2022年廣東高考高中學(xué)業(yè)水平選考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題答案詳解（一模）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試(一)

數(shù)學(xué)

本試卷共22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市(縣、區(qū))、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和考生

號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無(wú)效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=(2+i)(l-2i),其中i是虛數(shù)單位，則|z|=()

A.2B.3C.4D.5

【1題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.

【詳解】解:z=(2+i)(l-2i)=4-3i,

所以目=J16+9=5.

故選：D.

一11

2.若向量-B滿足|。|=2,忸|=2,a-b=2<則|a—切=()

A.72B.2C.2GD.4

【2題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得a-h的值.

【詳解】由題意可得歸―0=志立/^\la-2a-b+b=/—2x2+2?=2.

故選：B.

3.已知a為銳角，且以光(。+工)=一4，則cos(a+苧)=(

)

424

D.B

A.——B.—----

2222

【3題答案】

【答案】C

【解析】

TT

【分析】先由平方關(guān)系計(jì)算出sin(a+V再由誘導(dǎo)公式得出答案.

2

【詳解】由a為銳角得工＜。+工＜3生，所以Sin(a+-)=Jl-cos(a+-)=—,

4444V42

/37、，兀兀、7r.V3

cos(?+——)=cos(ad--+-)=-sin(ad--)=------

44242

故選：C.

4.為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來(lái)測(cè)量A,B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行

車前輪置于點(diǎn)A,前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C,然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)(車身始終保持

與地面垂直)，直到前輪與點(diǎn)8接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前

輪與點(diǎn)8接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方(以下圖為觀察視角)，且到地面的垂直高度為0.45m.已知前

輪的半徑為0.3m,則A,B兩點(diǎn)之間的距離約為()(參考數(shù)值：萬(wàn)=3.14)

A?B

A.20.10mB.19.94mC.19.63mD.19.47m

【4題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了(10+；)圈，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】解：由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了(10+g)圈，

所以A,B兩點(diǎn)之間的距離約為[10+g]X2萬(wàn)X0.3=6.21?6.2x3.14?19.47m,

故選：D.

5.從集合。={1,2,3}的非空子集中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的集合A,B,則AcB={I}的概率為()

4515

A.—B.—C.-D.—

2142756

【5題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】寫出集合。={1,2,3}的非空子集，求出總選法，再根據(jù)AcB={l},列舉出集合A,8的所有情況,

再根據(jù)古典概型公式即可得解.

【詳解】解：集合。={1,2,3}的非空子集有{1},{2},⑶,{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}共7個(gè)，

從7個(gè)中選兩個(gè)不同的集合A,B,共有用=42種選法，

因?yàn)锳c8={l},

當(dāng)4={1}時(shí)，則3可為{1,2},{1,3},{1,2,3}共3種，

當(dāng)人={1,2}時(shí)，8={1,3}1種，

同理當(dāng)B={1}時(shí)，則A可為{1,2},{1,3},{1,2,3}共3種,

當(dāng)5={1,2}時(shí)，A={1,3}共1種，

則符合AcB={l}的共有3+1+3+1=8種，

84

所以AcB={l}的概率為——二一.

4221

故選：A.

6.已知函數(shù)/(x)=lnN,g(x)=e*-e-*,則圖象如圖的函數(shù)可能是()

A.f(x)+g(x)B.f(x)-g(x)C.f(x)g(x)D.

g(x)

【6題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.

【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，/(x)+g(x)和/*)-g(x)為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)g(x)單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；

/(X)/(X)

個(gè)■為奇函數(shù)，當(dāng)XT+OO時(shí)，???y=e'的增長(zhǎng)速度快于y=12的增長(zhǎng)速度，故>0且單調(diào)遞減，故

g(x)g(x)

圖像應(yīng)該在X軸上方且無(wú)限靠近X軸，與圖像相符.

故選：D.

22

7已知小K是雙曲線C言一點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)’點(diǎn)A是雙曲線C的右頂點(diǎn)’點(diǎn)尸在

過(guò)點(diǎn)A且斜率為域的直線上，為等腰三角形，N-E,P=120。，則雙曲線C的離心率為

3

()

3

A.-B.2C.3D.4

2

【7題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由“片"為等腰三角形，且/月工2=120°,可得|尸爪=花用=2。，P點(diǎn)坐標(biāo)(2c,、氏)，由點(diǎn)

尸在過(guò)點(diǎn)A且斜率為氈的直線上，可得叵=2回,可得e的值.

