4.3用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題（重難點(diǎn)突破）

突破一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)一、實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程】用方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問(wèn)題的答案.【知識(shí)點(diǎn)二、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型】1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.配套問(wèn)題：明確配套數(shù)量關(guān)系3.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量4.銷售方案問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)5.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.6.日歷問(wèn)題：明確日歷行與列間的數(shù)量關(guān)系(一)行程問(wèn)題例1．元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，雞馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)快馬x天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得240x＝150(x+12)故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1－1】甲車從A地開(kāi)往B地，乙車從B地開(kāi)往A地，兩車同時(shí)出發(fā)，沿著A，B兩地間的同一條筆直的公路勻速行駛，出發(fā)1小時(shí)后兩車相距48千米，又過(guò)1小時(shí)，兩車又相距48千米，且此時(shí)兩車均未到達(dá)終點(diǎn)，求A，B兩地間的距離．【答案】144千米【分析】設(shè)A，B兩地間的距離為x千米，第一次相距48千米時(shí)，兩車1小時(shí)合走(x－48)千米，第二次相距48千米時(shí)，兩車1小時(shí)合走eq\f(x+48,2)千米，據(jù)此列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)A，B兩地間的距離為x千米，由題意得，eq\f(x－48,1)＝eq\f(x+48,2)，解得x＝144，∴A，B兩地間的距離為144千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1－2】如圖將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示8，點(diǎn)C表示16，點(diǎn)D表示24，點(diǎn)E表示28，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)E在數(shù)軸上相距36個(gè)長(zhǎng)度單位．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)上坡時(shí)速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時(shí)速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E時(shí)則兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．問(wèn)：(1)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至E點(diǎn)需要______秒，此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是______；(2)P，Q兩點(diǎn)在點(diǎn)M處相遇，求出相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q，D兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等．【答案】(1)10，C(2)點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)為17eq\f(7,9)(3)當(dāng)t＝eq\f(14,3)或eq\f(22,3)秒時(shí)，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q，D兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等【分析】（1）依據(jù)動(dòng)點(diǎn)P在各段運(yùn)行的距離除以相應(yīng)運(yùn)行的速度算出各段運(yùn)行的時(shí)間，然后相加即可算出動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至E點(diǎn)需要的時(shí)間共為10秒．然后再計(jì)算動(dòng)點(diǎn)Q在10秒內(nèi)運(yùn)行到什么位置．（2）分析相遇點(diǎn)所在路段在C—D段，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)與Q點(diǎn)相距2個(gè)長(zhǎng)度單位，則可算出點(diǎn)P從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所需的時(shí)間為eq\f(2,9)秒，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為16+eq\f(2,9)×8＝17eq\f(7,9)．（3）分段討論P(yáng)B與QD在數(shù)軸上的長(zhǎng)度相等時(shí)的各種情況即可．