控制理論教程

2.1

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型在自然科學、社會科學及日常社會生活中，人們廣泛地使用各種模型來表示現(xiàn)實事物。模型反映了實物某一方面的屬性和特征，是對現(xiàn)實事物的一種表示形式。例如，地球儀是地球的一種模型，軍事演習是實戰(zhàn)的一種模型，實驗室的某些裝置是工廠大型設備的模型等。以上這些模型是以實物來表示實物，可以稱為具體模型或物理模型。如果對現(xiàn)實事物進行簡化、抽象,用方程、公式、圖表、曲線等是現(xiàn)實事物的數(shù)學模型.數(shù)學模型舍棄了現(xiàn)實事物的具體特點而抽象出了它們的共同變化規(guī)律.因此,這類模型稱為抽象模型.為了對控制系統(tǒng)進行定性和定量的分析研究,深刻地揭示控制科學的內在規(guī)律,建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型成為一項必不可少的工作.

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型主要是指描述控制系統(tǒng)及其各組成部分特性的微分方程、狀態(tài)空間表達式、差分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊理論而建立的模型等.

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型有兩種基本方法:一種是根據(jù)控制系統(tǒng)內部的運動規(guī)律,分析各種變量間的因果關系而建立起來的系統(tǒng)的數(shù)學模型.這種方法稱為機理建模或理論分析法；另一種方法則是根據(jù)實際測試的數(shù)據(jù)或計算數(shù)據(jù),按一定的數(shù)學方法,歸納出系統(tǒng)的數(shù)學模型,這種方法稱為系統(tǒng)辨識法或試驗分析法.在對控制系統(tǒng)的運動機理、內部規(guī)律比較了解的情況下,適合應用機理建模法.用這種方法建立的數(shù)學模型,能科學地揭示系統(tǒng)內部及外部的客觀規(guī)律,因而代表性強,適應面廣.在系統(tǒng)運動機理復雜很難掌握其內在規(guī)律的情況下,往往需要按系統(tǒng)辨識的方法得到系統(tǒng)的數(shù)學模型.這種模型是根據(jù)具體對象而得出的,因而適應面較窄,通用性差.

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,是分析研究控制系統(tǒng)的基礎.描述各種客觀事物內在規(guī)律最基本的數(shù)學工具就是微分方程.下面,我們通過一些實例,來討論建立控制系統(tǒng)微分方程的一般過程.

建立控制系統(tǒng)微分方程的主要步驟有:

(1)明確要解決問題的目的和要求,確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量.

(2)全面深入細致地分析系統(tǒng)的工作原理、系統(tǒng)內部各變量間的關系.在多數(shù)情況下,所研究的系統(tǒng)比較復雜,涉及到的因素很多,不可能把所有復雜的因素都考慮到.因此,必須抓住能代表系統(tǒng)運動規(guī)律的主要特征,舍去一些次要因素,對問題進行適當?shù)暮喕?必要時還必須進行一些合理的假設.

(3)如果把整個控制系統(tǒng)作為一個整體，組成控制系統(tǒng)的各元器件及裝置則可以成為子系統(tǒng)。從輸入端開始，依照各子系統(tǒng)所遵循的物理定律或其他規(guī)律，寫出子系統(tǒng)的數(shù)學表達式.

(4)消去中間變量，最后得到描述輸入變量與輸出變量關系的微分方程式。

(5)寫出微分方程的規(guī)范形式，即所有與輸出變量有關的項應在方程左邊，所有與輸入變量有關的項應在方程右邊，所有變量均按降階排列。

系統(tǒng)微分方程的一般形式是

(2.1)式中：y為輸出變量；

x為輸入變量；

和為方程的系數(shù)。

本書只討論線性定常系統(tǒng)，因此，這些系數(shù)均為常數(shù)。

由于控制系統(tǒng)的被控對象和控制元件都具有慣性，當輸入量發(fā)生變化時，輸出量不可能在瞬時完成對輸入量的響應，而必須經(jīng)歷一個過渡過程即動態(tài)過程，所以我們把描述控制系統(tǒng)的微分方程又稱為動態(tài)方程。例1

機械運動系統(tǒng)的數(shù)學模型。圖2.1是一個由彈簧、質量塊和阻尼器構成的機械運動系統(tǒng)。

彈簧的勁度系數(shù)為k(N/m)

質量塊的質量為m(Kg)

阻尼器的阻尼系數(shù)為f(N·S/m)

阻尼器是吸收系統(tǒng)能量的一種裝置，其產生的阻力與活塞運動的速度和阻尼系數(shù)成正比。我們現(xiàn)在來建立質量塊在外力F(t)作用下位移變化的方程。很顯然，這個系統(tǒng)的輸入變量為，輸出變量為。為了使問題簡化，我們忽略質量塊重力的影響。

作用于質量塊的合力P

(2.2)根據(jù)牛頓定律

消去中間變量P,寫成規(guī)范形式

(2.3)這個二階常微分方程就是我們要建立的機械運動系統(tǒng)的數(shù)學模型。

圖２．１機械運動系統(tǒng)例2

直流電動機的數(shù)學模型。直流電動機可以在較寬的速度范圍和負載范圍內得到連續(xù)和準確地控制，因此在控制工程中應用非常廣泛。直流電動機產生的力矩與磁通和電樞電流成正比，通過改變電樞電流或改變激磁電流都可以對電流電機的力矩和轉速進行控制。圖2.2是一個電樞控制式直流電動機的原理圖。在這種控制方式中，激磁電流恒定，控制電壓加在電樞上，這是一種普遍采用的控制方式。

設為輸入的控制電壓

電樞電流

為電機產生的主動力矩

為電機軸的角速度

為電機的電感

為電樞導數(shù)的電阻

為電樞轉動中產生的反電勢

為電機和負載的轉動慣量

根據(jù)電路的克?；舴蚨ɡ黼姍C的主動轉矩

其中為電機的力矩常數(shù)。

反電勢式中為電機反電勢比例系數(shù)

力矩平衡方程消去中間變量,,后得到整理后

(2.4)式中：稱為直流電動機的電氣時間常數(shù)；

稱為直流電動機的機電時間常數(shù)；

,為比例系數(shù)。

直流電動機電樞繞組的電感比較小，一般情況下可以忽略不計，式（2.4）可簡化為

(2.5)

圖2.2直流電動機例3

液位系統(tǒng)的數(shù)學模型。圖2.3是一個液位系統(tǒng)。

設液箱的橫截面積為.在穩(wěn)定狀態(tài)下，流入液箱的水和流出液箱的水流量相同，均為,此時液箱的水位為.當流入液箱的流入量有一增量時，我們來建立水位增量的微分方程。液箱水位的變化為流出液箱的水的增量與出口閥的阻力和液箱水位有關。一般情況下，和

是非線性關系。假設

較小，可以近似認為

和

滿足線性關系

式中

為流出閥的液阻，是常量。

消去中間變量

后可得到

(2.6)若要研究流入量

變化對流出量

的影響，描述二者關系的微分方程為

(2.7)這說明，對同一個物理系統(tǒng)，當研究的目的不同時，所得到的數(shù)學模型是不一樣的。另外，微分方程中的輸入變量和輸出變量是指系統(tǒng)中具有因果關系的變量，必須和實際系統(tǒng)中具體物質的流入量與輸出量區(qū)別開來。