32c-a3

22

【詳解】解：由題意可得雙曲線與=1焦點(diǎn)在X軸上,設(shè)忻工|=2c.

?.?△P片工為等腰三角形，且N耳鳥P=120°,.?.|尸瑪|=山閭=2（：,

???|QK|=c,可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（c+2ccos60",2csin60°）,即P（2c,限），

???點(diǎn)尸在過(guò)點(diǎn)A且斜率為也直線上，,叵=拽，可得￡=2,即e=2,

32c-a3a

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及應(yīng)用，得出P點(diǎn)坐標(biāo)（2c,瓜）后得巫=區(qū)3是解題的關(guān)

2c-a3

鍵.

8.已知正項(xiàng)數(shù)列｛為｝滿足區(qū),=〃*〃eN*），當(dāng)/最大時(shí)，〃的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【8題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先令y=X、1兩邊取對(duì)數(shù)，再分析/（*）=,InX的最值即可求解.

]nY

【詳解】令,=尤屋I兩.邊取對(duì)數(shù)，有l(wèi)ny=lnx1'=（,

令/（*）=叱，貝1!/'*）=上4，

x廠

當(dāng)/'。）＞0時(shí)，0（尤＜e；當(dāng)r（x）＜0時(shí)，x＞e.

所以/（X）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減.

所以％=e時(shí)，/（X）取到最大值，從而y有最大值，

_L11

因此，對(duì)于4=〃1（〃eN*），當(dāng)〃=2時(shí)，4=2“當(dāng)〃=3時(shí)，%=3"

而3；〉23，因此，當(dāng)。"最大時(shí)，〃=3.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)“，〃為不同的直線，a,〃為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若〃〃/a,nila,則加〃〃B.若〃?_La,nLa>則

C.若m//a,mu（3，則a〃/?D.若〃_L分，m±n,則a-L/?

【9題答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)A：若加〃a,nila,則相〃〃或加與”相交或m與〃異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)B：若〃z_La,n±a,則/？/〃〃，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)C：若加〃a,mu￡,則a〃/?或a與夕相交，故選項(xiàng)C正確；

對(duì).D：若m_La,〃_L￡,mLn,則。_L，，故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

10.中國(guó)正在從電影大國(guó)邁向電影強(qiáng)國(guó).下面是2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片

（含合拍片）與進(jìn)口影片數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法中正確的是（）

數(shù)量/部□國(guó)產(chǎn)影片

10--------------------------------------

□進(jìn)口影片

98

7

6

5

4

3

2

1

0

A

2017年2018年2019年2020年2021年年份

A.2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中,國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量占比不低于50%

B.2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中,國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量占比逐年提高

2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中,國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量的平均數(shù)大于進(jìn)口影片數(shù)量的平均數(shù)

D.2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中,國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量的方差等于進(jìn)口影片數(shù)量的方差

【10題答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖依次計(jì)算影片數(shù)量占比、平均數(shù)和方差即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，每年的國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量均大于等于5部，

故國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量每年的占比都不低于50%,A正確；

對(duì)于B,2020年國(guó)產(chǎn)影片占比為100%,2021年國(guó)產(chǎn)影片占比為80%,故國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量占比并非逐年

提高，B錯(cuò)誤；

37

對(duì)于C,2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量平均數(shù)為二=7.4,進(jìn)口影片數(shù)

13

量平均數(shù)為］=2.6,C正確；

對(duì)于D,2017至2021年各年國(guó)內(nèi)電影票房前十名影片中，國(guó)產(chǎn)影片數(shù)量的方差為

-

/O7474\2

+/十|

\|(8\-7進(jìn)口影片數(shù)量的方差為

-

-x[(5-2.6)2+(4-2.6)2+(2-2.6)2+(0-2.6)2+(2-2.6)21=3.04,D正確.

5L-

故選：ACD.