【詳解】（1）由題意可知，動(dòng)點(diǎn)P在AO、BC、DE段的速度均為4單位/秒，在OB段的速度為2單位/秒，在CD段的速度為8單位/秒，AO=OB=BC=CD=8，DE=4，∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至E點(diǎn)需要的時(shí)間為t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，在DE段的速度為2單位/秒，CD段的速度為1單位/秒，∴動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D需要4÷2=2（秒），從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C需要8÷1=8（秒），∴此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是C；故答案為：10，C；（2）由（1）可知，P，Q兩點(diǎn)在M處相遇時(shí)，點(diǎn)M在CDE段，動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A到點(diǎn)C點(diǎn)用時(shí)為8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E到點(diǎn)D用時(shí)為4÷2=2（秒），∵，∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C的距離，∵（秒），∴此時(shí)P、Q兩點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)秒在點(diǎn)M處相遇，∴點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在段時(shí)，點(diǎn)Q在段，此時(shí)大于8，小于4，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)P在段時(shí)，點(diǎn)Q在段，若，則，，∴，解得：；③當(dāng)點(diǎn)P在段時(shí)，點(diǎn)Q在段，，∴，解得：；④當(dāng)點(diǎn)P在段或段時(shí)，大于8，小于8，不符合題意．綜上所述，當(dāng)或秒時(shí)，P，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q，D兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程．(二)配套問(wèn)題例2．某醫(yī)療器械車間有22名工人，每人每小時(shí)可以生產(chǎn)口罩面3600個(gè)或口罩耳繩6000個(gè)，一個(gè)口罩面需配兩個(gè)口罩繩．為使每小時(shí)生產(chǎn)的口罩面和口罩繩剛好配套，設(shè)需要安排x人生產(chǎn)口罩面，根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】明確等量關(guān)系：口罩繩數(shù)量＝口罩面數(shù)量，列方程．【詳解】由題意知，等量關(guān)系：口罩繩數(shù)量＝口罩面數(shù)量，設(shè)需要安排x人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)口罩繩，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，明確題干中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2－1】某工廠用硬紙生產(chǎn)圓柱形茶葉筒．已知該廠有44名工人，每名工人每小時(shí)可以制作筒身50個(gè)或制作筒底120個(gè)．要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，設(shè)應(yīng)該分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小時(shí)制作出的筒身與筒底剛好配套，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)應(yīng)該分配x名工人制作筒身，根據(jù)一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)該分配x名工人制作筒身，則制作筒底的工人有(44－x)名，由題意，得：120(44－x)＝2×50x；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系，列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2－2】在“雙減”政策背景下，為豐富課后延時(shí)服務(wù)，某中學(xué)開(kāi)設(shè)了手工制作活動(dòng)課，在活動(dòng)課上，輔導(dǎo)老師組織興趣小組學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒，已知該興趣小組共有學(xué)生50人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)多2人，并且每名學(xué)生每節(jié)課能制作筒身8個(gè)或筒底24個(gè)．(1)該興趣小組有男生、女生各多少人？(2)原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)制作筒底，女姓負(fù)責(zé)制作筒身，要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，那么男生應(yīng)向女生支援多少人時(shí)，才能使每節(jié)課制作的筒身與筒底配套．