圖2.3液位系統(tǒng)例4

熱力系統(tǒng)的數(shù)學模型。圖2.4是一個電加熱熱水器的示意圖。我們現(xiàn)在來建立熱水器出口水溫受加熱器加熱量影響的微分方程，為了使問題簡化，假設沒有熱量向周圍環(huán)境散失，加熱器容器中的溫度是均勻的，都具有和出口溫度相同的溫度。設加熱器出口水溫相對于穩(wěn)定狀態(tài)下的增量為

，為熱水器中水的質量

，為水的比熱容，為電加熱器傳輸給水的熱流量的增量，為水的流量，根據(jù)熱量平衡關系整理后為

(2.8)若要考慮水入口溫度的影響，設入口水溫的變化量為

，則有

(2.9)若要考慮更多的因素，微分方程將變得更加復雜。

圖２．４電熱水器

由此可以看出合理假設和簡化在建立系統(tǒng)的數(shù)學模型中是很重要的。不同的簡化和假設會得到不同的模型。假設的條件太多，過分簡化，雖然數(shù)學模型簡單，數(shù)學處理容易，但可能無法反映出事物的主要特征或達不到應有的準確性。若考慮的因素太多，數(shù)學模型將變得很復雜，數(shù)學處理困難，增加了解決問題的難度，有時甚至會出現(xiàn)次要因素掩蓋了事物主要特征的現(xiàn)象，得不出正確的結果。假設、簡化到什么程度，并無統(tǒng)一的規(guī)定，主要根據(jù)具體問題和實際經(jīng)驗來決定。

系統(tǒng)的微分方程建立以后，還必須對其進行驗證。要把根據(jù)數(shù)學模型進行理論分析的結果和實際結果或實驗結果相比較，證明數(shù)學模型的合理性。若不符合要求，則必須進行修改。一個成熟的數(shù)學模型往往要經(jīng)過多次修改和驗證才能確定下來。

建立數(shù)學模型是一個培養(yǎng)綜合應用各種知識，不斷創(chuàng)造新的過程。建立數(shù)學模型需要有綜合分析和抓住問題本質的能力，需要有較高的抽象概括能力和較高的數(shù)學素養(yǎng)，也需要有科學的思維方法。數(shù)學模型不僅僅用來解釋已發(fā)生的現(xiàn)象，更重要的是要預測事物的發(fā)展，為未來的決策提供指南。因此，建立數(shù)學模型的過程也是新觀點、新方法產生的過程，是一種不斷創(chuàng)新的過程。培養(yǎng)創(chuàng)新的意識、創(chuàng)新的能力，和掌握科學知識是同等重要的。2.2傳遞函數(shù)2.2

傳遞函數(shù)描述線性函數(shù)常系統(tǒng)特性的微分方程為

(2.10)方程的系數(shù)均為常數(shù)，設該系統(tǒng)的初始條件為零，即對式（2.10）兩邊進行拉普拉斯變換，可以得到令

(2.11)式（2.11）即為線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義表達式。

傳遞函數(shù)的定義為：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是零初始條件下輸出的拉普拉斯變換與輸出的拉普拉斯變換之比。

在控制系統(tǒng)的微分方程中，輸入變量、輸出變量都是時間t的函數(shù)。所以，微分方程是對系統(tǒng)特性時間域的描述方法。傳遞函數(shù)是以復變量為自變量的。復變量s為

式中和都是實數(shù)，成為角頻率。所以，復變量又稱為復頻率。傳遞函數(shù)是復變函數(shù)，因而具有復變函數(shù)的各種性質。

控制系統(tǒng)的輸出為

(2.12)

圖２．５傳遞函數(shù)從圖2.5和式（2.12）可以看出，輸入信號

是經(jīng)過

”傳遞”到輸出端的，所以稱

為傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)實現(xiàn)了時間域的微分方程到復頻率域的轉換，把復雜的微分方程問題轉化為較簡單的關于的代數(shù)問題，因而，在經(jīng)典控制理論中許多研究分析方法和重要結論都是以傳遞函數(shù)為基礎的。這是一個十分重要的概念。

傳遞函數(shù)規(guī)范的表示方法一般有3種：

（1）標準定義形式

(2.13)在實際的物理系統(tǒng)中，由于能源有限、系統(tǒng)存在慣性等原因，總存在

(2.14)所以，（2.13）式是一個關于

的真有理分式。

（2）典型環(huán)節(jié)形式

(2.15)（3）零極點形式

把（2.13）式的分母多項式和分子多項式進行因式分解后可得到：

(2.16)式中是分子多項式等于零所組成的方程的根,稱為系統(tǒng)的零點多傳遞函數(shù)的零點。是分母多項式等于零時所組成的方程（稱為系統(tǒng)的特征方程或傳遞函數(shù)的特征方程）的根，也稱為系統(tǒng)的極點或傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的零極點對系統(tǒng)的性能有很大影響。K稱為放大系數(shù)或根軌跡增益。

傳遞函數(shù)包含了與微分方程相同的信息，它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，是控制系統(tǒng)復頻率域的一種數(shù)學描述。傳遞函數(shù)表示的是系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，與輸入信號及相應的輸出信號的形式無關。

傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。二個變量間具有線性關系且在零初始條件下，才能求取其傳遞函數(shù)，對于非零初始條件，傳遞函數(shù)并不能完全描述系統(tǒng)的特性。

求取控制系統(tǒng)或系統(tǒng)部件的傳遞函數(shù)的方法有兩種。一種是解析法，即通過建立系統(tǒng)的微分方程，按定義求取傳遞函數(shù)。另一種方法是實驗法，即通過被研究的對象對輸入信號的輸出響應，求取其傳遞函數(shù)。

下面是用解析法求傳遞函數(shù)的例子。

例5

圖2.6是一個機械轉動系統(tǒng)，求其在外力矩M的作用下，軸的角位移。

解根據(jù)機械運動的力矩方程和牛頓定律

(2.17)在零初始條件下對式（2.17）兩邊求取拉普拉斯變換根據(jù)傳遞函數(shù)的定義寫成典型環(huán)節(jié)形式

(2.18)式中T=J/f,K=1/f。

圖2.6機械轉動系統(tǒng)例6

求熱電偶溫度計的傳遞函數(shù)。

解

圖2.7是用熱電偶測量流體溫度的示意圖。設被測介質溫度為，熱電偶輸出電勢為E，熱電偶溫度為,R為被測介質與熱電偶間的放熱熱阻,C為熱電偶的熱容量，為熱電偶的比例系數(shù)。

熱電偶的熱電勢為被測介質流向熱電偶的熱流量熱電偶接點溫度可以得到微分方程

(2.19)按傳遞函數(shù)的定義寫成規(guī)范形式

(2.20)式中，T=RC，稱為熱電偶的時間常數(shù)，為熱電偶的放大系數(shù)。

圖2.7熱電偶例7

求圖2.8所示的RLC電路電流與輸入電壓u之間的傳遞函數(shù)。

解

根據(jù)電路元件的特性及電路定理得上式可變?yōu)檎砗蟮玫揭噪娏鱥為輸出量以u為輸入量的微分方程

(2.21)對（2.21）式按定義求取傳遞函數(shù)寫成規(guī)范形式

(2.22)式中：

,為電路的時間常數(shù);