11.已知數(shù)列｛叫滿足4=1,=2"(〃eN*),則下列結(jié)論中正確的是()

A.%=5

B.｛/｝為等比數(shù)列

C.41+〃,+???+a,(”]——2"(,一一3

22023—2

D.4+%+??,+。2022=---------

[11題答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】利用遞推式可求得的值，可判斷A,B;將q+a2+---+a2m變?yōu)?/p>

?1+(a2+a,)+(a4+)+-??++(a2020+a2(12,),利用等比數(shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷C;將

q+4+…+“2022變?yōu)?q+4)+(4+。4)+…++(。2021+%)22)，利用等比數(shù)列的求和公式，求得結(jié)果,

判斷D;

【詳解】4=1,則+。2=2,。2=1，又%+%=4，。3=3，

同理+。4=2、%=5,故A正確；

而年=1，親=3,故｛a,,｝不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤;

4+%■1------。2021=4+（〃2+。3）+（44+。5）-------+（。2020+。2021）

101010,,2022

2420204U（l-d）4-12-1

1+2+2+--+2^1+故C錯(cuò)誤;

1-4-3-

4+------42022=（q+。2）+（°3+44）--------+（。202|+42022）

Hz-y20_2（l-4l0ll）_2x4lf）ll-2_22023-2

l22l,故D正確,

一一一1-433

故選：AD

12.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為凡拋物線C上存在〃個(gè)點(diǎn)片，鳥，L,匕（〃22且〃eN"）滿

27r

足/片尸己=/上理=???=/￡/匕=/￡/4=—,則下列結(jié)論中正確的是（）

n

B.〃=3時(shí)，山尸|+舊尸|+山尸|的最小值為9

]1_1

仁”4時(shí),麗河+呼麗/

D.刃=4時(shí)，忸制+|月刊+|犬尸|+舊目的最小值為8

【12題答案】

【答案】BC

【解析】

11

【分析】以片乙為拋物線通徑，求得時(shí)西的值，判斷A;當(dāng)〃=3時(shí)，寫出焦半徑山尸四尸月尸|

的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，可判斷B；當(dāng)〃=4時(shí)，求出鳥叫4尸|,花目的表

達(dá)式，利用三角函數(shù)的知識(shí)，可判斷C,D.

【詳解】當(dāng)〃=2時(shí)，/々鵬=/6咐=》，此時(shí)不妨取18過(guò)焦點(diǎn)垂直于x軸,

1111.

不妨取6(1,2),￡(1,-2),則麻[+西=5+5=1，故A錯(cuò)誤;

27r

當(dāng)雙=3時(shí)'，理=5鵬=4加=7

TT

此時(shí)不妨設(shè)[，￡,呂在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè)N[Ex=a,ae(0,5),

2

則|《/|=一--,則1￡“上,IS=

,,Z.71.1/4)、，

1-COS6Z1-COS(￡Z+-)l-COS(6Z+-)

222

故山產(chǎn)取區(qū)尸

1+11+1=1-cosai_cos(a+,)l-cos(a+^)

4(1+—cos。)

2

---------1-

1-cosa(cosa+|)2

令r=coso+]fe(；,；),則由村+歸目+區(qū)可=內(nèi)+竽

zzzJ-zrI

82r+6-27(z-l)

令")=匕+￥’則r⑺(3-2r)2t3(3—2f)2/

i3

當(dāng)一</<i時(shí)，尸⑺>o,f(t)遞增，當(dāng)1</<巳時(shí)，r(o<o,f(t)遞減,

22

故/⑺mm=/(D=9，

故當(dāng)f=l,HRcost?=ptz=y時(shí)，由同+出目+|鳥目取到最小值9,故B正確;

冗

當(dāng)一時(shí)，/碼二,

此時(shí)不妨設(shè)6,6,4,E在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè)N[Er=e,ew(0,1o，

2222

|PF|=--------JP.F|=-----------------,|RF\=----------------,|P.F|=------------------

則nI「cose-jos(e+巧i-cos(e+?)…。式辦嗎'

22

222

即|8/|=-------,\P.F|=----------,|P,F\=----------,

~1+sin。1+cos01-sin。

224

故學(xué)---------1---------=------

|91+|1=l-cos。1+cos。sin0

因日+19卜=萬(wàn)

11sin20cos201

所以忸尸|+|犬耳+|鳥尸|+舊尸「4+4—“故C正確；

由c的分析可知：|/|+出尸|+|巴耳+|舄同=^；+-47；=，八=—^，

I'112??3II4Isir?。cos?。sin28cos28sin220

當(dāng)sir?26=1時(shí)，I6.取到最小值16,

sin20

即忸川+|之川+|公村+仍同最小值為16,故D錯(cuò)誤；

故選：BC

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，涉及到拋物線的焦半徑|尸尸|=-R—

1-cosa

的應(yīng)用，以利用導(dǎo)數(shù)求最值，和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，難度較大.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.二項(xiàng)式（6-2）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

x

【13題答案】

【答案】60

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0,求得答案.

