屬帶負(fù)電，溶液帶正電；形成雙電層。

雙電層的形成建立了相間的電位差；電位差排斥Zn2+繼續(xù)進(jìn)入溶液；金屬表面的負(fù)電荷又吸引Zn2+；達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，相間平衡電位

——平衡電極電位。丹聶耳（Danill）原理電極：Cu,Zn溶液:CuSO4,ZnSO4導(dǎo)電離子:Cu2+,Zn2+,SO42-UAUDUCUB充電過(guò)程：UAUDUCUB放電過(guò)程：溫差電現(xiàn)象CuFeII熱接頭冷接頭1.溫差電動(dòng)勢(shì)：兩種金屬接成一個(gè)回路若兩個(gè)接頭處的溫度不同則回路中形成溫差電動(dòng)勢(shì)。2.溫差電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的原因：1）在同種金屬中溫差形成自由電子的熱擴(kuò)散（湯姆孫Thomon電動(dòng)勢(shì)）2）不同金屬中由電子濃度不同在接頭處產(chǎn)生與溫度有關(guān)的擴(kuò)散（珀耳帖Peltier電動(dòng)勢(shì)）－－BA＋＋EKUAUBUAUB電勢(shì)nAnB>珀耳帖Peltier電動(dòng)勢(shì)BiSb冰水電流非靜電力對(duì)電流做功正功吸熱負(fù)功放熱同一溫度下閉合回路的總電動(dòng)勢(shì)＝？溫差電現(xiàn)象一般

mV/100C。

T2T1

待測(cè)已知恒溫（測(cè)

）電位差計(jì)ABCBi—Sb

10-2V/100C。（鉍）（銻）溫差電動(dòng)勢(shì)的應(yīng)用:1）熱電偶優(yōu)點(diǎn)：▲熱容小靈敏度高(10-30C)

▲可逐點(diǎn)測(cè)量測(cè)小范圍內(nèi)溫度變化▲測(cè)溫范圍大（-2000C—20000C）▲便于自動(dòng)控制塞貝克系數(shù)溫差電現(xiàn)象掃描熱顯微鏡壓電控制裝置鎢鎳絕緣體通向電子裝置芯片溫差電現(xiàn)象掃描熱顯微鏡簡(jiǎn)介性能：

熱探針針尖直徑只有約30nm，可在數(shù)十納米的尺度上，測(cè)出萬(wàn)分之一度的溫度變化。工作原理：通電流使探針加熱并接近試樣表面針尖和被測(cè)表面距離

針尖散熱溫度；針尖和被測(cè)表面距離

針尖散熱

溫度由此可反映出探針尖與試樣表面間隙的大小。當(dāng)探針在試樣表面上掃描時(shí)，就能測(cè)出試樣表面的起伏狀況。0.6V5cm2

0.1A核能＋＋＋＋放出α粒子（2e):α粒子動(dòng)能電路中電流I與電阻無(wú)關(guān)，與放射源的強(qiáng)度有關(guān)復(fù)雜電路基本概念節(jié)點(diǎn)：三條或更多條支路的聯(lián)接點(diǎn)支路：電源和電阻串聯(lián)而成的通路回路：幾條支路構(gòu)成的閉合通路I1I2I3A典型問(wèn)題：1.已知電源電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻、電阻求支路電流2.已知電流求電阻或電動(dòng)勢(shì)理論基礎(chǔ)：穩(wěn)恒電流條件流向節(jié)點(diǎn)電流為負(fù)流出節(jié)點(diǎn)電流為正匯于節(jié)點(diǎn)的各支路電流代數(shù)和為0.N個(gè)節(jié)點(diǎn)N-1個(gè)獨(dú)立方程理論基礎(chǔ)：環(huán)路定理電位從高到低，電位降為正電位從低到高，電位降為負(fù)沿回路一周，電位降落的代數(shù)和為0.電源：正到負(fù)，電位降為正負(fù)到正，電位降為負(fù)電阻：沿電流方向看去，電位降為正逆電流方向看去，電位降為負(fù)例題：下圖是一個(gè)電橋電路，其中G為檢流計(jì)（內(nèi)阻為Rg），求通過(guò)檢流計(jì)的電流Ig與各臂阻值R1、R2、R3、R4的關(guān)系（電源內(nèi)阻可忽略，ε為已知）。GABCD解：標(biāo)定各支路電流的方向如圖，這里有Ig、I1、I2三個(gè)未知變量，我們相應(yīng)的列出三個(gè)方程來(lái)：（所謂“橋”指的就是對(duì)角線(xiàn)BD）