K=C,為放大系數(shù)。

在求取線性電路得傳遞函數(shù)時，應用“復阻抗”法，有時會更簡便一些。若線性電路的電壓與電流都用拉普拉斯變換式表示，則它們之間的關系為

(2.23)式中Z(s）稱為電路的復阻抗。對不同的電路元件，有不同的復阻抗。電阻的復阻抗為電感的復阻抗為式中L為電路的電感。電容的復阻抗為式中C為電容量。在應用了復阻抗概念后，可以把電路按線性電阻電路的方法求解，直接得到點路的傳遞函數(shù)。

圖2.8RLC電路例8

對例7的RLC電路應用復阻抗法，求傳遞函數(shù)。

解

例9

電路如圖2.9所示，求在作用下的傳遞函數(shù)。

電路的復阻抗為電路電流為電路的輸出電壓電路的傳遞函數(shù)

圖2.9RC電路式中，是電路的時間常數(shù)。

從以上兩個例子可以看出，應用復阻抗法，避免可電感、電容電路中的微分積分運算，使解決問題的方法變得簡便多了。2.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)2.3控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)

自動控制系統(tǒng)是由不同功能的元件構成的。從物理結構上看，控制系統(tǒng)的類型很多，相互之間差別很大，似乎沒有共同之處。在對控制系統(tǒng)進行分析研究時，我們更強調系統(tǒng)的動態(tài)特性。具有相同動態(tài)特性或者說具有相同傳遞函數(shù)的所有不同物理結構，不同工作原理的元器件，我們都認為是同一環(huán)節(jié)。所以，環(huán)節(jié)是按動態(tài)特性對控制系統(tǒng)各部分進行分類的。應用環(huán)節(jié)的概念，從物理結構上千差萬別的控制系統(tǒng)中，我們就發(fā)現(xiàn)，他們都是有為數(shù)不多的某些環(huán)節(jié)組成的。這些環(huán)節(jié)成為典型環(huán)節(jié)或基本環(huán)節(jié)。經(jīng)典控制理論中，常見的典型環(huán)節(jié)有以下六種。

2.3.1

比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)是最常見、最簡單的一種環(huán)節(jié)。

比例環(huán)節(jié)的輸出變量y(t)與輸入變量x(t)之間滿足下列關系

(2.24)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2.25)式中K為放大系數(shù)或增益。杠桿、齒輪變速器、電子放大器等在一定條件下都可以看作比例環(huán)節(jié)。

例10圖2.10是一個集成運算放大電路，輸入電壓為，輸出電壓為，為輸入電阻，為反饋電阻。我們現(xiàn)在求取這個電路的傳遞函數(shù)。解

從電子線路的知識我們知道這是一個比例環(huán)節(jié)，其輸入電壓與輸出電壓的關系是

(2.26)按傳遞函數(shù)的定義，可以得到

(2.27)式中，可見這是一個比例環(huán)節(jié)。如果我們給比例環(huán)節(jié)輸入一個階躍信號，他的輸出同樣也是一個階躍信號。階躍信號是這樣一種函數(shù)

(2.28)

式中為常量。當時，稱階躍信號為單位階躍信號。階躍輸入下比例環(huán)節(jié)的輸出如圖2.11所示。比例環(huán)節(jié)將原信號放大了K倍。

圖2.10

比例器

圖2.11比例環(huán)節(jié)的階躍響應

（a）階躍輸入；（b）階躍輸出2.3.2

慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的輸入變量X(t)與輸出變量Y(t)之間的關系用下面的一階微分方程描述

(2.29)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2.30)式中，T稱為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，K稱為慣性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。

慣性環(huán)節(jié)是具有代表性的一類環(huán)節(jié)。許多實際的被控對象或控制元件，都可以表示成或近似表示成慣性環(huán)節(jié)。如我們前面舉過的液位系統(tǒng)、熱力系統(tǒng)、熱電偶等例子，它們的傳遞函數(shù)都具有（2.30）式的形式。都屬慣性環(huán)節(jié)。

當慣性環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)是，其輸出y(t)如圖2.12所示。

圖2.12慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應

(a)輸入函數(shù)；(b)慣性環(huán)節(jié)的輸出從圖2.12中可以看出，慣性環(huán)節(jié)的輸出一開始并不與輸入同步按比例變化，直到過渡過程結束,y(t)才能與x(t)保持比例。這就是慣性地反映。慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)就是慣性大小的量度。凡是具有慣性環(huán)節(jié)特性的實際系統(tǒng)，都具有一個存儲元件或稱容量元件，進行物質或能量的存儲。如電容、熱容等。由于系統(tǒng)的阻力，流入或流出存儲元件的物質或能量不可能為無窮大，存儲量的變化必須經(jīng)過一段時間才能完成，這就是慣性存在的原因。

2.3.3

微分環(huán)節(jié)

理想的微分環(huán)節(jié)，輸入變量x(t)與輸出變量y(t)只見滿足下面的關系

(2.31）理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2.32)式中為微分時間常數(shù)。

微分環(huán)節(jié)反映了輸入的微分，既反映了輸入x(t)的變化趨勢。它具有“超前”感知輸入變量變化的作用，所以常用來改善控制系統(tǒng)的特性。

例11

圖2.13式是由運算放大器構成的微分電路原理圖，我們現(xiàn)在來推導它的傳遞函數(shù)。

解本節(jié)例1中的比例放大器，如把輸入電阻和反饋電阻用復阻抗代替，可以得到該類型運算放大電路的傳遞函數(shù)

(2.33)式中為反饋電路復阻抗，為輸入電路復阻抗。將各元件復阻抗代入（2.33）式令，則有

(2.34)這是一個微分環(huán)節(jié)，所以圖2.13所示的電路稱為微分器。

由于電路元器件都具有一定的慣性，實際的微分環(huán)節(jié)是帶有慣性環(huán)節(jié)的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(2.35)式中、為時間常數(shù)。

圖2.13微分器

2.3.4

積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的輸出變量y(t)是輸入變量x(t)的積分，即

(2.36)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2.37)式中K為放大系數(shù)。

例12

圖2.14是一個氣體貯罐。我們現(xiàn)在來分析一下流入貯罐的氣體流量與貯罐內氣體壓力的關系。

解

設氣體流量為Q，貯罐內氣體壓力為P，氣罐容積為V,R為氣體常數(shù)，T為氣體的絕對溫度，則有

(2.38)其傳遞函數(shù)為

(2.39)式中。

圖2.14

氣體貯罐2.3.5振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的輸出變量y(t)與輸入變量x(t)的關系由下列二階微分方程描述。

(2.40)按傳遞函數(shù)的定義可以求出式2.40所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

（2.41）上兩式中，稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率，稱為阻尼系數(shù)或阻尼比。式（2.40）是振蕩環(huán)節(jié)的標準形式，許多用二階微分方程描述的系統(tǒng)，都可以化為這種標準形式。

本章中2.1節(jié)中的例1是機械運動系統(tǒng)，例2是直流電動機。2.2節(jié)中的例7RLC電路都是振蕩環(huán)節(jié)的例子。

例13

把2.2節(jié)的例7RLC電路的傳遞函數(shù)化為標準形式。

解

已知上式可以寫為

(2.42)式中,，K為放大系數(shù)。

振蕩環(huán)節(jié)在阻尼比的值處于區(qū)間時，對單位階躍輸入函數(shù)的輸出曲線如圖2.15所示。這是一條振幅衰減的振蕩過程曲線。

振蕩環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)一樣，是一種具有代表性的環(huán)節(jié)。很多被控對象或控制裝置都具有這種環(huán)節(jié)所表示的特性。