6-rrr，-y

【詳解】由題意可得：Tr+l=C；（V^）（--）=（-2）C；x',r=0,1,2,--,6，

X

3r

令3——=0,r=2,

2

故常數(shù)項(xiàng)為（一2）2。：=60,

故答案為：60

14.如圖為四棱錐A—OEFG的側(cè)面展開圖（點(diǎn)G，G重合為點(diǎn)G）,其中4）=瓶，GQ=G7,E

是線段。咒的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出四棱錐A-0EFG中一對(duì)一定相互垂直的異面直線：.（填上你認(rèn)

為正確的一個(gè)結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形）

【14題答案】

【答案】AE和OE（AE和。G,AE和G/，AG和。尸）（寫出其中一對(duì)即可）

【解析】

【分析】如圖所示，連接。產(chǎn)和GE,相交于點(diǎn)。，連接A。,證明。尸J_平面AOE,即得解.

【詳解】解：如圖所示，連接DF和GE,相交于點(diǎn)。，連接A0.

因?yàn)镈G=FG,DE=EF,GE=GE,

所以4DE三&FE,所以ADGO=ZFGO,

又。G=GF,GO=GO,所以&DGO^GFO,

兀

所以。O=OF,/6。0=/60/=一，所以。尸_10石.

2

因?yàn)锳O=AF,OD=OE,所以AOLDF.

又因?yàn)锳OA=。AO,OEu平面AOE,

所以平面AOE,又AEu平面AOE,

所以叱_LA￡.

故答案為：A￡和DR.

15.如圖，己知扇形AOB的半徑為10,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，04=(10,0),麗=(6,8),

則AS的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【15題答案】

【答案】(475,275)

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cosNCQ4,SinNCQ4,由此可求得

C點(diǎn)坐標(biāo).

Aa

【詳解】由三角函數(shù)定義得：cos/BQ4=—=一

105

o3

,/2cos-ZCOA—1=cosZ.BOA=—,cosZCOA

5

/.sinZCOA=Vl-cos*2ZCOA=

:.xc=lOcosZCOA=4A/5,yc=lOsinZCOA=275，

點(diǎn)坐標(biāo)為(4石,26).

故答案為：(475,2^).

16.已知直線y=f分別與函數(shù)/(x)=2x+l和g(x)=21nx+x的圖象交于點(diǎn)A,B,則|AB|的最小值為

【16題答案】

3

【答案】--ln2

2

【解析】

【分析】由題意，|48|為4B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，因此設(shè)出坐標(biāo)作差，再求最值即可.

【詳解】，=，與/(幻=21+1的交點(diǎn)為4(3,6，

2

2

函數(shù)g(x)=2Inx+羽g'(x)=—+1>0,所以g(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增，

x

令g(Xo)=f，對(duì)于一個(gè)1的值，有唯一的/使g(%0)=，，所以

v—t

有21nx0+/一1=0=>—=-lnx(),

所以|A5|=|x?+個(gè)—：+：|=|W-lnx()+：|,

2222222

x1I1

令Zz(x)=—lnx+—,則/(x)=----，

222x

當(dāng)xe(0,2)時(shí),h\x)<09人(幻在(0,2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(2,y)時(shí)，h\x)>0,〃(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減.

213

^WA(x)min=--ln2+-=--ln2>0,

3

故IA81mhi=]-ln2.

3

故答案為：——I*1

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為下面給出有關(guān)AABC的三個(gè)論斷：①

a2+c2—b2-ac；②c=2bcosB；?acosC+\[3asinC=b+c-

化簡(jiǎn)上述三個(gè)論斷，求出角的值或角的關(guān)系，并以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫

出所有可能的真命題.(不必證明)

【17題答案】

7T7T

【答案】論斷①：B=—；論斷②：C=2B或。+25=4；論斷③：A=—；所有可能的真命題有：①③

3一3

=>②和①②二>③.

