4.7相似三角形的性質(zhì)（原卷版）

4.7相似三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.2..學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.2..3..重點(diǎn)：.難點(diǎn)：.學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段高中線(xiàn)角平分線(xiàn)之間的關(guān)系，掌握定理的證明方法，并能靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力.2.理解及掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比面積比等于相似比的平方，并能利用這些性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.重點(diǎn)：相似三角形性質(zhì)定理的探究與應(yīng)用；理解并掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比面積比等于相似比的平方.難點(diǎn)：綜合運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定定理探索相似，三角形中對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之間的關(guān)系；探索相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比面積比等于相似比的平方.知識(shí)點(diǎn)一相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比定理相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比都等于相似比.即：相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比.(1)注意“對(duì)應(yīng)”二字，應(yīng)用時(shí)要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段；(2)相似比是有順序的，不能顛倒線(xiàn)段的順序.(3)對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)與對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)分別是指相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線(xiàn)與對(duì)應(yīng)內(nèi)角的平分線(xiàn).即學(xué)即練1（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，頂點(diǎn)A、B、C分別與對(duì)應(yīng)，，、分別是它們的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)，且．求的長(zhǎng)．即學(xué)即練2（2023上·廣東深圳·九年級(jí)南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的高，點(diǎn)E、F在邊上，點(diǎn)G在邊上，點(diǎn)H在邊上，，高，四邊形是內(nèi)接正方形，(1)與相似嗎？為什么？(2)求內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)．即學(xué)即練3（2017·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）求證：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．(請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知，求證并證明)知識(shí)點(diǎn)二相似三角形的周長(zhǎng)比與面積比1、相似三角形的周長(zhǎng)比：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比2、相似三角的面積比：相似三角形的面積比等于相似比的平方.特別提醒：活學(xué)巧記:兩個(gè)相似三角形，各角對(duì)應(yīng)都相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.即學(xué)即練1（2019下·九年級(jí)單元測(cè)試）小李家承包了兩塊三角形土地和△A′B′C′，已知，且的面積為，則△A′B′C′的面積是（

）A． B． C． D．即學(xué)即練2（2019下·九年級(jí)單元測(cè)試）如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比為1∶4，那么周長(zhǎng)較小的三角形與周長(zhǎng)較大的三角形對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比為．題型一利用相似三角形的性質(zhì)求解例1如圖，在中，，分別是，的中點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．舉一反三11.如圖，中，，是斜邊的高．下列結(jié)論不成立的是（

）A． B．C． D．12.如圖，在中，，，，四邊形為內(nèi)接正方形，那么．AI13.已知：如圖，在與中，，與相交于E點(diǎn)，且，交于F點(diǎn)，的面積為1，求和的面積．題型二利用相似求坐標(biāo)例2如圖，已知兩點(diǎn)A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）舉一反三21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為．22.．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、．已知，則．23．如圖，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上若BD⊥AO于點(diǎn)D，OB＝，AB＝2．（1）求OA的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．題型三相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例例3如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，，BE與CD相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．舉一反三31.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F在邊AB上，且AF：FB＝1：2，AC與DF交于點(diǎn)N．（1）當(dāng)AB＝4時(shí)，AN＝．（2）S△ANF：S四邊形CNFB＝．（S表示面積）32.如圖，為平行四邊形的邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接．交于，交于．求證：．33.如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，且．求證：(1)；(2)．題型四相似三角形的綜合問(wèn)題例4如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．舉一反三41.如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD：DB＝2：3，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則CE：CF＝（）A． B． C． D．42.如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的點(diǎn)，CE，AD交于點(diǎn)F，BD＝AD，BE＝EC．(1)求證：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，試求∠ABC的度數(shù)．一、單選題1．（2018上·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）若兩個(gè)三角形的相似比為1∶2，則它們的面積比為（

）A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶12．（2018下·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊分別是15cm和25cm，它們的周長(zhǎng)相差40cm，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．（2020上·北京西城·九年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，△ABC中，DEBC，．則的值為（A． B． C． D．4．（2019·重慶·重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，平行于BC的直線(xiàn)DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為（）A．1 B． C． D．5．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，與中，，，，交于D，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題6．（2018上·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）與相似且對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為，則與面積的比為．7．（2022上·浙江舟山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)E在上，且點(diǎn)E是的重心，若，則等于．8．（2017下·安徽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B(0,3)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線(xiàn)AOB上，直線(xiàn)CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．9．（2021上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB=6，AC＝8，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（1）當(dāng)BD＝1時(shí)，則CE＝；（2）設(shè)P為線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CP的最小值是．三、解答題10．（2021·上海青浦·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）11．（2022下·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)E，且∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5．(1)求DE的長(zhǎng)；(2)求的值．12．（2011·江蘇泰州·統(tǒng)考中考模擬）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20cm，∠ABC＝120°．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線(xiàn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線(xiàn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)判斷PQ與對(duì)角線(xiàn)AC的