圖2.15振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應2.3.6

延時環(huán)節(jié)（滯后環(huán)節(jié)）

延時環(huán)節(jié)的輸出變量y(t）與輸入變量x(t)之間的關系為

(2.43)延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2.44)式中為延遲時間。

圖2.16表示了延時環(huán)節(jié)輸入與輸出的關系：

圖2.16

延時環(huán)節(jié)的輸入與輸出信號通過延時環(huán)節(jié)，不改變其性質，僅僅在發(fā)生時間上延遲了時間。在熱工過程、化工過程和能源動力設備中，工質、燃料、物料從傳輸管道進口到出口之間，就可以用延時環(huán)節(jié)表示。

延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是關于s的無理函數(shù)，在分析計算中非常不便。所以常用有理函數(shù)對其進行近似。一種近似方法是將其表示為

(2.45)式中n1,n越大，精度越高，但計算也越復雜，一般取n>4即可得到較滿意的結果。另一種方法是把指數(shù)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)略去高次項后可得到

(2.46)或

(2.47)這種方法在輸入變量變化較緩時比較適用，如果輸入中含有變化迅速的成分（如階躍函數(shù)），精度就比較差。

以上我們介紹了6種典型環(huán)節(jié)?？刂葡到y(tǒng)的大多數(shù)環(huán)節(jié)，都可以用這6種典型環(huán)節(jié)表示。實際上的控制系統(tǒng)，就是典型環(huán)節(jié)按一定的方法組合而成的。我們將在下一節(jié)討論環(huán)節(jié)的組合方法。5.2被控對象的動態(tài)特性過程控制中應用最多的，也是最基本的控制系統(tǒng)如圖5.1所示。

圖5.1過程控制系統(tǒng)結構圖圖中，是控制器的傳遞函數(shù)，是執(zhí)行機構的傳遞函數(shù)，是測量變送器的傳遞函數(shù)，是被控對象的傳遞函數(shù)。圖5.1中，控制器，執(zhí)行機構、測量變送器都屬于自動化儀表，他們都是圍繞被控對象工作的。也就是說，一個過程控制的控制系統(tǒng)，是圍繞被控現(xiàn)象而組成的，被控對象是控制系統(tǒng)的主體。因此，對被控對象的動態(tài)特性進行深入了解是過程控制的一個重要任務。只有深入了解被控對象的動態(tài)特性，了解他的內在規(guī)律，了解被控辯量在各種擾動下變化的情況，才能根據(jù)生產工藝的要求，為控制系統(tǒng)制定一個合理的動態(tài)性能指標，為控制系統(tǒng)的設計提供一個標準。性能指標頂?shù)钠停赡軙Ξa品的質量、產量造成影響。性能指標頂?shù)倪^高，可能會成不必要的投資和運行費用，甚至會影響到設備的壽命。性能指標確定后，設計出合理的控制方案，也離不開對被控動態(tài)特性的了解。不顧被控對象的特點，盲目進行設計，往往會導致設計的失敗。尤其是一些復雜控制方案的設計，不清楚被控對象的特點根本就無法進行設計。有了正確的控制方案，控制系統(tǒng)中控制器，測量變送器、執(zhí)行器等儀表的選擇，必須已被控對象的特性為依據(jù)。在控制系統(tǒng)組成后，合適的控制參數(shù)的確定及控制系統(tǒng)的調整，也完全依賴與對被控對象動態(tài)特性的了解。由此可見，在控制工程中，了解被控制的對象是必須首先做好的一項工作。過程控制的被控對象設計的范圍很廣。被控對象不一定是指一個具體的設備，不少情況下被控對象是指一個過程。有些過程可能涉及好幾種設備，而在有些設備內部可能包括了幾個過程。過程控制被控對象的內在機理較為復雜，由簡單過程，又存在嚴重非線性的過程，有多變量過程，有些被控對象的特性隨時間或工作條件而變化。對被控對象動態(tài)特性的了解，一種方法是通過分析被控對象的工作機理，建立被控對象的數(shù)學模型。但由于連續(xù)生產過程的復雜性，完全從機理上揭示其內在規(guī)律，獲得精確的數(shù)學模型還有較大的困難。另一種方法是工程上經(jīng)常使用的方法，它采用實驗法來獲得被控對象的數(shù)學模型。這種方法通過測量被控對象的階躍相應曲線（稱為飛升曲線），近似確定被控對象的數(shù)學模型，研究被控對象的動態(tài)特性。過程控制中大多數(shù)被控對象都具有較大的慣性和時間延遲，一般不具有振蕩特性，其飛升曲線是單調變化的。按照被控對象所含存貯元件的多少，被控對象可分為單容對象、雙容對象和多容對象。按照被控變量受擾動后的變化規(guī)律，被控對象可分為有自平衡能力的對象和無自平衡能力的對象。5.2.2單容對象

單容對象是指只含有一個存貯元件的被控對象。

1.

有自平衡能力的單容元件

如果被控對象在擾動作用下偏離了原來的平衡狀態(tài)，在沒有外部干預的情況下（指沒有自動控制或人工控制參與），被控變量依靠被控對象內部的反饋機理，能自發(fā)達到新的平衡狀態(tài)，我們稱這類對象是有自平衡能力的被控對象。

具有自平衡能力的單容對象的傳遞函數(shù)為

(5.1)這是個一階慣性環(huán)節(jié)。描述這類對象的參數(shù)是時間常數(shù)T和放大系數(shù)K。

圖5.2單容水箱圖5.2是單容水箱的示意圖。我們已經(jīng)推導過水箱的傳遞函數(shù)為

其中T=RC，C為水箱的橫截面積，R為輸出管道閥門的阻力。T稱為水箱的時間常數(shù)。K稱為水箱的放大系數(shù)。一階系統(tǒng)的特性我們已經(jīng)在時域分析中進行了詳細的討論，所有結論都適用于單容對象。作為過程控制的被控對象，單容對象的時間常數(shù)比較大。

2.

無自平衡能力的單容對象

圖5.3單容積分水箱圖5-3也是一個單容水箱。不同的是水箱的出口側安裝了一臺水泵，這樣一來，水箱的流出水量就與水位無關，而是保持不變，即流出量的變化量。在靜態(tài)下，流入水箱的流量與水泵的排水量相同都為Q，水箱的水位H保持不變。在流入量有一個增量時，靜態(tài)平衡被破壞，但流出量并不變化，水箱的水位變化規(guī)律為式中C為水箱的橫截面積。對上式兩端求取拉普拉斯變換，可得水箱的傳遞函數(shù)：

(5.2)這是一個積分環(huán)節(jié)。它的單位階躍響應為

圖5.4兩種水箱變化的比較

（a）單容積分水箱（b）有自平衡能力的單容水箱圖5—4（a）是水位變化的曲線。為了比較，我們把具有慣性環(huán)節(jié)特性的水箱在單位階躍輸入下的水位響應曲線也畫出來，如圖5—4（b）所示。很明顯，具有慣性環(huán)節(jié)特性的單容水箱，在輸入作用下，水位經(jīng)過一個動態(tài)過程后，可以重新達到一個新的穩(wěn)定狀態(tài)。而具有積分環(huán)節(jié)的水箱在受到同樣的擾動之后，水位則無限地上升，永遠不會達到一個新的穩(wěn)定狀態(tài)。我們稱這種水箱為單容水箱。具有積分環(huán)節(jié)特性的單容對象的傳遞函數(shù)可以表示為