【解析】

【分析】論斷①中，利用余弦定理可求得cosB,進(jìn)而得到5；論斷②中，利用正弦定理邊化角可得

sinC=sin2B,進(jìn)而得到結(jié)論；論斷③中，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式、輔助角公式進(jìn)行化

簡(jiǎn)整理得到sin[A-菅)=g,由此可得A：由三角形內(nèi)角和可確定結(jié)果.

【詳解】論斷①中，由余弦定理得：cos5=a2+c22=_g￡=j_,=

2ac2ac23

論斷②中，???C=2"COSJB,由正弦定理得：sinC=2sinBcosB=sin2B,

????！?0,%)，23￡(O,2〃)，...C=28或C+2B=4,

論斷③中，由正弦定理得：sinAcosC+V3sinAsinC=sinB+sinC，

即sinAcosC+6sinAsinC=sin(A4-C)4-sinC,

/.sinAcosC4-^3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

即V3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

?..Cw(0,,/.sinCw0,，GsinA=cosA+1，

即V3sinA-cosA=2sinA-j=1,,gpsin^A-^j=—,

.zr.\.717T571j7171..7t

又Ae（0,〃），；.A-：e?||A---=—,解得：A=—

''6<66J663

以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，所有可能的真命題有：

①③=②和①②=③.

18.如圖，ABC。為圓柱00'的軸截面，EE是圓柱上異于A。，8C的母線.

（1）證明：%;1平面QEE

（2）若AB=BC=2,當(dāng)三棱錐B—DEE的體積最大時(shí)，求二面角B—OF—石的余弦值.

【18~19題答案】

【答案】（1）證明見解析

⑵—

3

【解析】

【分析】（1）證明3E1D/7,再證明M_L8E，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；

（2）先推出三棱錐3-。斯的體積最大時(shí)，點(diǎn)E,F分別是AB，CO的中點(diǎn)，由此再求二面角

6-。F—E的余弦值；

法一：通過(guò)證線面垂直可說(shuō)明N8EE是二面角B—OF—E的平面角，解直角△8FE即可求得答案；

法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面OE尸物平面BD尸的法向量，根據(jù)向量的

夾角公式求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如右圖，連接AE,由題意知A8為。。的直徑，所以

因?yàn)锳。，EF是圓柱的母線，所以A￡>〃石戶且AT>=石尸，

所以四邊形AEF。是平行四邊形.

所以A￡〃。尸，

所以BELDF.

因?yàn)镋F是圓柱的母線，所以印J.平面ABE,

又因?yàn)锽Eu平面ABE,

所以￡尸1.8石.

又因?yàn)?。EnEF=F,DF,EFu平面DEF,

所以郎1平面。EE

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知BE是三棱錐3—尸底面。所上的高，

由（1）知EELAE，AE//DF，所以防，￡>/，

即底面三角形OEF是直角三角形.

設(shè)DF=AE=x,BE=y,則/+,2=4,

bi、1”]c門_1111x~+y~2

所以匕-DE"=T^ADEF,=~x（~x^x2）xy=—xy.,――2—=—，

jj

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E,尸分別是AB，C0的中點(diǎn)時(shí),

三棱錐B-DEF的體積最大，

下面求二面角B—DF—E的余弦值：

法一：

由（1）得BE1平面DEF,因?yàn)?。尸U平面。ER所以BELDF.

又因?yàn)镋FJ_。尸，EFCBE=E,所以止_L平面8EF.

因?yàn)锽bu平面BEF,所以BEJ_￡>/，所以N8EE是二面角8—一￡:的平面角,

由（1）知ABEE為直角三角形,則8尸=5/（女）2+22=瓜

故c"BFE嚕七瀉,

所以二面角8—。尸—E的余弦值為巫

3

法二：由（1）知E4,EB,EF兩兩相互垂直，

如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA,EB,E尸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系￡一刀嚴(yán)，

則3(0,72,0),0(72,0,2),￡(0,0,0),F(0,0,2).

由（1）知BE1平面。E凡故平面OE尸的法向量可取為而=（0,、匯,0）.

設(shè)平面BDF的法向量為%=（x,y,z）,由麗=（—正,0,0）,BF=（0,-V2,2）,

n-DF-0[—yfix=0x=0

得——，即「

n-BF=Q[-y/2y+2z=0y=&z

取z=l，得）=（0,&,l）

設(shè)二面角8—￡）尸一E的平面角為0,

則|cosq=辰伍麗戶07=1=親明=半，

由圖可知。為銳角，所以二面角8-OF-E的余弦值為工

3

19.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和S“滿足a”（2S,,—a“）=15wN*）.