【答案】(1)七年級(jí)2班有男生有24人，則女生有26人(2)男生應(yīng)向女生支援4人時(shí)，才能使每小時(shí)剪出的筒身與筒底相同【分析】（1）設(shè)七年級(jí)2班有男生有x人，則女生有(x+2)人，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；（2）設(shè)男生應(yīng)向女生支援y人，根據(jù)制作筒底的數(shù)量＝筒身的數(shù)量×2，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【詳解】（1）設(shè)七年級(jí)2班有男生有x人，則女生有(x+2)人，由題意得：x+x+2＝50，解得：x＝24，女生：24+2＝26（人）答：七年級(jí)2班有男生有24人，則女生有26人；（2）設(shè)男生應(yīng)向女生支援y人，由題意得：24×(24－y)＝(26+y)×8×2，解得：y＝4，答：男生應(yīng)向女生支援4人時(shí)，才能使每小時(shí)剪出的筒身與筒底相同．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再列出方程．(三)、工程問(wèn)題【例3】完成某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做7天完成，現(xiàn)在由甲先做了3天，乙再參加合作，求完成這項(xiàng)工程總共用去的時(shí)間，若設(shè)完成此項(xiàng)工程總共用x天，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將這項(xiàng)工程的工程量看作為“1”，從而可得甲每天完成的工程量為，乙每天完成的工程量為，再根據(jù)題意列出方程即可得．【詳解】解：將這項(xiàng)工程的工程量看成“1”，則甲每天完成的工程量為，乙每天完成的工程量為，由題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3－1】某工人在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)做完一批零件，若每小時(shí)做個(gè)就可以超額完成個(gè)，若每小時(shí)做個(gè)就可以提前完成，則這批零件一共有多少個(gè)？設(shè)這批零件一共有個(gè)，則根據(jù)題意得到的正確方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)工作總量等于工作效率乘以工作時(shí)間，設(shè)這批零件一共有個(gè)，則每小時(shí)做個(gè)就可以超額完成個(gè)，工作總量為：，工作時(shí)間為：，再根據(jù)每小時(shí)做個(gè)就可以提前完成，列出方程，即可．【詳解】設(shè)這批零件一共有個(gè)，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握工作總量等于工作效率乘以工作時(shí)間，列出方程．【變式訓(xùn)練3－2】整理一批圖書(shū)，由一個(gè)人做要完成．現(xiàn)由某小組同學(xué)一起先整理后，有2名同學(xué)因故離開(kāi)，剩下同學(xué)再整理，正好完成這項(xiàng)工作．假設(shè)每名同學(xué)的工作效率相同，設(shè)該小組共有x名同學(xué)，則x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)該小組共有x名同學(xué)，根據(jù)題意可得，全體同學(xué)整理8小時(shí)完成的任務(wù)與(x－2)名同學(xué)整理4小時(shí)完成的任務(wù)為“1”，據(jù)此列方程即可得解．【詳解】解∶設(shè)該小組共有x名同學(xué)，由題意得，，故選∶A.【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．(四)、銷售與方案問(wèn)題【例4】A，B兩個(gè)超市同時(shí)促銷某款筆記本，已知兩個(gè)超市的標(biāo)價(jià)都是每本10元，A超市的優(yōu)惠條件是：不超過(guò)10本按標(biāo)價(jià)銷售，從第11本開(kāi)始每本按標(biāo)價(jià)的銷售；B超市的優(yōu)惠條件是：每本均按標(biāo)價(jià)的80%銷售．(1)小明要購(gòu)買(mǎi)x本筆記本時(shí)，到A超市需要付款元，到B超市需要付款元；(2)購(gòu)買(mǎi)多少本時(shí)，兩個(gè)超市付款一樣多？【答案】(1)(2)購(gòu)買(mǎi)30本時(shí)，兩個(gè)超市付款一樣多【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫(xiě)出到兩家超市的付款情況；（2）根據(jù)到兩個(gè)超市付款一樣多和（1）中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可【詳解】（1）解：由題意可得，小明要購(gòu)買(mǎi)x本練習(xí)本時(shí)，到甲超市需要付款元，到乙超市需要付款（元），（2）解：由題意可得，，解得，答：購(gòu)買(mǎi)30本時(shí)，兩個(gè)超市付款一樣多．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程和代數(shù)式．【變式訓(xùn)練4－1】某商鋪準(zhǔn)備在端午節(jié)前購(gòu)進(jìn)一批肉粽和蜜棗粽，已知肉粽的單價(jià)比蜜棗粽的單價(jià)多元，且花元購(gòu)買(mǎi)的肉粽數(shù)剛好是花元購(gòu)買(mǎi)的蜜棗粽數(shù)的倍．(1)求肉粽和蜜棗粽的單價(jià)分別是多少元？(2)若該商鋪一次性購(gòu)進(jìn)個(gè)蜜棗粽和個(gè)肉粽，并分別以元/個(gè)和元/個(gè)的定價(jià)按以下方式銷售：端午節(jié)前肉粽漲價(jià)，端午節(jié)后肉粽打九折，蜜棗粽的售價(jià)始終保持不變，若兩種粽子全部售出后共獲利元，求端午節(jié)前肉粽售出的個(gè)數(shù)．