(5.3)式中稱為飛升速度。其單位階躍響應為

(5.4)這是一條直線方程，如圖5—4（a）所示。是直線的斜率。式（5-4）說明，當被控對象原來的平衡狀態(tài)被擾動作用破壞后，如果不依靠自動控制或人工控制的外來作用，被控變量將一直變化下去，不可能達到新的平衡狀態(tài)。我們稱這類對象為無自平衡能力的對象。3單容對象的特性參數(shù)被控對象有無自平衡能力，是被控對象本身固有的特性。圖5—5給出了兩類水箱的方框圖。圖5-5（a）是有自平衡能力的單容水箱，從方框圖中可以看出，水箱的水位既與流入量有關，也受流出量的制約，在被控對象內部形成了一個負反饋機制。當流入量增大時，將引起水位的上升。水位上升的結果，流出量就會增加。流出量的增大又限制了水位的進一步上升。經(jīng)過一個動態(tài)過程后，總能重新找到一個平衡點，使流入量與流出量相等，水位不再變化。圖5-5（b）是無自平衡能力的單容水箱，在其內部不存在負反饋機制，水位只與流量有關。具有自平衡能力的被控對象，本身對擾動有一定的克服能力，控制性能較好。而無自平衡能力的被控對象，其傳遞函數(shù)的極點位于虛軸上，是不穩(wěn)定的。被控變量若要按要求的規(guī)律變化，必須完全依賴于對象外部的控制系統(tǒng)。

圖5.5兩種類型的單容水箱

（a）有自平衡能力（b）無自平衡能力我們曾經(jīng)提到，一階系統(tǒng)是含有一個存貯元件的系統(tǒng)。本節(jié)中我們看到，有自平衡能力無自平衡能力的對象都含有存貯元件，為什么表現(xiàn)出不同的特性呢？上面，我們就其內部機理進行分析?，F(xiàn)在我們來看表征其特性的參數(shù)的異同描述存貯元件存貯能力的參數(shù)稱為對象的容量系數(shù)。容量系數(shù)可定義為

C=被控對象儲存的物質或能量的變化量/輸出的變化量容量系數(shù)對不同的被控對象有不同的物理意義，如水箱的橫截面積，電容器的電容量。熱力系統(tǒng)得熱容量等。在我們推導系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時，經(jīng)常遇到T稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，它是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)慣性大小的量度。式中的R稱為阻力系數(shù)。如電路的電阻，流體流動的液阻，傳熱過程的熱阻等。被控對象的容量系數(shù)，表示了被控對象抵抗擾動的能力，如水箱的橫截面積大，同樣流入量下，水位上升得就慢。電路的電容量大，在同樣充電電流下，電壓上升得就慢。慣性環(huán)節(jié)的慣性，其根本原因就是因為它具有存貯能力。但這并不是決定慣性大小的唯一因素。還有另一個因素就是阻力系數(shù)。阻力系數(shù)是對流入存貯元件凈流入量的制約。在R-C充電電路里，它限制了流入電容器的電流，在單容水箱中，它限制了水箱的凈進水量。慣性環(huán)節(jié)因為其具備了自平衡能力，在其動態(tài)參數(shù)上，用時間常數(shù)來表示，而單容積分環(huán)節(jié)則不存在阻力系數(shù)，只用容量系數(shù)就可以表征其特性。描述有自平衡能力單容被控對象的參數(shù)有兩個：放大系數(shù)K和時間常數(shù)T，稱為被控對象的特性參數(shù)。放大系數(shù)K表示輸入信號通過被控對象后穩(wěn)態(tài)輸出是輸入的K倍。對于同樣的輸入信號，放大系數(shù)大，對應的輸出信號就大。K表示了被控對象的穩(wěn)態(tài)放大能力，是被控對象的穩(wěn)態(tài)參數(shù)。T是描述被控對象慣性大小的參數(shù)，時間常數(shù)T越大，被控對象在輸入作用下的輸出變化得越慢。T是單容被控對象的動態(tài)參數(shù)。無自平衡能力的被控對象在輸入作用下不會達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，描述其性能的參數(shù)只有一個動態(tài)參數(shù)：飛升速度。5.2.3

雙容對象和多容對象

雙容對象是指含有兩個存貯元件的被控對象。有自平衡能力的雙容對象，若兩個存貯元件之間無負載效應，則可以認為是兩個單容對象的串聯(lián)，其傳遞函數(shù)為

(5.5)式中是被控對象兩個部分的時間常數(shù)，K為被控對象的放大系數(shù)。若兩個存貯元件之間有關聯(lián)，則傳遞函數(shù)為

(5.6)式中是表示存貯元件關聯(lián)關系的時間常數(shù)。

含有兩個以上存貯元件的被控對象稱為多容對象。有自平衡能力的多容對象的傳遞函數(shù)一般有以下幾種

(5.7)

(5.8)

圖5.6多容對象的階躍響應圖5.6是多容對象的階躍響應曲線。其中，n=1是單容對象的階躍響應曲線。從圖中可以看出，從開始的階躍響應曲線與n=1的曲線有明顯不同的特點。當t=0時，單容對象階躍響應曲線的切線斜率最大，以后隨時間增大逐漸減小到零。曲線在動態(tài)的初始階段變化最快，以后逐漸變慢。雙容對象和多容對象在t=0時，階躍響應曲線的斜率則是零，隨時間變化，斜率逐漸變大，達到某一個最大值時，又開始逐漸減小，直到減小到零。曲線在斜率最大處有一個拐點。雙容對象和多容對象在動態(tài)過程的初始階段變化非常緩慢，在動態(tài)過程的中間階段變化較快，但其變化速度仍不及單容對象，且容量元件越多，變化速度越慢。所以，多容對象表現(xiàn)出的特點就是慣性大，響應慢。無自平衡能力的多容對象的傳遞函數(shù)一般具有如下幾種形式

(5.9)

(5.10)式中稱為被控對象的積分時間常數(shù)。5.2.4

多容對象傳遞函數(shù)的近似

建立過程控制被控對象的數(shù)學模型是一件困難的工作?？刂乒こ讨谐８鶕?jù)被控對象的實驗曲線來近似擬合被控對象的傳遞函數(shù)。

過程控制中階躍輸入下被控對象典型的響應曲線如圖5.7所示。

圖5.7多容對象的階躍響應

（a）有自平衡能力的多容對象（b）無自平衡能力的多容對象圖5.7（a)所顯示的多容對象的傳遞函數(shù)，常常被近似為一階慣性環(huán)節(jié)與延時環(huán)節(jié)的形式

(5.11)式（5.11）表示的被控對象是3個參數(shù)，時間常數(shù)T,放大系數(shù)K和容量延遲,可以通過做圖法在實驗曲線上求得。圖5.8是求取被控對象特性參數(shù)作圖方法的示意圖。被控對象階躍響應曲線的拐點D處，曲線斜率最大。在D點做曲線的切線，交時間軸于B點，與表示階躍響應的穩(wěn)態(tài)值得水平線交于A點。原點到B點的距離即為容量延遲時間，直線段BA在時間軸上的投影BC即為一階慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T。放大系數(shù)K則可以通過輸出的穩(wěn)態(tài)值與輸入階躍函數(shù)之比求得。式中的并不代表真正的時間延遲，它是對多容對象在動態(tài)初始階段緩慢變化的一種近似，稱為容量延遲時間。如果多容對象的階躍響應曲線本身就具有純時間延遲，如圖5.9所示，總的延遲時間為