整理后得到：其中：由此可知，當(dāng)R2R3-R1R4=0時(shí)即：時(shí)，Ig=0，電橋平衡；反之，當(dāng)電橋平衡時(shí)，Ig=0，因此上式是電橋平衡的充要條件。用平衡電橋測(cè)量電阻時(shí)，誤差的來(lái)源主要有二：（1）檢流計(jì)不夠靈敏帶來(lái)的誤差；（2）其他電阻不夠準(zhǔn)確引起的誤差。因此，從誤差的來(lái)源看，只要檢流計(jì)和電阻選得合適，用這種方法測(cè)電阻可以有很高的準(zhǔn)確度。例題：下圖是電位差計(jì)的原理圖，求待測(cè)電池的電動(dòng)勢(shì)εX。.G(a)GABCR(b)[分析]：電位差計(jì)是用來(lái)準(zhǔn)確測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)的儀器，也可以用它準(zhǔn)確地測(cè)量電壓、電流和電阻。我們知道直接用伏特計(jì)測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)是不準(zhǔn)確的。要準(zhǔn)確的測(cè)量一個(gè)電源的電動(dòng)勢(shì)，必須在沒(méi)有任何電流通過(guò)該電源的情況下測(cè)定它的路端電壓。解決這個(gè)問(wèn)題的辦法就是利用補(bǔ)償法。補(bǔ)償法的原理見(jiàn)圖（a），當(dāng)調(diào)節(jié)電動(dòng)勢(shì)ε0的大小，使檢流計(jì)的指針不偏轉(zhuǎn)時(shí)，得εX=ε0，這時(shí)，我們稱(chēng)電路達(dá)到平衡，知道了平衡狀態(tài)下ε0的大小，就可以測(cè)定εx為了得到準(zhǔn)確、穩(wěn)定、便于調(diào)節(jié)的ε0，實(shí)際中采用電路圖（b），供電電源ε、制流電阻R和電阻AB所組成的回路，叫做輔助回路，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分壓器，UAC就是用來(lái)代替可調(diào)電動(dòng)勢(shì)ε0的。AεXGC一段支路叫做補(bǔ)償回路，它和（a）中的εX和G所組成的一段相當(dāng)，當(dāng)撥動(dòng)滑動(dòng)接觸頭C，找到一個(gè)位置，使G的指針不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這時(shí)εx=UAC=IRAC,I表示流過(guò)滑線(xiàn)電阻AB的電流，通常叫做輔助回路的工作電流。電位差計(jì)就是根據(jù)上述補(bǔ)償原理來(lái)測(cè)定電動(dòng)勢(shì)的。要準(zhǔn)確的測(cè)定電動(dòng)勢(shì)εx，就要準(zhǔn)確測(cè)定平衡時(shí)AC一段的電阻RAC和輔助回路的工作電流I。在實(shí)際的電位差計(jì)中，滑線(xiàn)電阻由一系列標(biāo)準(zhǔn)電阻串聯(lián)而成，所以RAC無(wú)需測(cè)量，而工作電流I出于設(shè)計(jì)和使用的考慮，總是標(biāo)定為一定數(shù)值I0（學(xué)生式電位差計(jì)中工作電流I標(biāo)定為0.010A）。這樣做的好處是電位差總是在統(tǒng)一的工作電流I0下達(dá)到平衡，由可知，這時(shí)電阻值和電動(dòng)勢(shì)就存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而可以把待測(cè)電動(dòng)勢(shì)的數(shù)值一一地直接標(biāo)刻在各段電阻上，即無(wú)需計(jì)算就可直接讀數(shù)。因此,要準(zhǔn)確