【答案】(1)肉粽的單件為元，蜜棗粽的單價(jià)為5元；(2)端午前售出的肉粽為85個(gè)；【分析】（1）設(shè)蜜棗粽的單價(jià)為x元，肉粽的單價(jià)為x元，根據(jù)題意列方程即可解答；（2）設(shè)端午節(jié)前肉粽售出y個(gè)，端午后售出200－y個(gè)，根據(jù)題意列方程即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)蜜棗粽的單價(jià)為x元，肉粽的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可得，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，∴原分式方程的解為，∴肉粽的單價(jià)為，答：肉粽的單件為元，蜜棗粽的單價(jià)為元；（2）解：設(shè)端午節(jié)前肉粽售出個(gè)，端午后售出個(gè)，根據(jù)題意可得，，解得：，答：端午前售出的肉粽為個(gè)；【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與實(shí)際問(wèn)題，一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題，讀懂題意明確題目中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4－2】游泳已綱入中考選考科目，某游泳館針對(duì)學(xué)生游泳訓(xùn)練需求，推出以下兩種收費(fèi)方式．方式一：不購(gòu)買(mǎi)年卡，每次游泳付費(fèi)元．方式二：先購(gòu)買(mǎi)年卡，每張年卡元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費(fèi)元．設(shè)你在一年內(nèi)來(lái)此游泳館游泳的次數(shù)為次，選擇方式一的總費(fèi)用為元，選擇方式二的總費(fèi)用為元．(1)請(qǐng)分別寫(xiě)出，與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果你在一年內(nèi)來(lái)此游泳館游泳的次數(shù)超過(guò)次，選擇哪種方式更劃算？【答案】(1)方式一的費(fèi)用為：；方式二的費(fèi)用為：(2)在一年內(nèi)來(lái)此游泳館游泳的次數(shù)超過(guò)次，為省錢(qián)，應(yīng)選擇方式二【分析】（1）根據(jù)收費(fèi)方式和數(shù)量關(guān)系列函數(shù)關(guān)系式即可求解；（2）將次數(shù)超過(guò)次代入（1）中的收費(fèi)公式即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)游泳次數(shù)為時(shí)，方式一的費(fèi)用為：，方式二的費(fèi)用為：．（2）解：若一年內(nèi)來(lái)此游泳館游泳的次數(shù)為次，方式一的費(fèi)用為：（元）；方式二的費(fèi)用為：（元），，∴在一年內(nèi)來(lái)此游泳館游泳的次數(shù)超過(guò)次，為省錢(qián)，應(yīng)選擇方式二．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用方法是解題的關(guān)鍵．(五)、數(shù)字問(wèn)題【例5】有一列數(shù)，按一定規(guī)律排成1，，9，，81，……其中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是，那么這三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是（）A． B． C．729 D．【答案】B【分析】觀察可知右邊的數(shù)是其相鄰的左邊的數(shù)的倍，則可設(shè)最左邊的一個(gè)數(shù)為，則中間的數(shù)為，最右邊的數(shù)為，再根據(jù)三個(gè)數(shù)的和為建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)最左邊的一個(gè)數(shù)為，則中間的數(shù)為，最右邊的數(shù)為，由題意得，，∴，∴，∴，∵，∴最小的數(shù)為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5－1】有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等于這個(gè)兩位數(shù)的，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】這個(gè)兩位數(shù)為【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為，則個(gè)位上的數(shù)字為，再根據(jù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等于這個(gè)兩位數(shù)的列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為，則個(gè)位上的數(shù)字為．依題意，得，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為，得，所以．故這個(gè)兩位數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意列出方程求解是解題的關(guān)鍵．【變數(shù)訓(xùn)練5－2】問(wèn)題解決：是小學(xué)大家都承認(rèn)的事實(shí)，但你能推理說(shuō)明其中的道理嗎？小明有如下的探究：解：，所以設(shè)，則，所以，解得，于是．(1)實(shí)踐探究：請(qǐng)你仿照小明的方法把下列兩個(gè)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，要求寫(xiě)出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過(guò)程：(2)拓展延伸：直接寫(xiě)出將化成分?jǐn)?shù)的結(jié)果為_(kāi)_____．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)，兩邊同時(shí)乘以10，轉(zhuǎn)化為，則，求