2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)二卷

2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)二卷2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)二卷的題目較為基礎(chǔ)，主要考察學(xué)生對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)的掌握和運(yùn)用能力。以下是對(duì)題目的解析和相應(yīng)的參考內(nèi)容。

1.設(shè)集合$A=\{x|x^2+\frac{1}{x^2}=3\}$，則$0\notinA$。求$A$的元素個(gè)數(shù)。

解析：根據(jù)題目給出的條件，我們可以列出方程$x^2+\frac{1}{x^2}=3$。將分母移到等號(hào)左邊并通分，得到$x^4-3x^2+1=0$，進(jìn)一步整理得$(x^2-1)(x^2-1)=0$，得到$x=1$或$x=-1$。

因此，集合$A$的元素只有$x=1$和$x=-1$，即$A=\{1,-1\}$，元素個(gè)數(shù)為2。

2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lg(1-2x)}{\lg(1-3x)},x\in(0,\frac{1}{3})$，求$f(x)>0$的解集。

解析：首先我們應(yīng)該注意到要使分式$\frac{\lg(1-2x)}{\lg(1-3x)}$大于0，要求分子和分母同時(shí)大于0或同時(shí)小于0。由于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)檎龜?shù)集合，所以要使$\lg(1-2x)>0$和$\lg(1-3x)>0$均成立。

首先，由于對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，$\lg(1-2x)>0$等價(jià)于$1-2x>1$，得到$x<\frac{1}{2}$。再由于$\lg(1-3x)>0$等價(jià)于$1-3x>1$，得到$x<\frac{1}{3}$。綜合以上兩個(gè)不等式，得到$x<\frac{1}{3}$。

綜上所述，$f(x)>0$的解集為$x\in(0,\frac{1}{3})$。

3.已知向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$等于多少？

解析：計(jì)算點(diǎn)積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$，根據(jù)點(diǎn)積的定義$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\cos{\theta}$，其中$\theta$為$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$之間的夾角。

首先計(jì)算向量的模，我們有$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。

接下來(lái)計(jì)算夾角$\theta$，根據(jù)向量的定義，令$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{OQ}$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=OP\cdotOQ\cdot\cos{\theta}$，其中$OP$和$OQ$分別表示向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$在坐標(biāo)系中的投影。

根據(jù)向量的定義，點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(2,-1)$，點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(1,3)$，所以$OP=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，$OQ=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。

因此，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos{\theta}=\sqrt{50}\cos{\theta}$。

4.已知函數(shù)$f(x)=\sin{\frac{\pi}{3}-x}$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{3}]$上的最小值。

解析：首先，我們計(jì)算函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{3}]$的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式$\fracqqymkoq{dx}\sin^{-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，我們有$\fraco28kegy{dx}\sin{\frac{\pi}{3}-x}=-\cos{\frac{\pi}{3}-x}$。

接下來(lái)，我們求導(dǎo)函數(shù)$-\cos{\frac{\pi}{3}-x}$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{3}]$上的極值點(diǎn)。由于該函數(shù)為三角函數(shù)，其極值點(diǎn)出現(xiàn)在零點(diǎn)和周期點(diǎn)。我們觀察到該函數(shù)周期為$2\pi$，則極值點(diǎn)要出現(xiàn)在$x=0$處以及$x=\frac{\pi}{3}$處。

所以，我們只需要計(jì)算函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值。當(dāng)$x=0$時(shí)，$f(x)=\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；當(dāng)$x=\frac{\pi}{3}$