(5.12)式（5.11）就變?yōu)?/p>

(5.13)

圖5.8多容對象的近似

圖5.9具有純時間延遲的階躍響應

圖5.10無自平衡能力多容對象的近似對于圖5.7（b）所示的無自平衡能力的多容對象，也可以采用類似的方法求取。圖5.10是求取被控對象特性參數(shù)的示意圖。做階躍響應曲線的漸近線，于時間軸交于A點。漸近線與時間軸的交角為。從原點到A點的距離即為被控對象的容量延遲時間，而，被控對象的傳遞函數(shù)可以表示為

(5.14)在過程控制中，得到被控對象的數(shù)學模型，準確了解被控對象的動態(tài)特性，與其他類型的工業(yè)控制相比，始終是一個難點：一方面研究動態(tài)特性需要精確的數(shù)學模型；另一方面連續(xù)生產過程被控對象的復雜性又難以完全從機理上揭示其內在規(guī)律。近年來適應這種情況的一些新的控制方法逐漸在過程控制中獲得了應用，如模糊邏輯控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制等。

例1

某加熱爐燃料量從2.5t/h階躍增加到2.89t/h，爐出口煙氣溫度的變化曲線如圖5.11所示。試求加熱爐的傳遞函數(shù)（設加熱爐是一階環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)串聯(lián)）。

解

在曲線開始變化處作實驗曲線的切線。根據(jù)曲線可以確定加熱爐的穩(wěn)態(tài)值為

階躍函數(shù)幅值

從圖上測得純延遲時間為

因為對象為單容對象，從切線與穩(wěn)態(tài)值交點對應的時間可計算出時間常數(shù)T

對象的放大系數(shù)為

由以上可得加熱爐的傳遞函數(shù)為

圖5.11加熱爐的試驗曲線

5.3過程控制的基本控制規(guī)律與控制器在反饋控制系統(tǒng)中控制器的作用就是接受由給定值和反饋信號之間形成的偏差信號,按一定的控制規(guī)律產生控制信號。圖5.12表明了控制器的作用。

當控制方案確定后，控制器的作用起著決定作用。控制系統(tǒng)的動態(tài)品質和穩(wěn)態(tài)精度能否滿足要求，取決于能否正確地選擇控制器的控制規(guī)律及確定控制器的控制參數(shù)。

圖5.12控制器的作用5.3.1

基本控制規(guī)律過程控制的基本規(guī)律有4種：位式控制、比例控制、積分控制和微分控制。

1.位式控制

位式控制又稱為開關控制，是最簡單的一種控制方式。圖5.13是位式控制的特性。位式控制的輸出只有2個值，不是最大，就是最小。對應的控制機構不是開就是關。按圖5.13所示的特性，位式控制器是不能工作的。當偏差e(t)在零附近波動時，會引起執(zhí)行機構的頻繁動作，容易造成運動部件的損壞，而執(zhí)行機構的輸出（稱之為操作量）反復高頻率地變化也無必要。實際應用的位式控制器特性如圖5.14所示?？刂破髟谄钶^小時有一個中間不靈敏區(qū)，使開和關的轉換不在偏差的同一值上，避免了執(zhí)行機構開關的頻繁程度。位式控制易于實現(xiàn)，控制器結構簡單，在控制過程中，主要用于設備的啟或停，不重要的設備控制等。位式控制不是連續(xù)控制，在控制品質要求較高的連續(xù)信號控制的場合不使用這種控制方式。從這個意義上講，位式控制和下面介紹的3種基本控制規(guī)律是有區(qū)別的。

圖5.13位式控制特性

圖5.14改進的位式控制特性2.比例控制

比例控制作用為

(5.15)傳遞函數(shù)為

(5.16)式中稱為比例放大系數(shù)。比例控制簡稱P控制(Proportional).

比例控制的單位階躍響應如圖5.15所示。

圖5.15比例控制的階躍反映比例控制的輸出與輸入是同步變化的，沒有慣性和時間上的延遲。響應快，與輸入成比例的變化，只是比例控制最突出的優(yōu)點，正是由于這一特點，使比例控制成為一種最重要的基本控制規(guī)律。所有的工業(yè)控制器都包含有比例控制，比例控制也可以單獨構成控制器。式（5.15）中的,都是指控制量，偏差的變化量，即在原有穩(wěn)態(tài)基礎上的增量，當=0時，控制器的輸出實際上是，即工作點的值，而不是沒有輸出。比例放大系數(shù)是比例控制唯一的特性參數(shù)，他表示了比例作用的強弱。實際上工業(yè)控制器比不使用，而是采用另一個代表比例作用強弱的參數(shù)：比例帶（或稱比例度）

。對于標準化的控制器

(5.17)比例控制規(guī)律為

(5.18)比例帶的意義是，若要變化是執(zhí)行機構如流量調節(jié)開度改變100%，被空變量變化的范圍。實際中常用被控變量儀表的量程的百分數(shù)來表示比例帶。例如，溫度測量儀表的量程為。若要使被控變量有的控制范圍，則比例帶。也就是說，若被控變量偏離工作點的范圍在之間，流量調節(jié)閥則可以從全關到全開按比例對溫度進行控制，被控變量一旦超出的范圍，控制器的輸入與輸出就不再保持比例關系。

比例控制規(guī)律還有另外一個顯著規(guī)律就是有差控制。這是因為控制器的輸出與輸入之間是一一對應的關系。要是控制器有輸出，偏差就不能為零。比例控制的余差大小與比例代的大小有關。比例帶大（即比例放大系數(shù)?。８鶕?jù)關系式

若獲得相同的控制作用，就必須大，因而余差也大。比例帶?。创螅?，余差就小?？梢酝ㄟ^增大比例放大系數(shù)的辦法（即減小比例帶）減小余差。但若一味的增大，就意味著加大執(zhí)行機構的動作幅度，引起被控變量的較大波動。當比例放大系數(shù)增大到某一個值時，系統(tǒng)就會出現(xiàn)等幅震蕩，我們這個值為臨界比例放大系數(shù)或臨界比例帶。此時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。若繼續(xù)加大(減?。到y(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果比例放大系數(shù)太?。ū壤龓螅?，比例控制的作用就弱，被控變量較緩，且會造成較大的余差。圖5.16給出了比例帶對動態(tài)過程的影響情況。從圖中看出，只有選擇適中的比例帶（即比例放大系數(shù)），才能獲得較滿意的動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)精度。

圖5.16比例度對動態(tài)過程的影響3.積分控制

積分控制作用為

(5.19)式中為積分時間常數(shù)。積分控制簡稱I控制（Integral）.