（1）求證：數(shù)列｛S；｝是等差數(shù)列，并求出S“的表達(dá)式；

,1111

（2）數(shù)列｛4｝中是否存在連續(xù)三項(xiàng)4,ak+i,使得一，——，六構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

a

k4+1%2

【19~20題答案】

【答案】（1）證明見解析，S“=品;

（2）不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合“當(dāng)”22時(shí)，4=5“一S“T”建立S“與S,T的關(guān)系即可推理作答.

（2）由（1）求出勺，利用反證法導(dǎo)出矛盾，推理作答.

小問(wèn)1詳解】

依題意，正項(xiàng)數(shù)列｛4｝中，a；=l,即q=l,當(dāng)〃22時(shí)，q=S“—S,i，即

⑸―SQ[2S廠⑸一Sz）]=l,

整理得S：—S3=l，又S；=a；=l,因此，數(shù)列｛S；｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

則S：=〃，因?yàn)椋鹮｝是正項(xiàng)數(shù)列，即S“>0,

所以S“=〃.

【小問(wèn)2詳解】

不存在，

當(dāng)〃之2時(shí)，an=Sn—Sn_｝=Vn—Vn—1,又a1=1,即wN",都有an—G-Jn-1,

則—=-j=—/=+1,

\Jn

111

假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng)%,%+1，卬+2，使得一，一，一構(gòu)成等差數(shù)列，

Clkak+\ak+2

則2（>/欠+1+\[k）=y[k+yjk—1+J>+2+dk+\?即1k+1+\[k-Nk-1++2，

兩邊同時(shí)平方，得A+l+A+2jTTT4=A—l+A+2+2jnijm，即（左+1）攵=/-1）（2+2）,

整理得：/+k=/+k—2,即0=—2,顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的,

所以數(shù)列｛4｝中不存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng).

20.小王每天17：00—18：00都會(huì)參加一項(xiàng)自己喜歡的體育運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目有籃球、羽毛球、游泳三種.

已知小王當(dāng)天參加的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目只與前一天參加的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目有關(guān)，在前一天參加某類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的情況下，當(dāng)

天參加各類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率如下表：

當(dāng)天

刖一天

籃球羽毛球游泳

籃球0.50.20.3

羽毛球0.30.10.6

游泳0.30.60.1

（1）已知小王第一天打羽毛球，則他第三天做哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可能性最大?

（2）已知小王參加三種體育運(yùn)動(dòng)一小時(shí)的能量消耗如下表所示：

運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目籃球羽毛球游泳

能量消耗/卡500400600

求小王從第一天打羽毛球開始，前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)的分布列和期望.

[20-21題答案】

【答案】（1）第三天打羽毛球的可能性最大

（2）分布列見解析，期望為1428卡

【解析】

【分析】（1）根據(jù)小王第一天打羽毛球，可得到第二天分別參加哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率，由此在分別計(jì)算第三天參

加各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的可概率，比較可得答案；

（2）求出運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)的可能的取值，計(jì)算出每種可能對(duì)應(yīng)的概率，可得前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量

消耗總數(shù)的分布列，根據(jù)期望的計(jì)算公式，求得期望.

【小問(wèn)1詳解】

用A,B,C分別表示籃球，羽毛球，游泳三種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，用4（A）,,己（C）（"wN*）分別表示第

〃天小王進(jìn)行4,B,C三種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率.

因?yàn)樾⊥醯谝惶齑蛴鹈颍?/p>

所以第2天小王做三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率分別為鳥(A)=0.3,4(6)=0.1,2(C)=0.6.

第3天小王做三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率分別為A(A)=A(A)x0.5+￡(8)x0.3+6(C)x0.3=0.36,

6(8)=6(A)x0.2+6(6)x0.1+6(C)x0.6=0.43,

4(C)=鳥(A)x0.3+g(8)x0.6+6(。)x0.1=0.21,

所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.