積分控制的傳遞函數(shù)為

(5.20)在單位階躍輸入下，積分控制的輸出為

(5.21)

圖5.17積分控制的階躍響應圖5.17是積分控制的階躍響應曲

積分控制與比例控制不同，積分控制作用的輸出不僅與輸入的偏差信號的大小有關，而且還與偏差作用的時間長短有關。即使偏差信號很小，只要作用的時間長，輸出仍可能較大。

對式（5.19）求導，可得到

(5.22)可以看出，積分控制輸出的變化率與偏差成比例。只要偏差不為零，積分控制的輸出就不會停止變化。只有當偏差為零時，積分控制的輸出才會停止變化，所以，在控制系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)后，積分控制作用下的穩(wěn)態(tài)誤差總是等于零。積分控制有消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，這是積分控制最顯著的優(yōu)點。在控制系統(tǒng)中采用積分控制目的，就是為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。

式（5.19）表明,積分控制的輸出是偏差累積的結果。某一時刻積分控制的

值,不僅與該時刻的偏差有關，還與該時刻前所有的偏差有關。這就是說,積分控制的輸出不可能快速跟隨當前的瞬時偏差變化,信號總是落后于偏差信號。由于這一原因,在使用積分控制時經(jīng)常會遇到這種情況,偏差已經(jīng)在減小，但積分控制的輸出還很大，仍然按偏差變化的相反方向向執(zhí)行機構發(fā)出控制信號,造成控制過頭，引起被控變量波動大，不易穩(wěn)定，控制過程廠。加入積分控制，會使系統(tǒng)動態(tài)過程變慢,穩(wěn)定性變差，只是積分控制的一個特點。鑒于此種現(xiàn)象，一般不單獨應用積分控制規(guī)律構成控制器。

積分控制的強弱可以通過積分時間常數(shù)

來調整。

越小,積分控制作用就越強。太小，會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定,出現(xiàn)發(fā)散振蕩。越大,積分控制作用就越弱。圖5.18是同一被控對象分別應用比例控制和積分控制，按相同的衰減率調整的動態(tài)過程曲線。從圖中可以看出，比例控制超調小,變化平穩(wěn),調節(jié)時間短，但有穩(wěn)態(tài)誤差。積分控制振蕩強烈，超調大,調節(jié)時間長,但最終穩(wěn)態(tài)誤差為零。

圖5.18積分控制與比例控制的比較4.

微分控制微分控制規(guī)律的輸出與輸入的關系為

(5.23)微分控制作用的傳遞函數(shù)為

(5.24)式中稱為微分時間常數(shù)，簡稱微分時間。微分時間又稱為D控制（Derivative)。

微分控制的輸出，反映了偏差變化的速度。這可以使偏差只有變化傾向而未產生實際的變化時就產生控制作用，阻止被控變量進一步的變化，加快控制系統(tǒng)的響應。微分控制的這種特性可以稱為“超前控制”。這種控制作用特別適合于慣性較大的被控對象。

微分控制作用的強弱，可以通過微分時間常數(shù)來調整。

微分控制對于恒定不變的偏差沒有控制作用。對于變化緩慢的偏差，也不會產生有效的控制作用。所以，微分控制作用不單獨作用。

式（5.23)所表示的微分控制規(guī)律在物理上是不能實現(xiàn)的，稱為理想的微分控制。實際的微分控制作用是帶有慣性環(huán)節(jié)的微分控制，其傳遞函數(shù)為

(5.25)式中稱為微分放大系數(shù)。5.3.2

控制器的控制規(guī)律

控制器的控制規(guī)律是比例規(guī)律、積分規(guī)律、微分規(guī)律3種基本控制作用組合而成的。按照這3種基本控制規(guī)律進行控制，在過程控制中習慣稱為PID控制。

1.

比例微分（PD)控制器

比例微分（PD)控制器的控制規(guī)律是

(5.26)比例微分控制器的傳遞函數(shù)為

(5.27)式中為PD控制器的放大系數(shù)，為微分時間常數(shù)。式（5.26）說明，PD控制器的輸出是比例控制作用的輸出與微分控制作用的輸出之和。

PD控制器有2個特性參數(shù)：放大系數(shù)（或比例帶）和微分時間常數(shù)，改變和，可以調整比例作用和微分作用的強弱。比例作用的強弱是由（或）決定的，而微分作用的強弱則由和共同決定。

實際的PD控制器的傳遞函數(shù)為

(5.28)這是帶有慣性環(huán)節(jié)的比例微分控制。它的單位階躍響應為

(5.29)式中。圖5.19是PD控制器的單位階躍響應曲線。

PD控制器和比例控制器一樣，控制都屬于有差控制。PD控制響應快，能增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有超前控制作用，適用于被控對象慣性較大，允許有穩(wěn)態(tài)誤差的場合。

圖5.19PD控制器的單位階躍響應

圖5.20PI控制器的階躍響應3.

比例積分（PI）控制器

PI控制器的控制規(guī)律是

(5.30)PI控制器的傳遞函數(shù)為

(5.31)式中為PI控制器的放大系數(shù)。為積分時間常數(shù)，簡稱積分時間。

PI控制器的單位階躍響應如圖5.20所示。

比例作用相應快，但是有穩(wěn)態(tài)誤差。積分作用響應慢，但可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。兩種基本控制規(guī)律的結合，發(fā)揮了各自的長處，抑制了雙方的缺點。比例控制在控制過程的初期起比較重要的作用。由于PI控制響應較快，又具有消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因而是應用最廣泛的一種控制器。過程控制中遇到的大多數(shù)控制器都是PI控制器。

當PI控制器的輸入由于某種原因長時間存在且方向無改變時，積分器的輸出就會達到最大并進入深度飽和。這時，若偏差發(fā)生反方向的變化，必須要經(jīng)過一段時間，使積分器逐漸從飽和狀態(tài)中退出，才能產生控制作用。這將使控制質量變差。這種現(xiàn)象稱為積分飽和現(xiàn)象。凡具有積分控制作用的控制器，在特定條件下都可能產生積分飽和的現(xiàn)象。防止積分飽和的措施也不止一種，讀者可以參閱有關書籍，做更深入的了解。

在PI控制器中，有兩個特性參數(shù)：（）和。這兩個參數(shù)都是可以調整的。積分時間常數(shù)越小，積分作用越強，積分時間常數(shù)越大，積分作用越弱。當為無窮大時，PI控制器沒有積分作用，成為比例控制器。積分時間常數(shù)對動態(tài)過程的影響是兩方面的。積分作用強，消除余差的能力也強，但同時會使動態(tài)過程振蕩加劇，穩(wěn)定性降低。積分作用弱，則余差消除得慢，調節(jié)時間長。提高穩(wěn)態(tài)精度和改善動態(tài)品質之間是有矛盾的。當選擇合適時，才能兼顧兩方面的要求。對動態(tài)過程的影響見圖5.21。

圖5.21積分時間對動態(tài)過程的影響4.

比例積分微分PID控制器

比例積分微分PID控制器是結合了3種基本控制規(guī)律的控制器。它的控制規(guī)律為

（5.32）PID控制器的傳遞函數(shù)為式中為PID控制器的放大系數(shù)（為比例帶），為積分時間，為微分時間。

在PID控制的輸入為單位階躍信號時，其輸出如圖5.22所示。圖中同時給出了比例、積分、微分3個單獨作用的響應曲線。

圖5.22PID控制器的階躍響應

從圖中可以看出，在階躍輸入下，動態(tài)過程的初始階段，微分作用的輸出很大，產生了一個大幅度的超前控制作用，加快系統(tǒng)的響應速度。微分作用隨后逐漸減小，而積分控制作用則逐步加強，直到穩(wěn)態(tài)誤差完全消失。比例控制作用則始終存在。在PID控制中，比例控制是基本控制作用，而微分和積分則是疊加在比例控制上，在動態(tài)過程進行的不同階段，發(fā)揮不同的作用。動態(tài)過程初期，要求響應要快，這時，發(fā)揮比例控制無時間延遲和微分控制有較大超前控制作用的特點。在動態(tài)過程后期，要求響應精度要高，這時，發(fā)揮比例控制與偏差成比例和積分控制能消除偏差的特點。

由于PID控制器吸收了3種基本控制作用的特點，在被控對象慣性大，容量延遲大，控制精度要求較高的情況下，采用PID控制器往往能收到較好的控制效果。但PID控制器有3個特性參數(shù)，和，合理選擇這3個參數(shù)也并非易事。選擇得不適當，控制效果會受到影響。所以，若采用PI控制或其它控制規(guī)律可以滿足要求，就不必采用PID控制器。

選擇控制器是否合理，對控制品質影響較大。若控制器選擇不當，再精心調整控制器的參數(shù)也不會達到滿意的控制效果。選擇控制器需要考慮被控對象的動態(tài)特性，被控對象負荷的變化大小，主要擾動的影響及對控制品質的要求等。以工業(yè)上常見的被控對象傳遞函數(shù)為例。若傳遞函數(shù)為

可按照延遲時間和常數(shù)T的比值來選擇。這個比值稱為被控對象的可控比。

當時，選比例控制或比例積分控制。

當時，選比例積分或比例積分微分控制。

當時，則必須考慮使用復雜控制系統(tǒng)。

若不能得到被控對象的傳遞函數(shù)，也可根據(jù)被控對象的大致的特性來選擇：

當被控對象慣性大，容量延遲大時，可采用微分控制作用，如PD,PID。

當被控對象慣性不大或不太大，負荷變化也不大時，可采用P或PI控制。

當被控對象慣性很大或容量延遲很大時，應設計復雜控制系統(tǒng)。5.3.3

工業(yè)控制器

工業(yè)控制器是指成為系列化、標準化產品的控制器。它是自動化儀表的一個品種類型。當前過程控制的主要任務是維持生產的穩(wěn)定，所以很多控制系統(tǒng)都是為保持某些參數(shù)的恒定而設計的。這種控制系統(tǒng)稱為恒值系統(tǒng)，而在過程控制中常稱為調節(jié)系統(tǒng)。因此，調節(jié)系統(tǒng)中使用的控制器也習慣上稱為調節(jié)器。以比例、積分、微分3種基本控制作用組合而成的控制器，都稱為調節(jié)器。

控制器按使用的能源來分，可分為自力式控制器和間接作用控制器。自力式控制器不需要外加能源，而是利用被控介質的能源，而是利用被控介質的能源，其結構簡單、適用于要求不太高的控制。例如常見的浮子杠桿式水位控制器就屬于這一類。間接作用控制器需要外加能源。根據(jù)所加能源的不同，分為電動式、氣動式、液動式等?？刂破靼词褂玫哪茉磥矸?，可分為自力式控制器和間接作用控制器。自力式控制器不需要外加能源，而是利用被控介質的能源，其結構簡單、適用于要求不太高的控制。例如常見的浮子杠桿式水位控制就屬于這一類。間接作用控制器需要外加能源。根據(jù)所加能源的不同，分為電動式、氣動式、液動式等。自動化儀表在其發(fā)展過程中，逐步標準化、系列化，出現(xiàn)了單元組合儀表。電動式單元組合儀表是應用最廣泛的自動化儀表。所謂單元式，就是把自動化儀表按功能分成若干獨立單元，獨立構成儀表，各單元之間使用統(tǒng)一的標準信號形式，應用時按要求將不同的單元組合在一起，構成一個完整的控制系統(tǒng)。調節(jié)器、運算器、變送器、執(zhí)行器、記錄儀、顯示器等都是單元組合儀表的一個單元。電動式單元組合儀表的調節(jié)器是電子式調節(jié)器。我國電動單元儀表從20世紀50年代以來，經(jīng)歷了采用電子管的DDZ-I型，采用晶體管分立元件的DDZ-Ⅱ型，采用集成電路的DDZ-Ⅲ型等發(fā)展階段。特別是DDZ-Ⅱ型自動化儀表，在過程控制中得到了廣泛的應用。隨著控制技術，微電子技術、計算機技術、通訊技術的發(fā)展，新型自動化儀表不斷涌現(xiàn)，在結構原理上發(fā)生了根本的變化。新型自動化儀表最顯著的特點是數(shù)字化、智能化。DDZ系列儀表的功能是靠硬件來實現(xiàn)的，因而功能單一，組成控制系統(tǒng)后儀表多、體積大、結構復雜。新型自動化儀表的大多數(shù)功能是由軟件實現(xiàn)的。一臺數(shù)字化、智能化儀表可以具有幾十種功能，一次可以取代幾種，甚至十幾種單元儀表，而其外部尺寸僅相當于一臺單元儀表。數(shù)字化、智能化儀表使控制系統(tǒng)結構簡單，功能多樣，其優(yōu)點是顯而易見的。隨著我國對外開放，先進技術、先進產品不斷引入，自動化儀表的產品技術含量高、產品種類多，而且更新?lián)Q代速度進一步加快。這里我們僅選常見的可編程調節(jié)器等做一簡單介紹。1.

可編程調節(jié)器

可編程調節(jié)器是以微處理器為核心，通過編程實現(xiàn)控制功能的新型控制儀表。

可編程調節(jié)器也有人稱為單回路調節(jié)器。因為相當多的可編程調節(jié)器只能控制一個回路。這個概念現(xiàn)在早已被突破。新型可編程調節(jié)器可以同時控制若干個回路。國內常見的可編程調節(jié)器品種很多。我們以KMM為例，介紹一下可編程調節(jié)器的原理。KMM可編程調節(jié)器是一個系列化產品。KMM可編程調節(jié)器的硬件構成原理見圖5.23。

圖5.23KMM可編程調節(jié)器的硬件構成原理KMM可編程調節(jié)器的核心部件是CPU，通過內部總線與其它部分相連。中央處理器（CPU）由運算器、時鐘發(fā)生器、內部控制其組成。由制造廠編制的系統(tǒng)程序固化在只讀存貯器系統(tǒng)ROM中?？刹量删幋尜A器用戶ROM用來存放用戶編寫的程序。隨機存貯器RAM用來存放運行中的中間數(shù)據(jù)及可修改參數(shù)等。輸入輸出接口（I/O接口）及A/D，D/A轉換用來完成模擬量、數(shù)字量的輸入與輸出。另外，可編程調節(jié)器還可配置通信接口，與上位機進行通信。KMM可編程調節(jié)器的工作特點是:測量變送器送來的模擬信號進入輸入緩沖器，經(jīng)過濾波、多路轉換開關和A/D轉換后變?yōu)閿?shù)字信號，該信號存貯于輸入寄存器中。數(shù)字量輸入信號，則靜輸入緩沖器濾波，整型后直接送入輸入寄存器。CPU按照用戶程序，從系統(tǒng)ROM中讀出各種運算子程序，從用戶ROM和RAM中讀出各種控制數(shù)據(jù)，對輸入信號進行運算。運算結果存入輸出寄存器，再經(jīng)D/A轉換和輸出保持電路，電壓電流轉換，以