【小問(wèn)2詳解】

小王從第一天打羽毛球開始，前三天的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目安排有：BAA,BAB,BAC,BBA,BBB、BBC、BCA,

BCB、BCC共9種，

運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)用X表示，有1200,1300,1400,1500,1600共5種可能，

P(X=1200)=P(BBB)=0.1x0.1=0.01,

產(chǎn)(X=1300)=P(BAB)+P(BBA)=0.3x0.2+0.1x0.3=0.09,

P(X=1400)=P(BAA)+P(BBC)+P(BCB)=0.3x0.5+0.1x0.6+0.6x0.6=().57,

P(X=1500)=P(BAC)+P(BCA)=().3x0.3+0.6x().3=().27,

P(X=1600)=P(BCC)=0.6x0.1=0.06,

所以小王從第一天打羽毛球開始，前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)X的分布列為

X12001300140015001600

P0.010.090.570.270.06

能量消耗總數(shù)X的期望

E(X)=12(X)x0.01+1300x0.09+1400x0.57+1500x0.27+16(X)x0.06=1428(卡)

所以小王從第一天打羽毛球開始，前三天參加體育運(yùn)動(dòng)能量消耗總數(shù)X的期望為1428卡.

21.已知/(x)=lnx+av+l(aeR),/"(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若對(duì)任意x＞0都有求。的取值范圍；

(2)若0＜占＜%,，證明：對(duì)任意常數(shù)存在唯一的不€(石,%)，使得了'(X。)=成

立.

【21~22題答案】

【答案】⑴（9,-1]

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（I）通過(guò)分離變量的方式得到a?g（x）=—XH,利用導(dǎo)數(shù)可求得gGUin，由此可得。的范

X

圍；

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/?（x）=r（x）-叢上/SD在區(qū)間（百,羽）上有唯一的零點(diǎn)，由解析式可確定

X]-％2

〃（x）在（玉,工2）上單調(diào)遞減；結(jié)合⑴的結(jié)論知Inx-x+lWO,進(jìn)而得到〃（xJ>0,h（x2）<Q,由

零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

由/（x）WO得：ax<-\nx-l,即aW-生出.；

X

人/、lnx+1e，/、\nx

令g（x）=-------，則g（x）=F，

XX

.,.當(dāng)XG（O,1）時(shí),g<x）<0；當(dāng)XG（l,+oo）時(shí),/（x）>0；

.?.g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減,在（1,+8）上單調(diào)遞增，.??g（x）mi,,=g（l）=-1,

:.a<-\,即。的取值范圍為（一8,-11

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)/?（x）=/'（*）_）（，）_/（/）,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/i（x）在區(qū)間（4乙）上有唯一的零點(diǎn)，

不一X?

由&）f（*2）=+內(nèi)+叫二In/二辦2,知〃（x）在區(qū)間（玉,々）上單調(diào)遞

減，故函數(shù)/z（x）在區(qū)間（X，%）上至多有1個(gè)零點(diǎn)，

?.?/依）-1Sln*+g-】nx「以2一111工211nx2],

1

X]X{-X2XyXj-x2x1-x2（x1

?。?±+a_lnx,+ax,-lnx2-ax21lnx,-lnx2^1（土告卜五],

x2Xj—X2X2Xj—X2Xj—x2x2xx）

由（1）知：當(dāng)。=—1時(shí)，lnx-x+l<0（當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)）,

0<X）<x2,>1,In———+1<0,又再一/VO，即------<0，

?：0<X<x,,.,.0<^-<1,.,.ln土一土+l<0,即ln±+±-l>0,

x2x2x2再x2

又玉一工2<0，即^~~—<0,/?（^2）<0,

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知：Mx）在區(qū)間（不入2）上有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的玉）￡（不々），使得

個(gè)）=〃6/⑸成立.

%一乙

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用，本題第二問(wèn)證明的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為

〃（力=r（t），（'）二：/（&）在區(qū)間（X},x2）上有唯一的零點(diǎn)的證明問(wèn)題，從而能夠結(jié)合零點(diǎn)存在定理

X一次2

進(jìn)行證明.

22

22.已知橢圓C:三+[=1（。>人>0）,其右焦點(diǎn)為尸（百,0）,點(diǎn)M在圓/+/=從上但不在丁軸上，

ab

過(guò)點(diǎn)河作圓的切線交橢圓于P,。兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，|PQ|=6.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)〃在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究△FPQ周長(zhǎng)的取值范圍.

[22-23題答案】

2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）[4,8]

【解析】

【